partie de section ma^ d'une hauteur r -- 1?, ou égal
ce qui donne, par unité superficielle, en éliminant encore R : M. Brosse (*) a rendu ce raisonnement plus général ou applicable
fi) Cours de Mécanique appliquée, 4859, ii*88. p. 90U20i.
(Du n» 156]
in
à d'autres cas» en considérant l'action longitudinale exercée seulement sur une portion infiniment courte o^ = <2x de la face horizontale OM , et en régalant à la diflférence des tractions à travers les moitiés supérieures oa^ te des deux sections infiniment voisines aob ,
ctd; tractions qui sont ici r ^^~~'^'
3P(a— x— dx) . , ^ . 3 P .,. fi
^ — ^ ' ; ce qui donne toujours ^ t- par unité superficielle de la petite face b . dx dans le cas particulier de M. Jouravski, où les sections sont égales d*un bout à Tautre, et où la flexion est déterminée par une force transversale P et non par un couple ; car, dans ce dernier cas, on trouverait zéro , ou aucun effort pour faire glisser, comme nous Pavons fait remarquer ailleurs.
Or, ainsi modifié, on peut voir que ce raisonnement revient presque identiquement à ce que nous avons donné au $ 2 de la note du n*" 153 pour déterminer la loi de variation des glissements aux
divers points des sections aobb'&a' (fig. ci-contre reproduite de la p. 208) à' \xn prisme rectangle mince fléchi de champt et, par suite (S 3) la forme en doucine affectée ^ après la flexion^ par ces seC' lions primitivement planes ; forme que nous avions déjà déterminée de cette même manière élémentaire, mais seulement approchée, à la fin du complément de juillet 1855 à notre mémoire sur la flexion et les glissements, d'abord exactement calculés dans le cours de ce même mémoire (').
En effet, - (p. 209-213) est la même chose que ce que nous apa
C) Journal des mathématiques paires et appliquées^ l. T', 1856, p. 4 84-1 S^.
(Du n« iJM).
pelons Ici — ; et les efforts tangentiels Gg», Gg sur Tunlté des élé-
ments superficiels de la section transversale amob^ en o et en m ou aux distances séro et v de la ligne o& des fibres de longueur inva^ riable, sont égaux aux efforts tangentiels sur Tunité des éléments adjacents des sections longitudinales oi.mn; égalité qui a lieu nonseulement lorsque la contexture du solide est la même dans les deux sens longitudinal et transversal, mais même lorsqu'elle varie d'un sens à Tautre d*nne manière quelconque, d'après le théorème de réciprocité des composantes tangentielles d'actions sur deux faces perpendiculaires, dû à M. Gauchy et que nous avons démontré au S 89 (p. Ske-Slil).
Le raisonnement de M. Jouravski, un peu plus élémentaire que celui de la note citée du n** 158, et suffisant dans le cas le plus ordinaire, donne comme Ton voit, non-seulement ce qu'il a cherché, c*e8t-à-dire les efforts tangentiels longitudinaux (et, par suite, les glissements relatifs des fibres), mais, aussi, les effbrts tangentiels transversaux ou sur les sections et la loi de variation des glisse-ments qui s*y opèrent ($ 2 de la même note) ; loi exprimée, d'après ce qu'on vient de voir, comme d'après le % cité , par
pour un rectangle dont la section bxc=:by est assez peu large pour que ces glissements ou ces efforts puissent être regardés comme égaux sur tous les éléments de chaque bande horizontale mm'p'p (2* fig., p. précéd.).
En sorte que, bien que s'appuyant sur la théoria ordinaire de la flexion qui part de la supposition que les sections restent planes et normales, ce raisonnement donne la preuve la plus élémentaire qu'elles s'inclinent et sHnfléchissenl doublement*
On peut l'appliquer, comme a fait M. Bresse, à des sections d'une autre forme que le rectangle, mais en ajoutant toujours la condition de petite largeur. Soient :
(^) Celte expression approchée se trouTâit déjà à l'art. 44 de notre Mémoire iur la torsion.
( Du no ilM).
U = mm! la largeur variable et supposée petite de la section oGo'C d'un prisme ou cjlindre, & la dis* tance v de la ligne oo' des fibres invariables, v' la plus grande valeur de v, ou la hauteur, au-dessus
de oo\ du point le plus élevé G de la section, I son moment dMnertie autour de oo\ a«— X le bras de levier, pour cette section, de la résultante ou somme de composantes des forces extérieures estimée dans une direction parallèle àv, résultante ou somme que nous avons appelée P^ aux SS ci-dessus de la pré* sente note, où g\ , G^' désignent le glissement et son coefficient d'élasticité dans la môme direction.
On a comme on vient de voir (ou note du n* 80)
pour la traction exercée sur Tunité superficielle de section des fibres
P" la x\ C^'
traversant la bande mm'j/p = Vdv ; d'où — ^ V Vvdv pour la
somme de ces tractions à travers la partie supérieure mGm', qui doivent faire équilibre h Teflbrt tangentiel longitudinal s'exerçant en sens opposé sur la portion U(a~x) de la face formée par les fibres qui passent par mm'. D'où, pour Teflbrt sur Tunité de longueur de cette face
ce qui donne pour le glissement sur cette face et par conséquent aussi sur la section transversale à la hauteur r, l'expression générale approximative
Vvdv;
p// ou ^^jTTTz multiplié par le moment statique de Taire mCm' par rap-
G iU
port & la ligne oo' (').
(^) La somme J G"g"iCf(o= J G'V\C(fv, étendue A toute la section, des efforts tangentiels sur ses éléments , dans le sens v, doit être égal A l'eflbrt transTersal ei-
(Da n« IMI).
Par exemple si la section est une ellipse dont les axes sont 00' = 6, CC' = c, on a
en sorte que le glissement central répondant à t? = o serait les A/3
P" du glissement moyen g^ tandis qu*il en serait les 3/2 pour le rectangle.
Si la section est le double T à semelles ou 2 nervures égales considéré au $ 13 de la note du n« 120 (p, 138) dont nous reproduisons ici la figure cotée, on a U = 6 — 6' pour Vâme ou lerectangle même qui unit les semelles, et \]=b pour celles-ci. D*où Ton tire facilement, vu que
w=6c— 6'c', 1 = j^ — , pour le glissement central que nous appellerons g", :
3 JP^ bC'-b'c' ftc«— b'&*
térieur total P" dans ce même leos. Or rexpretsion qa*on vient de donner de g'\ aalisralt à celte condition , car, en appelant v" la distance à oo' du point le plus
" = - \ dv\ l 1 J-«" J*
bat C de la leclion oCo'c', l'égaUié P" = •- \ dv \ Vvdu m Tèrifle f i , en ; remplaçant le moment d'inertie I par sa râleur générale, on récrit
vXvdv = y dv V Vvdv,
En effet , si l'on intégre par parties le premier membre, il se change en v' \ Vvdv — \ dv l \ Uvdv — 1 Vvdp \ , qui n'est antre chose
que le second membre, yu que rintégrale \ Uvdv est nulle en rertu de ce que o</ passe par le centre de gravité de la section.
(Du n« idS).
OU 1 Si — j— = - , — — = J, ^ = 2» comme à la figure :
jy/
g"o = 2,22 ^j^, plus de deux fois le glissement moyen.
2"* Si le rectangle qui unit les semelles est deux fois plus mince, ou
Si— 5- = 3^ g"o = ^^g^ = 8,320ûg;;;;;Oudetroisàquatre
fois le glissement moyen.
3° Si les épaisseurs 6"= 6 — 6', d^^c—c' sont très-petites visà-vis de b et de c» la valeur suivante, qu'on obtient en effaçant d'abord 6c— 6'c'= w au numérateur et au dénominateur, puis substituant et négligeant les carrés de b'\ cf' :
Glissement central g". = ç^,.^i^y (l + i a^.).
OU g"o = -T^—Tt — iTT si y est sensiblement plus petit que c" en
sorte qu'on puisse réduire la parenthèse à 1. L'effort central Q!*^\ est alors le môme que si les nervures n'existaient pas , et l'âme, ou la pièce verticale qui les lie, devrait être, comme dit bien M. Bresse, seule et abstraction faite des nervures, capable de supporter l'effort P'' qui tend à opérer la séparation par glissement (*).
On voit que, pour les pièces étroites au milieu, telles que les rails de chemin de fer et les pièces à section en double T ou en
(1) On peut^ même, appliquer ce mode d'évaluation des glissements à une seclion non symétrique par rapport à la ligne des fibres invariables. Si c'est, par exemple, un triangle isocèle dont c est la hauteur et h la base placée à une distance Va ^ au-dessous de cette ligne, ob a
^6c ^Ih^ -^x ^ **~?' '""36' """3 T'
Le glissement est nul sur la base comme au sommet; et on a le glissement ctn-
P" irai = les ^/| du glissement moyen -;p*.
G Ci>
398 S£CT. 1. RÉSISTANCe DES SOUDES.
(Du n« 156).
tuyau carré, et, aussi, comme Ta fait H. Jouravski pour les pièces composées de plusfeurs autres qui sont superposées et unies par des clefs (voyes sect iy« ci-après), les glissements indépendants de ceux que la torsion produit peuvent avoir assez dMnfluence pour mériter d'être pris en considération dans Tévaluation de la résistance à la rupture , et aussi dans le calcul de la flèche de flexion, qui, pour être complète, doit (S 4 de la note du n"* 163) s'évaluer par l'expression
c'est-à-dire par l'expression ordinaire augmentée du produit g,a de la longueur a de la pièce par le glissement central go ou l'inclinaison prise par la fibre moyenne sur le plan tangent à la section devenue courbe.
Mais les expressions obtenues par cette méthode pour les glissements et les efforts tangentiels ne sont pas exactes, et* quoique pouvant suffire dans un assez grand nombre de cas » elles diffèrent sensiblement de la réalité dans d'autres , principalement lorsque la section ofllre une certaine largeur perpendiculairement à la force V" qui la sollicite.
En effet , les seconds membres des équations ci-Kiessus,
0"6r. = y \ Vvdv , G"Ug"j = 1 \ l]u(k ,
donnent bien dans tous les cas les effbrts tangentiels totaux sur l'unité de longueur des faces horizontales intérieures qui passent, Tune par le centre de gravité, l'autre à une hauteur t* au^essus. Mais, vu rinégalité possible des glissements , les efforts en question peu^ vent être très-inégalement répartis sur la largeur 6 ou U de ces faces , et il conviendrait d'en connaître au moins la plus grande valeur par unité superficielle de leurs éléments, afin de l'introduire dans l'équation qu'on pose pour assurer la stabilité de la cohésioUé Ces effbrts peuvent même être plus considérables sur certaines faces aussi longitudinales , mais obliques à u et à v, ou non perpendiculaires à la force sollicitante F', car cette force , parallèle à t?, peut * très-bien développer et développe en effet sur la section co, comme
, ( Du n« të%\
on Ta voir, avec les glissements g^'i parallèles à cette coordonnée v, des glissements g'i parallèles à l'autre coordonnée u; et il en résalte, dans la direction de celle-ci, des efforts G'g'i qai, bien qu'ayant une somme algébrique nulle, ont individuellement des grandeurs finies et se composent avec les G''g^\ pour produire
des efforts résultants v^(G"g'',)* -f {G'g\)* plus grands que G"g^i >ux divers points de la section transversale , et en même temps sur des sections longitudinales faisant avec les v des angles dont la tangente
est ^'«'i
S A6. Valeurs exactes des mêmes glissements g'i, fg\ indèpen," dants de la torsion. Identité des limites à imposer aux efforts tan'* gentiels transversaux et aux efforts tangentiels longitudinaux per" manents. Description exacte des formes courbes prises par les sections des prismes fléchis inégalement d^une extrémité à Vautre. — Pour arriver à connaître ces divers efforts tangentiels ou ces divers glissements, il est nécessaire de poser Téquation d'équilibre de translation longitudinale, non plus d'une portion ou d'une tranche du solide répondant à une partie finie mCm' ou maa'n de la section, ni même d'une de ses zones infiniment peu hautes mm'p'p (2* figure p. 393, et figure p. 395), mais d^une seule fibre élémentaire^ comme nous avons déjà dit qu'il fallait faire pour assurer l'équilibre de détail (S à de la note du n« 80, p. 38), et comme nous avons fait au $ 6 pour la torsion lorsqu'il a été quesiion de déterminer les glisse^ ments et les gauchissement qu^elle engendre.
Soient 1/, V les coordonnées de cette fibre supposée prismatique rectangulaire ayant une largeur du , une hauteur do et une longueur dx. Ses deux faces dudx de dessous et de dessus éprouveront des actions tangentielles longitudinales opposées
G'Yidudx , — G'Yg"i + ^ dv^dudx, et ses deux faces latérales dcdx, des actions
G'g'^dudr, — G'^g'i + ^<^) d^<^*
l\00 SECT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
(Du n- ilM).
Si les deux bases dudv ue supportaient aucune traction ni pression dans le sens longitudinal, Téquilibre s'exprimerait en égalant à zéro la somme de ces quatre forces, ce qui reproduirait, en di?i-
de' ' ùs!' sant par le volume dudvdx^ Téquation G' ^ -f G" —- = 0 obtenue
dans le problème de la torsion ($ 39, p. 347). Mais , dans la flexiop , les fibres éprouvent loogitudlnalement des dilatations et contractions variables , et nous avons démontré (note du n** 80 , $$ 3 et 4) que si la variation est uniforme quand on chemine dans le sens d*une coordonnée transversale v, et si les faces latérales du prisme sont libres, les contractions ou dilatations transversales correspondantes se règlent de telle manière que les fibres n'exercent les unes sur les autres aucune action normale; en sorte que leurs tractions & travers les éléments d'une section u> varient aussi linéairement avec V ou peuvent être exprimées par £(c+ c!v).diù qu*on amène
à la forme — ^-| r.dw en exprimant leur équilibre d'ensemble
avec une force extérieure F' agissant parallèlement à v à une distance a — a; (car il en résulte c = 0 , Ec'Jr'dw « V"{a — x) si Taxe des u passe par le centre de gravité de co et est un de ses deux axes d'inertie).
Kous avons donc, sur les deux bases dvdv de notre élément de fibre, et sans faire l'hypothèse fausse que les sections restent planes et que les fibres se comportent tout à fait comme isolées (mais en partant seulement de la supposition de cette variation uniforme des dilatations que la suite justifie), des actions :
— =- (a — x)v,dudv et — {a—x—âx)v.dudv.
Faisant la somme de ces deux forces et des quatre précédentes , et égalant à zéro, on obtient, pour l'équilibre de Télément dudvdx :
du do I '
équation indéfinie à satisfaire en tous les points d^une section transversale quelconque*
AttT. V. TOHSIOM AVEC FLEXIO£«. ^01
(Ou il* tlM}.
£t, au contour de cette section , les glissements g'^, g'^ doivent vérifier absoloment la même condition définie que g', g'' dans le cas de la torsion , c'est-à-dire (S 39, p. 3kS] :
car, écrite -^^ = t-, elle exprime (SS ^ «' 39) que la surface latérale du prisme, soumise seulement à la pression de Tatmosphëre qui agit normalement, ne supporte aucune action dans le sens des fibres ou arêtes, et que par conséquent la section «a n'éprouve, aux points de son contour (voyez aussi p. 207) , aucune action ti*ansversale normale à ce contour, dont Télément a pour projections du, dv sur les axes coordonnés.
\fais , outre ces conditions statiques , g\ et g'\ sont aussi asti*eints à satisfaire à une condition géométrique
du dv ~^ £[ •
Jir" de' analogue à -j -^ = 20 qui résulte des expressions trouvées $ 5,
g' = -î Ot?, g"== ^ 4- Ou pour les glissements dus à la torsion.
Elle exprime en effet que g'i , g^'i (suivant la définition des glissements donnée aux $$ 3 et 4 de la note du n** 152 ) ne sont autre chose, en chaque point de ta , que les projections d'un même trèspetit angle sur les plans coordonnés des (x, u) et des (x, r) , savoir l'angle que fait la normale actuelle à l'élément dcu avec la fibi*e modifiée qui y passe. Cette normale et cette fibre étaient primitivement coïncidentes et parallèles à la fibre moyenne dont la tangente , à son point de passage par la section , est prise ici pour axe desx; elles se sont inclinées légèrement sur la direction de cet axe, et les glissements g\, g^\ se composent chacun (comme g', g" du § 5} de ce qui vient de l'inclinaison prise par la normale, et de ce qui vient de l'Inclinaison prise par la fibre particulière sur cet axe ou cette fibre moyenne. Or, ainsi qu'à ce S 5, les
quotes-parts de rincllnaison de la normale sont -^ pour g',, g^
&Û2 &£Cr. I. UÊSISTANCIî 0£S SOLIDES.
(Du n« IMI).
pour êf^'i » si s daigne (eoame au g Sde la note du n« 169) fa petite ord(Nftnée de la surface courbe affectée par la seetioii ou la distance actuelle de son élément dtù au plan des (u, v) normal à Taxe et mené par le point où il traverse^; en «orte que ce qui Tient de rinclinaison |
prise par la normale sur Taxe donne — ; — t-t ou zéro dans la diffé-
émd9 dw4u
rcnce -^ — <^. Les quotes-parts de rinclinaison de la fibre sont»
endésignant par «^ ? les déplacements transversaux des points dans
, du , d^ ^, . j d âf d da.
lessensM,», ^ pour g't,gj pour g"|, ce qui donne ^^t ^gg
pour ~ , -^ ; or ces deux quotes-parts sont
égales au signe prèe, car, d*après ce qu^on a vu ^.^ aux S$ S et A de la note da n* 80 (p. 9h-9f)^
'*' ' *' " les petites lignes telles que mn =.du^mp=. do, tracées primitivement à angle droit sur les sections d'un prisme fléchi dont les faces latérales sont libres, restent perpendiculaires les unes aux autres, et on voit par la figure que la conservation
de leur orthogonalité exige qu'on ait ^^-ï = j:* On a donc
1^ T^^ ^ ^ ^ £ ^* ^^ ^^ déplacements dans le sens traun versai u sont dus aux contractions latérales i)i= y^ — ^ ^ qui
JSI
accompagnent , cwnme nous savons , les dilatations longitudinales i= g.^ ; et leur grandeur, pour Tabsclsse w» est ainsi
- (in
C* . , P"(o— a:) ^, ^ ^ d da ^
Er
Ces équations peuvent être changées^ comme celles qui sont i-elatives à la torsion, et comme nous avons fait au Mémoire sur la flexion présenté le 20 novembre 185A, en équations aux différences partielles ayant pour inconnue le petit déplacement longitudinal i des points des sections transversales ta qui s'inclinent et se courl>ent. Mais on peut, simplement, égaler g', i g", à des expressions
ART. Y. TORSIOM AVBC FUUON. 403
(Du n» 1511).
aiséèriqim mi transcendantes affectées de ooefBciMita iadéter* mÊaés, par exemple^ avx exprantons entièree en u, v t
e'i = g'. + Au + A'v + Bu* + B'mîj + BV + Cm' +
«^i=g"«+ A,tt + A\v + B,tt« + Bfjttt? + r,i?»+ Citt»+
Qt astreindre, par substitution, les coefficients A, A't ..... \ »
à satisfaire à la première et à la troisième équations en g'j , ^\ , ce qui en réduit le nombre. Substituant ensuite dans la deuxième G"g^\du — G'g'idv — 0, on a, en u et r, Féquation différentielle générale du premier ordre des contours de sections de prismes do&t la flexion donne lieu aux glissements g^^ , g'\ ainsi exprimés, et aussi aux dOatattona imriaat «nUbmément m linéairement oonune on Ta supposé à priori O*
L*intégration de cette équation en u et v des contours se fait sous forme finie quand on réduit les expressions entières de g', , g''^ aux termes du second degré (et il y en a forcément totgours de ce degré), auxquels on peut joindre un terme constant g^o dans celle de g^, ; car en faisant g".+B"it?* = B'\v'* on rend homogène cette équation diflTérentielle, et les variables se séparent par v^ =stu.
Il en résulte dee sections en nombre infini, dent les conteurs » en appelante leur plus grande largeur et c leur plus grande hauteur» sont représentés par Téquation
oùroaa K:.___£.y,^
et oi n est on nombre positif qui doit être > ^, -— ? pour
(*) Cette équation du premier ordre, toi^ouri iolè|raIe quand ce ne lerail qu'eu sérié ^ peut représenter tontes les eonrbe* poaelMeff , MnKmt si a« foriMe algébriques on Joint les formes transcendantes de g'i, g'^]. La supposition qu'il a fallu frire, leicemndao $ 4 de la n«l*d« ■* SS, iw le nede et varlmkMidtt dUatttiens quand on passe d'une fibre A l'autre dans le sens transversal v, se IrnuTe donc compléicment Justifiée ; en sorte que notre théorie de la fleilon et des glisse^
UOh SECT. i. RÉSISTANCE UE5 SOLIDKS.
(Du n* IMI).
que l'équation doone des courbes fermées (*), mais, du reste, quelconque entier ou fractionnaire, pair ou impair (et pouvant, dans ce dernier cas, être traité comme pair en multipliant par 2 son
numérateur et son dénominateur, de sorte que (-^ j reste positif
pour des valeurs négatives de u).
Et Ton a, pour ces sections , des glissements dans les* directions t/, V, dont les valeurs, déterminées par une force traosversalel^pa* rallèle aUx r, sont les suivantes :
— P"tto ., F'c» r f. Uv*\ , ^.^ kun
*^ (n+i)Gl
On peut facilement vérifier, par la difTérentlation , que ces expressions de g'i, g'', satisfont, quelle que soit la quantité con-
dip' dtt^' P"
slante K, à 6' -r~^ + G'' -^ = — >--« pour toutes les valeurs de
du dv I '^
M, tj, et à G"g",— G'g'i ■£• =0 si 2^ est ce qu'on tire de Téqua-
■t) + = 1 des contours.
Et, au moyen de la valeur — ^^ *— 2(n f i) ^ j — î^-, que
mmls qui l'accompagneot D*a rien dtt procédés hyhride$, miF^malytiquet et mtempiriquesy ne servant qu*à moêquer les abords de ta véritable sdence^ que siguale M. Lamé (Leçons sur les coordonnées curyllignes, 1969^ fin de la 49* leçon, p. 358); car elle démontre que pour toute espèce de section d'un prisme, on peut appliquer sur ses bases eitrénes des forces tant normales que tangentielles distribuées de telle manière que les dilatations et glif sements suifcnt partout, et rigoM" rensement, la loi qu*eipriment les formules. Le recours aux faits d'expériences se trottfe ainsi réduit à leur demander ultérieurement les nombreuses preufes que le mode de distribution a peu d'influence et que les mêmes formules doifent aiasi s'observer approffiiNdlivaiieiif lorsqu'on' a, aux extrémités, des forces autrement distribuées, mais sUtiquement équlTalentes ($ 6 de U même note du a* 80 ; Toyex aussi V Appendice ci-après).
(*) Celte limite inférieure Que nous assignons à l'exposant n et qui Tarie, comme on Yoit, avec le rapport des dimensions &,c de la section, s'obtient en
exprimant la condition que •« reste réel pour •-• =s 4 ^a , a étant une qun-
b tilé infiniment petite; car, sans cela, le sommet r=0, »= - serait l'origiuc
d'une branche indéfinie et non la limite d'une ligne fermée.
4BT. V. T0RSI02« AVEC FLEXION. /^05
( Du A* !&•].
nous assigooDS & cette quantité K , la troisième équation ou la
condition purement géométrique se trouve aussi satisfaite.
On démontrerait facilement, en raisonnant comme & la sous-note
dff' à^' P^'v du S 13, p.262, que les équations G' -^ + G" -^ = p partout,
dir' et G"g"j(îtt — O'g',di>=0 au contour, combinées avec ^ = 0,
^^ = 0 , entraînent àx
SG"g",(îio=P", SG'g\(Ico = 0,
égalités nécessaires d^ailleurs pour l'équilibre de translation, dans le sens v et dans le sens u, de la partie du prisme comprise entre la section <» et Textrémlté où agit la force extérieure P''. Le contour représenté par Téquation générale
"ft~ ) "** V ) ~ ^ lorsqu'on fait
K = i ; d'où 71 =
«»iC*
et , en substituant et en faisant le moment d'inertie I = -tt-, on a :
1 + 2^' ^ hh V" ^ E *c«G^ Atw
^«"" 3cG'w' I . i^' • ftC
TjG' 6»G" "^ 3
(I) Hémohrt «air Ea flexion, trt. 49. Pour déduire dei formules de ce niénoire eellee que mms doniKNis ici , il faol y femplaoer :
6, e, C, G', y\ Ti', y, z, pxy, pxst —P, ^f— z. •»» «
par 5*, -e, G', G", -i-, -î^, •, r. C'g',, CV, , P", «. — . I.
£|06 SICT. U BÊftfSTâNQi 018 80LIIIIS«
( Bu n* !«•).
On Toit bien , eovmd Dont avozui dit, que le i^inimeiit g^i dans lesensdev dépend DOOHwaleoieot de œUaeoordoonée, onteen* oore de V, ott qa*ii Tarie* aar ia eecdon, pour toi dllléraiili Moeots
de chaque petite zone mmyp ( fig. p. 393 et 395 ) parallèle aux u. On voit aussi que la force E^' parallèle aux v engendre , sur toutes les sectieos des prismes fléchis» excepté aux points m = 0 ou r a 0, des glissements g'j ou des eflbrts tangentiels G'g'i parallèles aux u, et par conséquent perpendiculaires à cette force; en eorte qu^ tous les points qui ne sont pas eur les axes priooipaux de ces sectiens , Teffort tangentiel principal a une direction oblique.
Si la dimension c est très-grande par rapport à la dimension 6 de rellip8e« ces deux expressions peuvent être réduites à celles-ci :
dont la seconde noua a été fèurnle tout à l'heure i[>ar le calcul approximatif, qui ne révèle aucunement Texislence de la pre« tnière.
Gomme Tellipse est une courbe identique dans les deux sens quant aux rapportsmutuels des coordonnées demème direction pour les différents points , si une force P' agit parallèlement aux u en môme temps que la fbrce F' agit parallèlement aux v, on n'a, pour obcealr les gllsseiiieiàtslotattxg't,g"j, dansekaquefleoit qu'i^ 4^'outer, à Texpresslon exacte précédente de g\, une expression composée comme celle de 9^\ aveo P*, G\ r, ^ t^V u, v
au lieu de P*', G", 6, c, n, v, u,
en faisant, à Texpresslon du glissement ff\, une addition réci^ proque.
Il en résultera dans le cas particulier 6 e= e = 2r et en sapposant une égale élasticité transversale :
Ponr une leetion eirciilain, de rtyou r, et pour G' =^ G'^ = G,
JlBT, V, TOftSION 4VeC FLEXiOH. 40?
(Dn ii*iAa).
Où Ton fera ($8 note n" 152) r,^ = f . | = — s! la matière a aussi
la même élaatkité dant le «ans loDgitudiaaL
D'où , pour les deux composantes g'., g^, du glissement central appelé go au S 2 de la note du n* 153, et qui répond à u = o, t? =0 :
résultat qui a été cité par av«aoe 4 ee £• Il diffère «asea p«tt de
g. = 5 ^ = 4,838 — qui a été donné par les formules approxi-
matlyes ci-deasus , âfc ^ul a*6st exact qiid pour les eUipsas hautes ec étroites (<).
Le seul contour pour lequel ^\ ne dépende que de F' est la/au^^€*
Ë eUifëe <)eV)B obtient en faisant K = Oo«i n •« ^-— — t , et Cftii a
ainsi pour équation
€*e$t vm courbe (2* épnni de la eoai-iiote ei-mpuèe) eomfnÊ9 entre V ellipse ayant mêmes axes h^ celle rectangle circonscrit. On a , lorsque le contour est de cette forme, pour laquelle le
mo«ientd'ieertieî = -— ^^,eu^^si^==5-:
3 P" / v*\ (•) On aurait, aussi pour t*=0, Î^\ = zt^ M jj **' ^1. '^û'' »«'',
comme on a annoncé à la page 34 S ei dans sa sous-nole. Mais on ne peut pas néglifer «es eoeffiokatê «i lias emUÊf^aetioêU iimiuafenaUt ^i influent sur les ftisarmenis par ralléraUon qu'ils produisent dans le parallélisme des fibres de tout priMM flèHii aiHreasent ^'en are de cercle.
408 SEGT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.
( Du n* !&•].
On a au centre et même sur tout le diamètre principal h :
w == 0, g\ zz. 0, g", = g. = 1,4 ^„-:,
comme quand la section est circulaire.
Mais la fausse ellipse n*offlrant pas, comme Tellipse, la même forme dans les deux sens, ces formules n'Indiquent pas ce quMl faudrait igouter sUl y avait en même temps une force P' parallèle auxK.
Lorsque n = -^— I, ou n = 9 si r. = r, G'= G" = G, =• = t,
T}G cl E 5
on obtient, en traitant l'exposant n comme pair = -^» des es-
pèces de rectangles à angles arrondis et côtés concaves parallèlement à 6, convexes parallèlement à c (3* épure ci-après). Et on a
Les glissements g', perpendiculaires à la force P" qui les engendre ne sont nuls que lorsque Vexposant n est infini supposé
pair. Alors on a K = — *ê~ c^' ®* ^® contour se compose
derbyperbole^-^^(y)*+(^) =1,00-. ^j +(^^j =1«X=ÎÔ
et les deaz droites t£ =: ± ~ qni la eonpent ;
car réquation des contours devient celle de Thyperbole pour des
valeursf - j <1, et celle des deux droites pour la valeur! -j-j =1,
.qui rend r indéterminé. Ce contour mixtillgne dont deux côtés sont
( Do o« IMI).
rectilignes et parallèles coïncide sensiblement avec la courbe continue qu*on obtient en faisant n = 100 ou tout autre nombre pair très-grand. Or il se rapproche, aussi, beaucoup du rectangle bxc dès que la largeur b descend à moitié de la hauteur c ou au-dessous. Aussi, la seconde des expressions des glissements relatives à cette section, qui sont
où ce qui toultiplie ^ n'est que ^ < ^ quand ^=^f^<l^
donnent sensiblement, alors, la valeur —r-(i-— -j- j que le calcul approximatif ci-dessus a fournie pour le rectangle.
Nous avons fait aussi le calcul exact des glissements g'„ g"^, pour une section rectangulaire bxc avec un rapport quelconque de 6 à c* Leurs expressions sont en série transcendante, fournie par une Intégration qui a un degré de complication de plus que celle qu'exige le calcul (S 25) de g', g" provenant de la torsion. Aussi nous ne les rapporterons pas et nous nous bornerons à donner la valeur du glissement central qui est, coh désignant un cosinus hypcrbo*
lique
et n un nombre entier :
8 E 'cHî'
■so»
■=t n'cohnn
d'où, en supposant
&10 SeCT. t. BÊSfSTAME Mft BOUMS.
(Ou n* !«•).
en sorte qae ^ G^ = QS c>fr,0B pentprraére seoflililenieiil g := s ^fT- trouvé ci-deasos (>}.
D6J&, h la note do n* 168, mms atone Mi entrer tes gUasenenli
étrangersi ht torsioa dans dfferscaleiils de réetetanee perwaneate ou de stabilité de la cohésion sous Taction longtempi oootinoée des forces qui les â\gendrent, et en les envisageant comme des glisse^ ments sur àat secHons^ ou des aections las vues devaal les autres.
On demandera peut-être ce qu'il faudra fai» en les considérant comme des gllasements de libres les unes sur les autres , et qufils coefficients T^ V^ on adoptera alors, pour les bois par exemple, où la rupture par un gUssement longitudinal sTopèrc sous des eflbrts
(1) Rico n'est plus propre à dire eonprendre corameni Tirient , sur lei tee- Uoos, les glisiements qui accompagnent la flexion , qu'une reprèaenlation de la fonM &tê Mffteei tégêreneai motbet wM leiqvMltet Ht chnageai est iWllMis
Vu la BoiifeioiA de cette matière, et noacbatant la petlteiae ordinaire de rin* floenoe des qaantitéi g'i , g^|, nous croyons done dërolr mettre toni tes ynx ptoiiettrs épures delà tspefrapfck 4e wm aartÉces, aateirtéM fici— aniei déuim par courtes égaidJaHnUs at fiaraUèta» «a fUa aoraml i Vvê ou êkn mof eant des prismes fléchis.
Tontes celles qif afltetent les leelSon dottt réquaHm tMems, éè legié u, reprtiiuli les ueaiautt, atat 4u tnÉÉMM Anapè. JjsuraqaaaM,uaappelâaislu distance, à ce plan normal , du point dont les coordonnées traniversales sont u et V, est
*"~l6G"lLfi+4 c S\n+4*" E ]\t) U-f^ B /«' V"« / cj
e U T^eor 4e rmdwéci x psar u =0, •=— - ^ que nous appellerons im, et
qui est ordinairement la plus grande, est ainsi
Les coupes ont été faites pour des TSleurs x = 0, ±: 0,9xm , d: 0,4xiii , dzOfSrm % dbO,8xMy et z=i±itm.
La première épure ci-«ontre est rdalive à upe seetioD drculalre BC'B'C« On t prolongé beaucoup les onse coupes bors de soa contour pour mieux foins comprendre la forme de cette surface qui, du reste, est la même lorsque ce contour est un aes deux onAes «oneeolrtqiies «u uarcle «nquel le flus petit est iascrit rauue circonscrit, ou une autre quelconque des courbes que l'équation fournit pourvue
AW. W, TOUHMi âVfiC KEtlOM. 4M
[Da n* MM).
btniMotaMlFM, pow mtea nrfkoe, que U rapture ptfvii gitan, ment tnanranHl qal (nmehenlt lea Abres,
U réponse est hede.
Ces eoeflelents ffadMtion (on do cohésion tangenHdle) derront,
ntme Tileur de \t eoDiInten linti qu« dti di«Hi*lrec=cc' puiUUs 1 v. Lct iroli HgBM bMMei, en Airne de doudne,
WBideiCDUpM ]MT
detpliDiFsnlIélet 1 eelgi de flexion , ribitluiiur le piM de l( Bgure.
celle premitre mitum )M(I de la proprlili d'être
reitt doue jttan rt CMVnIdirc , Mm que I* lurhcc qoe
me MU «Mm dHM le deDit-<e«c«le tuptrlew BCB' d boHbèe nrrle NrfMMv ICÏ'.
Li dMtUne tpare eii telitlTa t Um lei coeioufi en (
)■■, et doal Iroli oel M Iricii, pour
ftlS
SECT. I. RÊSISTAKCE DES SOUDES.
(Da s* tA«}.
quelle que soit rinégalitô de contexture, être absolument les mêmes soit qu'on envisage les glissements correspondants g*^» g", , comme ceux des fibres ou comme ceux des sections.
De quelque maùière« en effet, que doive se déclarer la dèsagré- ' gation quand elle aura lieu, il faut choisir les constantes des équations de cohésion de manière à en prévenir même les commencements et même le danger. Si les fibres d'une pièce en bois de sapin
lesquels 6 := - e, c el 2c. La courbe qoi eoTeloppe les lutres est ane eoope de la même surface par le plan x = 0 ; c'est udc ellipse ôTij + r^ == ^• La troisième épore est relatire aux contours pour lesquels on a m= — — 1|
TiG'
e'est-i-dire «=9 si — = Vio- ^^ coupes sont tmUet recUUgnet et paraUUes,
et la aurCice est eiactement cjlindrique, ayant pour base la doucioe ou parabole du troisième degré rabattue et hacbèe.
Mais TU l'altèralion du parallélisme des fibres, les glissements g'| ne sont pas pour cela nuls, ni les glisseroenu gf\ constants pour tous les éléments superfleiels dont rordonnée v est la même; on le Toit par les «pressions ci-dessus de g'i , g"i relaUres i ces contours, et qui ne se réduiraient à
g',=0, g"i = — ( t— — ) que si n éuit = 0 ou s'il n'y avait pas de contractions latérales déterminées par les dilauUoos longitudinales.
Enfin la quatrième épure cl-contre est relatire à une section carrée. Pour cette section, dont réqusiion n'est pas comprise dans oeUes dont l'équation ci-dessus de degré n donne le contour, les expressions des glissements sont en série transcendante.
On TOit, par ces épures, que les coupes parallèles an plan qui est normal à la fibre centrale tournent vers l'axe des « tantôt leur eoncarllé, lantAt leur eonYexiié , et ne sont parallèles A cet axe que par exception.
ABT. V. TOASiOM AVEC Ft£&IOIi. kiZ
(DU a* IdS).
par exemple se séparent les unes des autres, elles cesseront de résister à la rupture sous les efforts de flexion ou autres auxquels elles étaient en même temps soumises, et en vue desquels les dimensions de la pièce avaient été calculées ; en sorte que la fente longitudinale sera le commencement d'une rupture plus complète. La limite T « des efforts transversaux parallèles à une coordonnée t*, par unité superficielle des éléments des sections transversales, doit donc être prise la même que celle des efforts longitudinaux, toigours égaux et simultanés ($ 39, p. 3/^6 et $ hb)^ qui ont lieu sur des faces ou sections longitudinales perpendiculaires àv; et si Ton adopte pour cette dernière limite le 1/3, par exemple, de Teffort capable de faire séparer instantanément, par glissement longitudinal, les fibres de ces faces, soit 300000^ par mètre carré si cet effort est de 900 000 , il faut adopter le môme nombre T'o = 300 000 quand il
s'agit de fixor la limite -^ des glissements envisagés comme étant
ceux des sections transversales; en supposant même que Teffort pour cisailler ou trancher immédiatement les fibres soit incomparablement plus grand, par mètre carré de section, que Teffort pour les séparer en les faisant glisser les unes sur les autres.
On peut, à ce sujet, se rappeler ce qui a été dit à plusieurs re^ prises ($$ à de la note du n* 3, 6 et 9 du n« 152 , 2 de celle du n* 16/ii, A3 de celle du n* 156), à savoir que les glis^ments, qui • sont que des changements des angles de lignes matérielles du solide, ne compromettent la cohésion qu'en raison de ce qu'ils changent les distances^ ou qu'ils produisent des écartements moléculaires dans des directions obliques aux faces ou aux lignes auxquelles ils sont relatifs. Ce sont ces écartements, en dernière analyse , que toutes les équations de cohésion données ci-dessus tiennent dans certaines limites, limites qui doivent bien être les mêmes, soit qu*on appelle glissement sur M A ou glissement sur MB la petite diminution éprouvée par l'angle droit AMB que ces deux droites ou ces deux faces faisaient entre elles. En sorte que tout ce que nous avons donné pour les glissements sur tes sections transversales s'applique aux glissements sur les sections longitudinales ou sur les fibres, même quand on ne s'occupe que de la rupture par torstan^
4iâ suer, h BÊSIftTANGK OBS SOLIOBS.
(Du n* tdS).
qui 88 maDifeste, elle aii9^, pliM aoufent pardeeéifldoiictleaiIefH gitndiiMles de ibres que par des 8ép«ratk>B8 trassvemtos»
Noos ne (emm niwA aneuae dlstiBctkHi entre les aâkMons fer* manenies (*) transversale et loDgitodloale, oii entre les Hmftes des efforts tangentlds transrrwsanx et les limitée dee eflbrts tang^- Uels longitodhianx , et none lear assigneroi» les mêmes valeorsT. ou bien
T • sur une section transversale co dans le sens u^ ainsi que sur une section longitudinale perpendiculaire aux u et dans le sens longitudinal ;
T\ sur une section co dans le sens v^ ainsi que sur une section longitudinale perpendiculaire aux v,
Seulenient » quand il a^agira ( S 62 ei«aprèa) dA leo déduire de Texpérience, en admettant, à priori, que ces limites sont unecer* taine fraction des efforts capables de produire immédiatement la rupture par glissement , on aura soin d» prendre l^elfort relatif à e^ui des deux sens reetangubires où il est le moindre.
Les appUcations qui vont suivre de l'équatiaii géaérale de ootA* sion do 8 àk sont relatives à des cas où les glissements g'i » g^i se* raient à peu près sans influence.
^ A7« Applications diverses quand on peut négliger les gHsse* ments de cisaillement g\ , g"i. — Cylindre à base cvrcuîairéjlèchi, tordu , et étendu ou comprimé, — Supposons-en ht matière d^égale contexture dans les divers sens transversaux; et appelons, comme au S 6 de la note du n* i^à (où, au lieu d\me torsion» nous avions tin cisaillement] ,
r le rajon inoonuu d^ la section <*> de ce cylindre;
r', r"» r''' les valeurs quUl iaudralt donner ^ ee rayon ai le cylindre
•mai^m^*^
(>) Oa pourrall, coftwe M. lo»ravfkl, el oonum fMMit dé^ VouKg (Ue^ laro XI Ut voU 1)^ HHm^' adhéim U riùauace T i la rupturo par fUuMnoatoii réservant le nom de eobéslon à la réalslaoce R i la rupture par eitension. Oo <Msigne déljà ainii une Ibroe analogue dans la théorie du firotleBient en hi dtstin* goaal éa cetauHcl. Mata , «■ déSnIlive , eUn dérive dt la cohémim qn'im corpt oM dans les divers sens; Vous rappellerons dooe souvent cohésion taogontielle.
AftT. V. TORSION AV£G FLfillOK. kiS
(Du. n« 1541).
■ I ■ ■■ ■ 1 II I I I ■■■■ ■ P— ^i^M^— —
n^étoit soUlcité respectivNneiit qu'à la flexion par le pMSMDt M
autour d'un diamètre de cette section» k la tersk» pa^ le mt^
ipeoilii autottrderaxedefigiira,eftàrexteniri<iafraifc)%oo«ipressiea par la feree lo^fitiidinàte Q;
Et tOljJOUrS ï). =r —..
Nous pouvons mettre de suite dans la formule ou équatfon de
cohésion du $ && « à la place de ff = V^g^+g^S sa valeur maximum (S 40, p. 359)
A Mir
qui a lieu à tou3 les points de la otroonlérencc. Et comme QXk né« «Wge g'„ g^\ et on a
Téquation de cobésion peut s*écrire
Si« suecesaivement» l\>n n'y conserve que rniie des trois données Q, M» M] en annulant les deux antres, et û Ton remarque que ^ lors; que Q = 0» il (aut, pour avoir le maximum du premier membre^ prendre
t? = sa plus grande valedr positive t 1 j Trij < 1, Bo<R'k i
t; = sa i»lus. grande valeur négative — r j ( ^i ^ 1» Bo> R'« ♦
cette équation donne comme cas particuliers
p"'S = «-^ , t*'"' = v\i >^ =5 —p selon qoA Q est une Iraclion ou une piestiioa,
..4M - ÛM ÂM , ^. • .
ce qui sert à déterminer r', f\ r**, et, aussi, en tirant de ces éga-
416 SECX. 1. RÉSISTANCE DES SOUDES.
(DU n* idtt).
lités Q, Mt , M et substituant, à donner à l'équation une forme commode pour la discussion.
Mais considéroBs d'abord le cas où le cylindre n'est que fléchi et tordu, sauf à examiner ensuite ceux où, en même temps, son axe est étendu ou comprimé.
S AS. Mèine cylindre circulaire^ seuletnentjléchi et tordu. Tableau des résultats pour diverses valeurs supposées au rapport i^j de I\« a R'o. — En faisant Q = 0, ou r"' = 0, réquaUon devient, à la limite^ ou pour la détermination des moindres valeurs qu'on puisse donner au rayon r de la pièce cylindrique
1± t=!ll4M+V/(i±21i*"y+(^V8elon que "• l\
Si la matière est isotrope ou d'égale contexture en tous sens, ou si l'on a (SS 8 et » de la note du n' 162) 11, = 1/4, T. = 4/5 R., on en tire l'expression très-simple
R. ^ = i M + s m «»'"«»« \/M»+M«, = Ht
ou en représentant par Ht \Qmoment résultant de toutes les forces qui agissent à une extrémité du cylindre.
Mais quels que soient tj, et T„, l'équation donne ces autres expressions simples en éliminant ^f — :
si,.<l, r' = i=^r'3+Y/{4^r"y+r"S
Leur forme est semblable à celle des expressions du $ & de la note du n* ibh. Elles donnent en attribuant diverses valeurs à v), ainsi qu'au rapport de r' à f ou des rayons dus à lajlexion seule et à la torsion seule^ le tableau numérique qui suit :
(Du n» idtt}<
sini=
oiiap5 =
, rt
OODOC
|oa 5
|oa3
^oa S
îonî
lonf
Tli=l
Ainsi que nous avons dit à la fin du $ 63, il résulte de ce tableau que lorsqu^on regarde le rapport ti^ des limites R,, R', des tractions et pressions longitudinales permanentes non dangereuses comme n'allant pas au-delà de 1/2 ou 2/3, et, aussi, si Ton vient à le supposer > 1 et atteignant au moins /^/3, on obtient les résultats avec tout autant d'approximation qu'on peut désirer pour la pratique en faisant constamment
Tïi = 1/4
dans la formule de torsion et flexion simultanée , comme quand la cbntexture est la même en tous sens.
49. Suite, Même cylindre à base circulaire éprouvant , avec la flexion et la torsion^ urœ extension longitudinale.
Supposons désormais y), < i ou = 1 au plus.
Rétablissons la force longitudinale Q, supposée d'abord agir pour étendre Taxe du cylindre.
Alors, comme elle entre avec le signe -{- dans la formule du $ 44,
le maximum a lieu pour ~ = -{- 1, et l'équation propre à fournir
le rayon r, ou la plus petite valeur à lui donner pour assurer la stabilité de la cohésion, est
km SKGT. 1. RÉSISTANCE DES SOUDES.
(Du D« tA«).
Oq Tan tirera pir spiuroiimatioos suecessives après avoir mis pour Q, M, ll| , v}| leurs yaleiurs numériques ; et on le tlrem plus simplement de la suifante, qui s^en déduit en transposant et élevant au carré pour chasser le radical, puis multipliant par (nr')* :
•t 4id pe^t être éorite ainsi » en éliminaAt —^ ^« ^ comme on
a dit au S précédent
(H -^ r* r - f^ (r» 4- ïï,f«^ r + ii,r«) =: r"*.
La résolution numérique de cette équation du 6* degré, par rapport à r, est facile et prompte, sans la développer, en se servant de la méthode de ftusse position ou des différences proportionnelles, rappelée au commencement du $ Sa*
£t elle n^est que du second degré si c'est M ou Mi qu'on cbefehe, 08 bien une force qui , multipliée par des bras de levier connus , produit ces deux moments , et dont 11 s'agit de limiter rintensité de manière qu'elle ne mette pas en péril la cohésion d\ine pièce donnée.
S 50. Suite, Même cylindre circulaire lorsque c'*est une compression longitudinale qu'il éprouve en même temps que la torsion et lajlexion. — La force comprimante Q entre avec le signe *- dans réquation de cohésion du $ M qui est, ainsi
ou , en remplaçant ^ par sa valeur tirée alors (S hl^ p« AÏS) de
àW* y. T0B8I0N AVEC FLEXION.
(Du n*
Le maximum doit être pris par rapport à la quantité variable -
qui a pour limita + 1 et-'- i, ou» ee qui revlaut au mAmei iMr rapport à la parenthèae» qui a pour limitei sepérieiire et inférieure
Or si 1*0Q nommç x cette parenthèse — ^+7ipt^yl& quantité dont en veut avoir le maximum» ou ri Ton pose
■•MkwMMi**
le radical représente, en prenant a; pour abscisse, Tordonnée de la
branohe positive nam d*ttne hyperbole ayant pour axe imaginaire Taxe ox
1— TJ
de0x«Sttigoutant,pouravoirsf, -—^ x
qui est Tordonnée d'une droite cob passant par Torigine et ayant rincli-
nalson — ^ sur Taxe des x» la nouvelle branche de courbe ob-
tenue n^am^ tourne nécessairement sa concavité du même côté que la première nam (0» ou en haut, La quantité y n'a donc pas de maximum absolu ; ce qu^on pouvait voir aussi en la dilKrentlant deux fois, car il en résulte
fy Cette deittième eoarbe fiiaoïi est insii uae hyperbole qui « poor ufiaptotet lee detti droitet od^ oc, dont les équation» sont f/=zx et y =: — t^ix; car -r^
prend lea falnarf 4 el — % quand en luppoM « s±: «^ Bon pelnlle flê» baa,
tfy 4— •»« r"s Npondanti t^ = 0, a lien poor «s=— y=rr«o «orle que le »«-
ii«
(<+i'H)^iï, »•
hlmiifiidesonord^néeeil ys r-T*^* ^^ ys V^ quand ni=:4/4.
420 S£GT. 1. AiSlâTAMCfi DES SOUDKS.
(Du D« !«•).
quantité toujours positive puisque le radical de nos équations de cohésion doit toi]jours être pris positiTement (S A3» P* 379). La plus grahde valeur cherchée de y répond donc nécessairement à rune des deux limites de la variable , c'est-à-dire
à- = l ouà-= — 1.
Ce sera à la première limite, t? = r, et le point dangereux sera du côté convexe ou des fibres dilatées par la flexion, si la force comprimante Q est faible, et ce sera à la deuxième, v=— r, on ce point se trouvera du côté concave, si Q est très-considérable.
Pour savoir dans tous les cas laquelle des deux il faut prendre,
on peut faire successivement - = + i et — 1 dans Téquation
"ÏÏS^ ( J"^^ ~ * » ®' chercher par tâtonnement numérique les valeurs de r qui y satisfont en prenant la plus grande des deux ; mais il est plus simple de faire cette recherche après avoir chassé le radical comme ci-dessus, ce qui donne
pour
pour i?= — r
(R,:ur»-f-Qr-4M)(R,7rr»-7itQr+aR,M) =^R,^y ou (r* + 1- r'^^r-r''^ (r»-r'"»r.+ ^j^r^) = r"« ;
ou ^r» 4--r'"»r 4- rA (r»— r"^r- tiir^j = r''*.
On adoptera la plus grande des deux valeurs du rayon cherché r qui satisferont Tune à la première, Tautre à la seconde de ces équations (que nous avons écrites chacune sous deux formes); et le point dangereux répondra ainsi àt?=rouàt? = — r selon qu'elle aura été fournie par la première ou par la seconde.
Mais on peut déterminer à priori laquelle des deux fournira la plus grande valeur de r. D'abord, pour que les deux donnent la même
valeur, il faut que Téquation 1 ==i=Ilia;4- yT^î^î^^ ou que la suivante qu'on en déduit en chassant le radical.
(Du n« flA#).
soit également satisfaite par les deux valeurs limites x = ^ + -^
Tjjr" r*
et a: = = — -3. Leur somme doit pour cela être égale au signe
Vi P*
près au coefficient de x dans le second terme, et le produit des deux mêmes racines doit être égal au dernier terme, en sorte que
Éliminant Tinconnue r* entre ces deux relations (dont la première aurait pu être aussi obtenue en égalant les premiers membres des deux équations (r* + ....) (r* — ...) = r"« et réduisant), on obtient
Si r'% qui vient de la force de compression Q , devient plus grand que ce que donne cette expression, la contraction domine , et, sMl est plus faible, c*est la dilatation. Ainsi le point dangereux répond
OU selon qu*on a (en remettant pour r', r", r""" leurs valeurs)
ou à
il suffira de résoudre la première équation (R«nr* +Qr — AM) ( ) =r . .. si Ton a r*» ou Q* < , et la seconde (R,itr» + Qr + 4M) ( ) =... si Ton a r^* ou Q* > que les quantités qu'on vient d'écrire.
$ 51. Application au cylindre à base d'ellipse sollicité àplaL —
Nous dirons, pour abréger, qu'un cylindre elliptique à la fois fléchi et tordu est sollicité à fléchir à plat ou de champy selon que le plan du moment M qui fait fléchir est parallèle ou perpendiculaire au diamètre prin* ctpal CGC' aux extrémités duquel se
un SECT. I. RÊSISTANGC MS SOUIN».
trouoent les deux points dangereux par torsion seule. En sorte . qu'en appelant les deux axes ou diamètres principaux de la base elliptique
b^C quand U contextnre tranarenale •■( <g«li«
b%tcÉL b ^ e
m^^'JftT QOAnd elle est Inégale mais ejoiétrlqae, * • ■■• •
la sollicitation à plat est parallèle à <; , et la soUieitation de champ est parallèle à b.
Dans le premier cas, oelui de la sollicitation à plat (et en supposant toujours négligeables g'„ g\ ou les effets de cisaillement), il est facile de prourer que le point dangereux par torsion etjlexion avec ou sans dilatation ou contraction longitudinale de Taxe du prisme, se confondra nécessairement avec Tun ou l'autre des deux points
dangereux par torsion seule G, G'^ ou se trouvera h Time ou k Tautre
des deux extrémités t?5S|, 9?=:=— |de Taxe c d'une seetion.
En effet on a, pour le mode de sollicitation supposé , M^ = 0, et réqnalion de cobéslon (S ftà] est, à la limite
^*^ • 2R:^v=*=i;-^-rj+V Visr; 1=^î3+— j-^TlxTr^'^r^pJ^^si le second terme sous le radical était constant comme au $ précèdent» le premier membre 71^^ ( ) + J , représentant, comme
nous avons vii« Tordoonée d*une courbe qui tourne sa concavité du
c(Mé supérieur du positif, ne pourrait aroir sa plus grande valeur que pour Tune ou Tanifs des deux valeurs extrêmes de Tabsctae
=^- -¥ -r^9 c'est-à-dire pour o » H- touï^ |. A plus forte raison
ceift anra lien lorsque ce t^vie variable -r^ ( x^it^ -pr^t)» ^^^
mesure le danger de rupture par torsion seule, prendra partout ailleurs dés valeurs Inférieures aux deux valeurs égales qu'il a aux deux
polols V ss c t V =3 -^ -« C'est done« pour le cylindreelliptique sollicité à plat, avec Tun ou Tautre de ces deux points que se confond le
ART. V. TOaSlOU AVEC FLEXION. /t2l
• Du ne IMI).
point dangereux par flexion et torsion , on le point de maximav de
la qnaatltè ^^ f ± - +\ -f V <lû premier membre de l*équa-^
tion destinée à nous faire connaître les plus petites dimensions transvases i attribuer an cylindre elliptique pour résister I des forées données.
G^est évidemment pour v = + ^ gl q agit par traction, on est affecté du signe +• Et Téquation de cohésion, vu que
ou
est alors
(!^ fcc«- Qc- 8M') (î^ôc» + ^,Qc + a,,M') =(Bo ^y •
En accentuant comme aux deux $$ précédents les dimensions qu*on donnerait à la seetion du cylindre s'il était seulement ou étendU;, ou fléchi, ou tordu, c'est-àKlire en faisant
on pourra encore écrire cette équation
(6c« — ftVc — *V«) (ôc* + Ht rc^tf 4- ni^O = (^c"»)«.
On en tirera Tune des deux dimensions 5, c si Ton se donne l'autre, ou toutes deux si Ton se donne une relation entre «Iles, par eieoij^e
la grandeur de leur rapport- {^},
(1) Si Ton s'impoMit la eooditioD que la luperficie ta ie la mcUob, (m la produit bc, fût un minimum, il faudrait prendre e le plus grand ponible, on
c=5 -r-, e'eit-â-dire faire la lecUon cir^alaire quand la eonmture trantrer-
•aie ett égale. Mais nous supposons id qu'il j a d'anii^ rsiaons 4a la Airt elliptique que l'Inégalité de t* et T",.
k2ll 8(CT. 1. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
(Du tt* IMI).
Mais si la force loD^tadinale Q agit par compression oa est affectée du signe ^, il faut, comme au $ précédent, choisir la plus grande des solutions fournies par deux équations, qui seront :
siv=^ I ' (?f ftc«+Qc+8M') (^ 6c«-^.Qc.^,M') = (r. ^) \ et qui, vu qu'alors
peuvent s'écrire
(bc^ + 1 ft'Vc + 6'c'») (6c«-- i/^c^c— r.j6'c'») = (6V*)*.
On trouverait, comme pour les équations analogues du $ précédent, qu*il faudra prendre la première ou la seconde, ou placer le point dangereux du côté convexe ou du côté concave de la pièce fléchie selon qu'on aura
ou, ce qui est la même chose,
S 52. Même cylindre êllvpiique sollicité de cAamp. — Pour ce mode de sollicitation h, fléchir (§ précédent) le point dangereux, unique ou double, peut être en de tout autres endroits du contour elliptique que les extrémités G, G' de Taxe c où II serait s'il n'y avait que torsion, et l'extrémité B ou B' de l'axe b où il serait s'il n'y avait que flexion.
On peut toujours trouver ce point par tâtonnement numérique, comme nous avons dit $ lxli\ mais, dans le cas simple qui nous occupe, on peut aussi l'obtenir analytiquement
ART. V. TORSION AVEC FLEXION. â?5
(DU n* ift#}.
En effets alors, vu que M', ou le moment de flexion parallèle aux v, est nul, et que
réquation est
1 = maximum de ^^ ( ± -7— H rs — 5- | +
2R, \ izbc nb^c h J
4 //i-hîiAV^ W . 32M^^ 2u\« . /16MAV /^p' . 4ti« ^
Comme c'est sur le contour elliptique que v' est le plus grand possible pour chaque valeur de u, on peut remplacer —^ par i — p- qui est sa valeur tirée de Téquationde ce contour, ce qui donne, en multipliant les deux membres par R, •
Vm-(*Q'-.--f)V(..^)-g-(iy(?-^)].
La quantité du second membre, dont on veut avoir le maximum, croîtra indéfiniment avec u lorsque, Q étant ou nul ou affecté du
(2t*\* -^ j sous le radical sera positif, ou lorsqu'on aura
/R.M, Y/6» r\\ /l+t>AV
\irM'')\c^ r\)^\ 2 )'
alors le maximum aura lieu pour t< = â Q^^ ^^ sa valeur limite; le
point dangereux sera à l'extrémité B de Taxe ou diamètre principal 6, comme s'il n'y avait que flexion , et Téquation pour déterminer les dimensions 6, c se réduira à
R/^ =1=2. (Qt + 8M") + y (iÇk) V+8M")'+ (r. ^)\ ou (R.î|£-.Q6-8M")(R.n^ +,.Qft+8..M")=(B.^y.
k2S SBCT. I. R&SISTARGB DES 80UDBS.
(Du B* IMI).
Qaand ees eondltlODfl, i* 0 = 0 ou aflRscté du signe + » 2*
(S^) *(5 " ft) < (^0 " "® "^"^ P*^ "^""P^^ toutes deux ,
2u 2tt
la solution peut répondre encore à -r = ^i ^^^ &ussi à -=- = -^1,
et aussi &un maximum absolu qui existeraitentre ces deux limites. Il convient de chercher d^abord ce maximum. On Tobtient en égalant la quantité du second membre] à une indéterminée y, ce qui donne
(^^-)(,*„QH.„M.-)=(^^y[^-{-)-(^^.)],
et en différentiant par rapport h la variable -r-j puis faisant dy =? 0, y = hp ^^. L*équation qui en provient donna
f R.M. \VA» T\\
et» en retranehant cette même équation de celle dont elle pra-
vient, après ravoir multipliée par j- , le carré de cette inconnue disparaît, et il reste
2u d*où il est facile d*éllminer-T-, ce qui donne» en multipliant en-
suite par
(±îy
Oo résoudra cette équation pour en tirer une des dimensiiHis cherchées 6, c si Ton se donne Tautre; ou, si c*est - qu'on se donne,
on tirâ*a 6c* qui n*y est engagé qu^au second degré. Mais il peut
(Du n* IMI).
arriver : i* qu'elle ne fournisse que des valeurs imaginaires,* c^est quMl n*y aura alors ni maximum ni mlnlnram absolu de y ; 2" qti'ellfe donne des valeurs réelles mais qui substituées dans l*expresfljon
ci-dessus de -j- le rendent > 1 ou < — 1; cela indiquera que le
maximum ou le minimum absolu sort des limites de la section; 3* que ces mêmes valeurs réelles trouvées soient plus petites que
celles qui seraient fournies par Téquatlon non diiférentiée Ro ^-r^ =
= -^—^ (....) + v/rrrr en y faisant -^= + lou-^as — 1; cela
prouvera qu'elles ne répondent qu'à un minimum de la quantité dont on veut avoir le maximum. Dans ces trois cas « ce sera & Tune
ou & l'autre des deux limites de -^ que se trouvera le point dangereux, et Ton prendra pour ( ou c , ou pour 6*c ou fy:\ la plus forte
2tt des deux valeum obtenues en faisant auccessivement -r- = + i et
-7- = — 1 , c'est-à-dire en résolvant les deux équations
ou, ce qui revient au même , les deux équations plus simples
les termes en W étant successivement pris avec leurs signes supérieurs et leurs signes inférieurs, qui sont indépendants des signes des termes en Q/
Ainsi, lorsque Q = 0, Téquation précédente de maximum ou minimum absolu» si l'on fait comme au $ précédent
Ê^^-^e^ ^^bf^c/^ d'où -5^-^^ donne
(Da n* IMI).
bc* i I V'^VM^'^T^J""'''
^2tt
Quand le dénominateur sous le radical est négatif, il ny a pas de maximum absolu, d'après la condition '^['"T^) P^^^ ^^^
à l'heure (p. â25 , kW), Et si le numératjBur est négatif en même temps, la valeur de 6c*, qui est réelle, répond h un minimum. Soient, par exemple
- =p = ~ = 2, tji = l/4, r. = r', = T„«ttoajoorsQ = 0;
ces deux formules deviennent
fcy
' /c"\* 25' [7) - AS
2tf
en sorte que :
Pour
,tf'x% t i ./î JT
Ob
pSïrl^) = « « «,«»»« «.73» l,*U
On a , pour le maximam on le minimnin absolu :
OB
Ob
répondant à
8v /e"\' Mais, à la limite -- =i ^i ponr les mèmea yaleurs de l~-| , on a :
OB
oe
(Du D» !&•).
Jusqu'à f^V=V/- ~ 0,5773, les deux termes de la fraction sous le radical de Texpression de (-jjj sont négatifs ; il en résulte
des valeurs réelles de ( -^ j , mais qui donnent pour y un minimum et non un maximum, comme on voit par Tavant-dernière ligne,
T, ) qui répondent à la limite ~r == ^
sontbicnplusgrandes. Ensuite, jusqu'à ( — ,j =\/Tâ = 0,7217,
les valeurs de (^,] sont imaginaires et il n'y a ni maximum ni minimum absolu. Elles sont et restent ensuite réelles, et on a un maxi«
mum absolu ; mais. Jusqu'à ( -r ] == 0,956 , il répond à des valeurs
Su de -j- supérieures à I, ou à des points hors de la section.
Il en résulte que jusqu'à la valeur 0,9562 de la quantité donnée
(p-) 9 lo PO^nt dangereux répond à
-^ = 1 OU à l'extrémité B du grand
axe d'une section, comme quand il n'y a que flexion ; et les vraies solutions, ou les valeurs à adopter pour c>, sont
fournies par les deux dernières lignes du tableau.
2u Ensuite, omme on le voit par les valeurs décroissantes de -r ré-
pondant au maximum absolu , le point dangereux parcourt succès* livement toute rétendue du contour des quarts d*ellipse fiC , BG' de part et d'autre de cette extrémité B de l'axe 6, et il n'arrive aux
— j = oc, c'est-à-dire pour
c'=0 ou lorsqu'il y a torsion sans flexion. C'est ce qu'on voit encore par les deux dernières lignes, qui donnent, depuis
^ j = 0,956 (et même déjà depuis ( -7 ) = 0,722 pour des points
UiQ SBGT. 1. RÉSISTANCE Dfl8 SOUDES.
