I. Ii
Cùfnptée sur Vctxe de figvre de la tige entre son extrémité K et le tronçon.
Et, en eifet, d'après la forme primitive supposée & la tige, les coordonnées finies de m par rapport à des axes fixes qaelconqaes croissent bien évidemment d^une manière égale, soit qu*oo paasc du point m à un point voisin m^ du môme tronçon» situé sur une même parallèle aux a;, la base M restant fixe, soit qu'on avance tout le tronçon d'une quantité MM| = mm^ » c'est-À-dire qu^on déplace sa base M d'une distance MM| = ds^ égale à mm^ = dr le long de Taxe de figure d'abord rectillgue AMM'B» sans que le point m qui fait partie du tronçon change de distance x à cette base.
Cette égalité ou relation est facile à exprimer. Ajov^os chaque coordonné S, i)» X, du centre M avec la prcgectioO} sur sa direclîon, de la ligne brisée (x+u)+(y +t?)+(2+«9) des petites coordonnée de m mises bout à bout/.et représentons, comme aux SS ci^dessus» par
les cosinuB des «Bgta foroiés avec les axes (» «), ^ des coordonnées fixes, par ceux des petites coordonnées mobiles c, y^ %\ nens aurons
!Ç+(a;+M)c^4-(y+t7) c c-f-(2J+tr)cc, ïl+(«+w)c^^+(y+t;j c^,+(2+ti?)c^^, Ç+(x+u)c^+(y+r) c^-H5+«?)c^
Leurs dérivées par rapport à x doivent, disons-nous, être égales à leurs dérivées par rapport à s. Or les neuf cosinus, et S, r^, C, coordonnées de M, ne varient qu'avec s. On a donc ces équations, base de toute l'analyse ci-après
/^ , du\ dv , dw ^ dÇ , âAi^ . dv dw. ,
éCt <te t de c
' /, du\ dv dw dn du . ^ *t
(<îu\ do dw dC du , . i *^
«Ti
APPENDICE GOMPLÉMeNTAIRE. 83^
Ajootoiw-Jes, multipliéei9r08p0ctir6iiieii(parc e c^ Oe;fljoutoBs-les, en second Heu, multipliées par c ç c ^ c r; en troisième lieu, multipliées par c e c c k ; il ne restera dans les
premiers membres de ces équatioofHSOmmes, que ^ + ^* ^~> 7*
respectivement, en vertu des six relations connues entre les neuf connus. Or faisons, en nous appuyant sur les différentielles des trois relations telles que CcCcH-c^c, + CrCr = 0,
de p dQ ^ de y dOt de ^ dCf
^4 ds ^^in d9 +^^ds "^^i^lT ^^ ds ^^fCdT-^P'
dOt do ^ dCr de c de ^ dOr
de 5 ^ de dc^r de c de de r
y^ ds »^ ds yÇ dj «p^ d* '^ d^ A ds
qu;stQtîté9 d^nt nou^ verrons tout à Theure U «j^oifi^tton. Et, ^n reœarqvaut que Im différentielles ^, dn* dCàeft i$oof doontes de M p9r rapport à iV^? ', om ea dopt ^iles Augmeotept quwidM pMs«e de M i^ «»0 ppint yol^ia Mit %iim Mtué mr Ta^ coiurbâ de to t%e, spot pit990riioim0U<9P mix cosîquh q^^ o^^^ c^ àsfi MglM de mfi avec OS» 07)9 Ot:, faisons
<'.«'*' "rt*** "j:'^
Les éqaatlons-sommes sont donc
, , dr dv . , , , / . V du? dw , / . V / . N
Mais OD n*a pas encore eu égard, JusquMcl, à ce que les dioteasioDs transversales de la tige sont infiniment petites. Cette circonstance introduite permet à M. Kirchhoff de simplifier encore ces trois équations (288) par la suppression de tous les termes en Uy r, U7 de leurs seconds membres.
Pour cela, il appuie de divers raisonnements et calculs les principes suivants de mécanique infinitésimale, que tout le monde, nous le pensons, lui accordera comme évidents :
i* Si Ton assujettit quelque part un corps élastique de dimensions finies de la même manière qu'on fait pour rendre immobile un corps rigide, c^est-à-dire si Ton rend fixes, outre Tun de ses points matériels (S précédent, p. 827), une droite matérielle infiniment petite qui y passe, et une face matérielle infiniment petite passant par cette droite, les autres points du corps ainsi empêché de glisser et de tourner rC éprouveront ensuite de déplacement que si des forces extérieures y agissent*
2* Si, sur le corps ainsi assujetti, Ton fait successivement agir, aux mêmes points de Tintérieur ou de la surface* deux systèmes de forces, tels que celles du premier soient infidiment plus petites que celles du second, les déplacements produits par les premières seront infiniment plus petits que les déplacements produits par les secondes.
3* Si le corps, supposé encore assujetti quelque part de cette manière en une de ses parties, a des dimensions infiniment petites en tous sens (il est entendu qu'alors les éléments linéaire et plan rendus fixes sont înfiniments petits d'ordre supérieur), les déplacements de ses points seront infinirnerds plus petits que ceux des points homologues d*un corps semblable de même matière et de dimensions finies, ces points homologues étant supposés sollicités dans les deux corps par des forces de même intensité pour Tunîté de volume des éléments solides ainsi que pour Funité de superficie des éléments de la surface enveloppe.
A* Mais les dérivées de ces déplacements par rapport aux coordonnées des points seront aussi grandes dans le corps infintmeni petit que dans le corps fini et semblable, en sorte que les déplace- -ments dans celui-là sont infiniment petits vis à vis de leurs déri-
APPENDICE GOMPLÊaiENTAIRE. 837
vées, si les déplacements et leurs dérivées soot, dans oelui-cl, du même ordre de grandeur (^).
De \h II résuite qu*on peut^ avec ce Savant, eflTacer comme négligeables u» V» w dans les seconds membres des trois équations (288) dont les premiers membres sont occupés par les dérivées
•j^y ^, -^ de ces déplacements du point quelconque m du tron-
(1) Ce quatrième principe, irés-dssenliel i employer, ne paraîtra pai moiDS évident
que les trois autres, si l'on considère que le corps infiniment petit se trouve dans
le même cas, quant â l'ordre de grandeur des déplacements et de leurs dérivées,
que l'élément du corps fini qui comprend l'endroit assujetti. Les dérivées des dé-
• du
placements, par exemple les dilataUons --^, y sont du même ordre de grandeur
ax
que dans le reste du corps fini, bien que les déplacements eux-mêmes v, ,
y soient infiniment plus petits qu*à des distances finies du point immobile ; et si les
du y sont pris plus petils, les dx le sont dans la même proportion, de 9orle que
du les rapports — sont les mêmes aux points semblablement placés dans les deux do
corps.
Voici, au reste, à peu près comment l'émincnt proresaeur tire ce principe des trots équations indéfinies (38) écrites, eu égard i (1S), sous la forme suivante^ qui sont à satisfaire partout (on n'écrit que la première des trois)
d r du (du dvV] dV rf» . 1
S L*'"' S + - + ''^ U + £ JJ + dy L"''"^' S -^ -J
d r du \
rfz L ' dx J
et des trois définies (39), de la forme suivante, à satisfaire à la surface seuiement (on n'écrit que la première)
•,«xas~-|-... cos(n,«) = «rcos(n,o),
ainsi que des six équations particulières ou d'assujettissement (283 dû) à salis* faire pour rr=0, v = 0, z = 0 :
Il fait dans ces douie équations, posées pour le corps infloinent petit,
>f = ix, y = iy, 2r=ii, i étant la fraetioo iaflnimeni poUte qui exprime la proportion dans laqMlleil faut
838 SECt. l. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
çoD MM' pàf rapport aux àxes tn(ybfle9 ou variable fax, My, M2. Ce corps MM' est, en effet, InfiDimeDt petit êti tous sens, et il satfsfnit aux conditions d^aésujettùsement, car Porf^ine des ôôerdonnées primitlvea x^ y^tûem comme de aes coofdonnées nonvelles x+u, y+r, z-^w est un de ses points matériels. M; Taxe des x ou t-^u^ supposé tangent à Taxe de figure MM', se trouve pris ainsi d&ns la direction d'un des éléments linéaires matériels, et I*on suppose aussi qu^on prend pour le plan des xy le prolongement d*nn des éléments plans matériels passant par le même élément linéaire, par exemple Télément plan passant par Tun des deux axes pHneipaux de la soction, en sorte qu*on a bien les six équations partietilières (283 bis) de non déplacement d'un point et de deux éléments, expri-
rMuire 1m dimensions Hnéairei da eorps fini pour avoir ceiles eu eorpi setnblable inflnimeDt petit, et il itouUiplie tous les termes par i*«t I pour ne les aroir plus aux dénoroioatcurs. Il en résulte douze équaiious toutes semblables^ exoept6qa'anx coordonnées infiniment petites z, y, z des points de celui-ci se troarent substituées les coordonnées finies x, y, z des points homologues de eelui-là, et que, dans lea seeondl membres des six premières équations, les foroei X, Y, Z agissant sur rmUé de TOlumc, et la forÊe fz agfslant sut* Tanité dé surfaeé, se trouvent remplacées par
i>X, i% 1*S «I io.
Or, ainsi transformées, ces douze équations montrent bien que les déplacements u, t*, w qui sont toujours ceux des points dii corps infiniment petit, dus aux forces X, Y, Z et tar, sont ce que seraient les déplleementa homologues dans le corps fini s'ils étaient déterminés par des forces infiniment plus petites iv que celles-d à la surface, et, i Tintérieur, par des forces i*X , i% 1*Z négligeables comme encort plus petites dans une proportion infinie.
Mais, pour le corps infiniment petit, sollicité par les forces c, etc., les oeur dérivées
du i du du 4 cftt dw A dw
5i'"TS' di'^ldi' ST""! diT'
4 du dw
-- fois ou ioflaiment i^ut grandM que 1m ilérivéea anatogiiefl -;• » *.... — niai ax dt
tives au corps fini sollicité par les forces ici, etc., sont, comme on voit, du même ordre de grandeur que aéraient ces dernières dérivées si la surface da corps fini était souniaR, par uMllA-, aui mêmes toroea car qui agiaaent anf le cbrps infiniment petit ; en sorte que, comme l'exprime M. Kirchhofl'^ les déplacements u, v, v
dans le pHU corps feont Wfen infiniment petiU vis-à^vts de leurs dérivées — ,
«fa* du dw
5y' rfi'
APPfiNDIGB GOUPLÊMSIiTAIRB. S39
maut la canditioa 80U9 laquelle se trouvent étaMIs les quatre priucipes énoncés.
Or on peut aussi, dans les seconds membres de (288), effacer
du dv dw di' ds^ 1s
si Ton suppose, comme dit M. KIrohhoff, que ces coefflcieiUs diffé-^ reniiels ne sont 'pas infiniment grands vis^^vis de u, t?, w; car alorsi d*aprôs oe qu'on vient de voir» ils sont négligeables comme
« . • . • . , du dv dw
infiniment plus petits que les premiers membres j-, g-, •^.
Et ceci n*a rien de contraire à ce qui a été montré tout à Theure do rindifférence des diiférentiations opérées par rapport à x ou par rapport & ^, car il s'agissait des déplacements aàsolus des points de la tige dAis Tespace, tandis qu'il s'agit maintenant de u^ V, t^t déplacements relatifs dans Tintérieur de chaque tronçon. On conçoit très^bien que les déplacements absolus augmratent de mémos quantités soit qu'on aille d'un point pris sur la première base M au point correspondant de la deuxième base M' d'un même tronçon MM', soit qu'on aille du point m de oe tronçon au point homologue m' du tronçon suivant* M'M'^ i mais qu'il n'en soit nullement de même pour les déplacements relatifs u, v, w pris par rapport aux axes se croisant iiu centre de la base fle chaque tronçon. Il est clair que ces derniers déplacements doivent varier incomparablement plus d'un bout jt l'autre du môme tronçon MM' où ils sont rapportés aux mêmes axes Mx, My, Uz^ que d'un point d'un tronçon au point homologue d'un autre, où ils sont rapportés à de nouveaux axes M'a;', lA'y\ M'z', qui ont d*autres directions en raison précisément des différences des déplacements qui ont eu lieu d'un bout ft Pautre de MM'.
Si, d'un tronçon à l'autre, les déplacements homologues, relatifs & ces axes différents, variaient d'une quantité de Tordre de la dis-
tance ds des bases de ces tronçons, en sorte que ^ fût du même
du ordre de grandeur que -^, c*est que la tige aurait éprouvé de
brusques variations de forme, telles que des fl^iioBB angulemes on
S&O SECT« I. IIÊ8I8TAIIGE OU SMIINS8.
des tondons non gradoelles. Or c^mi eé qfn\m ne BQ^peie jewds
dans les questions comme celles qui nous occupent; ^« ^» -^
du étv dw doivent donc être négligées derant j-, j-, -t-.
(tx az ax -
Les équations (288) se réduisent en conséquence à -
/««Av du . dv dw
(289) ^^t + qz^ry, ^-=rx^pz, ^ = Mf-««-
S 96. 2* IrUerprétation et conséquences de ces équations (989). — Dans ces équations, x, y, z sont, pour un tronçon quelconque, les coordonnées infiniment petites primitives d*un quelconque de ses points, rapportés à des axes coordonnés pris dans ee tronçon même, et v, r, w sont ce dont il faut les augmenter pour aroir les coordonnées ultérieures du même point par rapport à des axes nouveaux Mx, My, Mz aussi rectangulaires, ayant même origine M au centre de gravité de la base, Mx étant tangent à Taxe fléchi de la tige, et le plan xViy passant par Blx et par la tangente à Taxe principal de plus petit moment d'inertie de la section.
e représente, diaprés (287), la dilatation langitudintile de Vase de la tige en M ; car, comme les coordonnées, avant et après les déplacements, des deux points M, M' de cet axe, sont respectivement
ï» 1» î:» et ï + gjd*, 'n-\--^ds, i: + --d*, rallongement subi par la portion MM' de la tige est :
Quant aux quantités p, g, r, les formes (286) de leurs expressions
de e de de »
telles que c e -7^ + c « -7^ + Cr-^i^ sont connues dans me ^ A ds •''{ ds f^ ds
théorie dynamique, celle de la rotation d*un corps solide autour
d*un point fixe. Si en elfet Ton y met en dénominateurs Télément
dt du temps t au lieu de Téiément ds de Tare AMB, I, n, IT étant
tom'ours les directions d*axes coordonnés fixes dans Te^pace, elles
représentent les composantes de la vitesse angulaire Instantanée
APPENDICE GOMPLÊIIENTAIBB. Ski
d>]n pareil corps autoor d^axes rectangulaires mobiles x, y, z liés arec lui et se croisant au centre fixe de rotation. Elles représentent aussi, comme Ta remarqué M. Duhamel (')« les cosinus Infiniment petits, divisés par d/, des angles presque droits faits par chacun des trois axes rectangulaires mobiles, avec les directions qu'auront les deux autres après cet instant dt.
Analogiquement, pour en revenir à notre problème statique, si nous appelons
les directions des axes rectangulaires Waf, M'y\ MV tracés dans le tronçon suivant, M'M", après les déplacements, de la môme manière que Tont été Mx, Mi/, Mz dans le tronçon MM', remarquons qu'on a, d*après (286),
/ do t de ^ de »\
et ainsi de même des cinq autres cosinus analogues ; en sorte que t9iM\ «1 — ?îîL — Zl5»»' /»— ?fL— ZZ-îf! •• 5»fL— ZZ5sL-
c'est-à-dire que pds^ qds^ rds sont les projections, sur M2, Mx, My, de Tunité de longueur portée sur les lignes aussi rectangulaires My, MV, MV, ou, au signe près, les projections sur My, Mx, Ma: de la même unité portée sur M'2', MV, uy respectivement. Autrement,
sont les rotations, rapportées à l'unité de la distance ds des deux sections M, M'» qu'il ftuit faire subir à la première en même temps qu*on amène par une translation son point central M en M', pour que l'élément matériel de l'axe de la tige, qui lui est lié, vienne coïncider avte l'élément correspondant partant de M', et pour
(>) Cottn'd« MéeaaiqM, V édiiioa (IS53), t. S, i* 409 (doU).
S42 SEGT, i. J|£91STANCB DES SOUDES.
qa*il 7 ait aussi coïncidence entre les éléments plans passant en M et en M', par ces éléments linéaires et par ceux qui appartiennent aux axes principaux de moindre moment d'inertie des deux aeetiens.
D*oû Ton peut voir que :
p est ce que nous avons appelé la ^ornonjusqu'ioi, autour de Mx;
q, r sont les ^exion^ que la tige a prise simultanément antoar des axes principaux Mr, My.
Nommons donc pour le point M, comme aux notes du n« 83 (p. 59) et du n* 156 (p. 2^6), et au 3* appendice :
D la dilatation longitudinale;
d la torsion, ou Tare d*ttn rayon = 1 mesurant la rotation relative, autour de l*axe MM\ dedeax sections infiniment voisines, divisée par leur distance;
p'i f les rayons de courbure des projectiona de la courbe d*axe sur les plans zxQïyx\ nous pourrons, dans les formules (289), écrire
( a fi 1 1
\ i la place de e, p, ç, — r;
ce qui donne
/««i^ du ^ , z , y dv X ^ dw ^ x
Or, lntégi*Oiis d*àbord ces équations, cé qui donné, en repi^ésentant par
des grandeurs indépendantes de <1P, ou des fonctions de y, z seuls pour chaque tronçon ,
\ tt=u+(;) + l + J)«,
puis, diflTéreotions non-seulement par rapport à s ce qui r»* produit (291), mais aussi par rapport à y et à 2, afin décomposer
APPENDIiiK COMPLÉMENTAIRE. 8&3
les trois dilatations (û2) ^« = ^f etc. et les trois glissements gy, = J? 4. Jf , etc. Il eu réaalte les formules
Les grandeurs u, y, w entrant dans (293) ne sont autre chose que les petits déplacements u, v, w pour x -= 0, c'est-à-dire aux divers points de toute section de la tige, car chacune de ces sections peut être prise pour base d^un des tronçons Infiniment petits considérés. Ces déplacements sont nuls au centre de gravité M « origine des coordonnées particulières dont u, t% lo étaient les augmentations.
Ainsi
est, pour chaque point de chaque section, ce dont le gauchisse^ ment qu'elle éprouve écarte ce point du plan mené par le centre M normalement à Taxe de la tige i et
sont les écarts transvenaux provenant des dilfttatlottâ latérales iy, ds et du gli9$emmU âe déformation transversale gy^, quand ces dilatations et ce glissement particnller ne sont pas nulà comme cela a lieu dans la torsion pure oontidérée à la note du n* 156.
Les équations qui précèdent sonti on peut le dire, de pure cinématiquoi ou tout à fait indépendantes desl Intensités et du mode d'application et de distribution des forces mlliéltAnt la tige (sous
la seule restriction énoncée que "jz* ^f'jr^^ soient pas infiniment grands vis à vis de zi| v, w ou quMl n*j ait rien de brusque dans la marche des effets de ces forces d'un bout à l'autre de la tige}. Elles sont le résultat de la seule supposition de dimensions transversales infiniment petites.
Or les deux dernières de ces expressions (293), savoir celles des glissements g^^ g,«, ne sont autre chose que celles [$$ 8, 9 de la note dit r\^ 156, ou S 35 du 3* appendice, formules (72)] que nous avons
ikk SECT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.
données en 1847 et en 1853 (*) pour les glissements produits par k torsion d^un prisme quelconque dont les fibres droites se changent en hélices toutes de même pas ; ce qui n*a lieu rigoureusement, quand les dimensions transversales sont finies, qu*autant que ce prisme est sollieitéd*une certaine manière sur ses bases extrêmes, comme nous l'avons prouvé^ et M. Clebsch après nous (S 94}. La première» celle de d*, se compose de la dilatation de Paxe plus deux termes semblables au terme unique qu^on tire, dans la théorie ordinaire de la flexion, de Thypothèse que les sections restent planÏBS et normales aux fibres, mais que nous avons démontré subsister lorsque, conformément à la réalité, ces sections sont supposées en outre s'incliner et se courber d'une manière qui pour s'accomplir exactement exige encore un mode particulier de sollicitation et do distribution des forces sur les bases extrêmes des prismes quand ces bases ont des dimensions finies. On voit maintenant qoe ces trois expressions de la dilatation longitudinale et de deux glissements sont vraies (même lorsqu'il y a simultanément de petites dilatations et déformations transversales Dy, d„ gy, que nous avions abstraites) pour tout mode d'application et da distribution des forces sollicitantes H la section transversale a des dimensions inji' nimefU petites^ et qu'alors les parties des glissements g^, g» ou de l'incurvation des sections qui accompagnent Itijlexion inégaie m qui ne viennent pas de la torsion (*), sont négligeables; toutes choses que nous avons dites avoir lieu à peu près et avec l'approximation désirable lorsque les dimensions transversales sont seulement petites par rapport aux dimensions longitudinales.
Toute notre théorie de la torsion, et ce que nous avons dit de la possibilité de l'application trèsmpprochée de ses formules à la pra* tique, se trouvent ainsi confirmés par l'analyse et les considérations délicates de M. Kirchhoff,
On le vérifie en substituant les expressions précédentes (293) dans les formules de composantes de pression (29), p. 577, ou
(>) Conptes reûduf , 29 mars, t. XXIV, p. 4S7; et Savints étransen, t. XVI, art. 50, fora. (403).
(•) G'eit^-dire les partiet d« g««, gsy qu« nout appeUont g'| , f"| au $$44 à 46 (46 lurtOttt, p. 403406), ou g', g" au Tbéorèiii«IV, $ 48 dudeuzièBC àppmdicf, p. 537.
APPENDIGB COMPLÉMENTAIRE. 845
plutôt (174), p. 759, relatives aa cas d'un seul plan de symétrie de contextare, perpendiculaire à. la coordonnée longitudinale x, que Ton ne prend toujours que pour une portion de tige de longueur infiniment petite, et ces formules dans la première équation d'équilibre indéfinie (3b) 1^ 4- ^ + % = 0, dont on peut ainsi
effacer le premier terme vu que D, 0, p', p'' sont constants dans cette étendue infiniment petite MM', et substituant aussi dans la première équation définie (39) qui se réduit, sur la surface latérale supposée non pressée, à|7«yC0s(n« y) +PMCos(n, z) = 0. Ces substitutions donnent en effet
et, au coolour des sections
[.(i+%)+b'(|-fe)]».(.,.)+
équations semblables à (73) et (74), p* 607-608 [en faisant h''=h"'=h' suivant les égalités (149) du $ 70, p. 710]; et se réduisant, quand on se trouve dans le cas particulier de trois plans de symétrie yz^ zx, xy^ ou bien quand on change les coordonnées transversales comme aux p. 6ii, 771, à
de notre mémoire de 1853 et du S 39 de la note du n* 156, p. 348 ; et qui servent à déterminer la variable u.
Et» pour déterminer les deux autres inconnues v et w» M. Kirchboff montre autrement que nous que l'on satisDait aux autres conditions, comme nous l'avons, dit-il, remarqué le premier, en posant pour tout le solide :
(ou les équations (280) prises pour point de départ par M. Clebsch) ; car M. Kirchhoff observe qu*en mettant dans (296) pour p^^ p..,
p,, leurs expressions (29) ou (174), et (293) «^ + ^ + ^ pour iJir» on
846 sECr. I. BÊSiSTAVce des soudes.
ta*a ppur Dy^ dj, gg, dos expresâona en y» 2 de forme liaéaira, sa-
tisfoisant piur conséQuent à
condition de compatibilité (50), p. 596, sous laquelle ^y, d^, g^^s peuvent avoir les formes (293) ; etc.
On peut observer que les équations différentielles obtenues sont encore applicables quand la torsion 6 varie légèrement avec j, 00 change graduellement d'uo bout à l'autre de la tige, comme quand elle est constante. Gela permet de passel*, san^ Tespèce de postulatum invoqué $ /i2 (p. 633)» du c^ de TéquIUbre de torsion au cas de vibrations tournantes, dont M. KIrchfaoff démontre, du reste, aussi l'équation un peu plus loin.
On peut voir aussi, conformément i ce qui a été dit au commencement du S précédent, que les expreavons (293), conséqneiices de la petitesse des dimensions transversales, s'appliquent aussi bien à une tige dont la section varie graduellement et légèrement qu'à une tige de section constante, pourvu que son axe soit primitive* ment rectiligne, et que les points homologues des sections voisines se correspondent, condition qui est remplie si les axes principaux de plus petit moment d'inertie sont dans un même plan. En eiï^t, malgré le petit défaut de parallélisme, à Taxe MM' (figure p« 833)* des fibres joignant ces points homologues, si Ton prend sur Tune quelconque d'entre elles, comme au $ précédent, mm^ égal ^ MM] ou ds, on aura toujours, à cela près d'infiniment petits d^ordre négligeable» les mêmes accroissements des coordonnées Sni^ 1$ 7), X, du point m dans Tespace, soit qu'on passe da m en m| sur cette fibre dans un même tronçon MM', soit qu*on avance tout le trpnçon de la quantité MM^ en conservant la distance xdQm ^ \a hw ^ * en sorte qu*on peut toujours regarder ces coordomié^ JOuiie? ^ n« l comme ayant les mêmes dérivées par rapport à x qqç par rapport à s ; d'où les équations (235) et les formules qui suivent
Enfin, toutes ces formules, en les employant doublement, peuvent fournir ee qui <99( relatif à um tige n«t«reltonent courbe, comm^ le remarque très-biefli M. mrcbhoff ; ot, aiwi» k ime ti^e naturellenie/U tordue^ c'est-à-dire analogue à une colonne torse, ou dont les sections transversales successives n'ont pas leurs axes de
moindre OU de plus grand moment dlnertie dans un même plan. Il mifllt, pour cela, de supposer Imprimée à la tige une première d6formation qui la rectifie et la détorde, et de prendre pour cet état les petites coordonnées x, y^x, qui seront alors parallèles à son axe de figure et aux axes principaux d^inertie de ses sections; puis à Imprimer à la tige une deuxième déforraalâon qui ramène à son état définitif, en la faisant repasser par son état donné. On a alors deux systèmes de trois équations comme (993). En retrancbant celles du premier système de celles du second qni y correspondent, et représentent par Hudice o les quantités relatives à celni-4à, les équations ^29S) donnent
w — t?o = etc., w — ir, = etc.
Et les (299) donnent
Nous comptons y revenir quand nous traiterpns (les pièces cour*
(^) On Toit que les fUxion$ autour des axes transversaux principaux y, 2 ont pour grandeuks, quand la lifeéuU pri^Uf ciagai cow\f9,
P Pop P o
o«, «n appâtant t, • ^ c les «iigles q«t fora*, cnmC •& «prêt «« flasieM, i'asc principal y avee It «ermAo «« ptan oioilalMir 4e 4a éUbre MOffiiM ùe la Uf/f, ou Taxe principal a avee les rayons de courbure primitif et ultérieur p» €t p :
toi (• -f* ) - €«•* «— SÎn {ê -f t) SJBtf
Btt inlésrtBl iKHir Mate feieadae «'««e section «s les dewc menëres 4e le frsmière équation (296) multipliés d'abord par Ezdta, puis par Uydtù, on trouve^ comme au $ 3 de la note du a* 83, p. 54, que ces deux flexions doivent éire éga* lèesà
El" El"'
bes à simple et à double coarbure. Mentioonons toi^ours Ici que M. Kircbboff, en déyeloppant le calcul pour le cas où les forces extérieures n'agissent qu'aux extrémités de la Uge primitivemeot droite et prismatique, trouve que les équations sont les mêmes que celles dont dépend la détermination du roouyement de rotation d^in corps pesant autour d'un point, en y remplaçant le temps / par l'arc «9 et les trois moments d'inertie principaux du corps tournantt par les coefficients appelés ci-dessus GJ\ £1', sr qui multîplies par la torsion et les flexions donnent les moments des forces capables de les produire; ce qui découle de l'assimilation d^ signalée ci-dessus entre ces deux genres de problèmes. .
M. Kirchhoflr, comme l'on voit, en 1859^9, se plaçant résoloment dans l'hypothèse de dimensions infiniment petites suivant le sens transversal, et partageant les tiges dans le sens de leur longueur en tronçons aussi infiniment courts dont il lie entre eux les déplacements par des espèces d*équations de continuité, arrive, au moyen de considérations de pure géométrie ou de cinématique, quand ces tiges sont sollicitées d*une manière quelconque, à des résultats qpi avaient échappé à l'analyse de Caachy (note du
tfy, Um èual lei BomeBU ëei fbreet, et 1', I" les noBMU d'ioorlle de U teelioa autour de tes «lef principeux y et z.
Il est radie ds voir aviti qu'on a It toriiou
de di
-- et -'. étant, ayant et aprèi les déformitioBt, lea anglei que font ensenble let
plans oscmlateors menés en deui points de Taxe i la distanee tfa. On a, ainsi, les èquaUons qoe nous avons données en 4843 et 4 844 (Copies rvMbia, t. XVH. p. 95a, et t. XU, p. 44), dont on dédnit que U flexion rénOUmie est
et non pas - — ^ oomme l'ont pensé quetoues autears qni oubUalenl 4e leair
P h compte de l'angle c dont le rayon d^ courbure, ou la trace du plan oscolaieur sur
une section, tourne généralement sur le plan de celle-ci par l'effet des déplacements
quand la courbe d'axe est â double courbure ( On peut voir aussi Comples rsM-
diM, n Juin 4863, t. LVI, p. 4450, et Société philomathique 8 aoAi 1863, ou
17iu<itNf,n«4554).
APPENDICE COMVlêHENTAIRE.. 8!i9
S 39, 4* appendice, p. 621) fondée sur la sapposition de dimensions très-petites et de déTeloppablllté des diverses grandeurs en série convergente suivant les piilsaanoes entières de ces dimensions.
Nous avons dû, dans lintérôt de l'avancement de la science théorique et pratique, tenir à Justifier par la citation de travaux de deux émfnents professeurs des Universités de TAllemagne, des formules nouvelles peu connues jusquMci en France quoique approuvées par PAcadtoie, et dont nous nous sommes elToreé de rendre (à la note du n* i$6 et au 2* appendice) l'établissement simple et élémentaire autant que possible.
riN DE LA PREMIÈRE SECTION.
ERHATA
