S7r5;?'*'^-57=5;?^'i;=T"b*tr'="T"i

On doit avoir (comme a est supposé plus grand que b et c) pour que (236) Se reste compris entre a et c, et Sf entre a et b

■■<v^ •■Vî' » >\/i - v1-

Et même, n ne devra pas excéder 1 afin de ne pas rendre i] et V trop grands; et on ne devra pas le faire descendre au-dessous de 0,7 pour ne pas trop s'écarter de la distribution ellipsoïdale qui a en sa faveur de si fortes probabilités {$ 90) et quelques &its

Du reste, même pour les métaux» nous reconnaissons aujourd'hui qu'il n'est nullement impossible que i] et V excèdent quelquefois 1/2, ou que de petits allongements de prismes, dans les Haltes

de l'élasticité, augmentent la densité de leur matière; car c*est ce

APPENDICE GOMPLÊHSIVTAIRE. 823

qui a eu lieu pour des allongemeots plus forts, opérés par M. Wer« theim au delà de ces limites et Jusqu'à rupture (^).

Appliquons ceci à ce qui a dit au S 13 de la oote du rt 113» p. 108 (rupture par flexion}, c'est-à-dire aux conddératlons pro-* près à déterminer ou à comparer ensemble les grandeurs R'«, R. des limiies supérieures des pressions et des tensions ou tractions longitudinales non dangereuses. Nous avons (p. 109) en expliquant avec M. Poncelet (comme à la note du n" 3, écrasement^ p. 10} la rupture oa Téoervation due ji une oontraotion> eseroée longiti»* dioalement 6ur on prisme, par l'effet des dilatations transversales

yj qui raccompagnent, posé la formule suivante, où •— est la

limite des dilatations transversales, coinme ~, -:=^ sont les limites des dilatations et des contractions longitudinales.

Comme les formules précédentes résultant de la distribution ellipsoïdale observée ou exactement ou à peu près établissent une liaison entre la fhtction ?) et le rapport des coefficients E, E| (ce que nous n'apercevions pas encore en écrivant la note du n*" 113, voyes

p. 111), faisons (form. 275) ^î = j K/^-z:;^ V I"' ^* ®° résulte

MM. Ghevandier et Wertheim ont trouvé moyennemeiit pour le chêne, comme on vient de dirci =^^ 6; et aussi

Ri ^ (0,582 + 0>/l06) ^ a "" i (6,49 + 6,66) "W

pour le rapport des cohésions instantanées dans le sens transversal

(1) Mimoiro du 48 juillet 4843 sur l'ÊlaMicitâ el U cohérwiee dos néUux. dmH. de ch, et de ph,, 3* série, t. xn, art. ix.

824 SBCT* I. RfiSISTAlIGE OES SOLIDES.

et dans le seos longitodinal. Si nous prions aussi j-r povr le rap-

port -^ des cohésions permanentes ($$ 11, 12 de la mèime note, p. 106) dans les mêmes sens, la formule (278) nous donne

S^= 0,816 fl n = l

Ko

= 1,267 ti on preod n = 2/3,

pour le rapport entre les charges R'«, R, qu'on peut faire supporter longitudlnalement à une pièce de chêne par pression (sans flexion) et par traction* Quant aux expériences de M. Hagen, elles ont doifiié

El ~ 71,8 ■" ^' • R "" 0,0139 .1061 ~ il*'

car 1051 et 71,8 ont été (en kilogrammes par millimètre carré) les modules trouvés pour les élasticités longitudinale et transversale du chêne, et 0,0139, 0,0190 les limites trouvées pour rallongement avant rupture par traction. Il en résulte, en substituant dans (278),

^'-=1,890 si n = !, = 2,165 ti n = 2/3.

Pour le sapin on a (Ghevandier et Wertheim) =* = 22 (moven-

^, ^R, 10,220 + 0,297 1 „ . nement), et - = ^ j^ = ^: tfoù

^ = 1,173 tin => 1; ei 1,819 si n = |; * /« ^ . B .-- R« 0,0116.25,3 i j, ^

et (Bagen) ^ = 47.0, ^ = ôjôjijoik = ÏM' '**'^ ^ s 3,488 li n = l, et 3,867 si n= L

Bien que leurs bases soient affectées de bien des causes dMncer-

APPENDICE GOMPLÊIIENTAIRE. 825

titade* ces résultats n'ont rien d'improbable ni de contraire aux faits connus.

LMnverse de ce rapport^ ou rrf est ce que nous ayons désigné par

à la note du n" 120 (S 17, p. Iâ6-1A9), et aussi à la note du n* 166 (torsion avec flexion, S A3, p. 378-382, S 48, p. 416, et à la JBécapiiulaiion des formules, S 68, p. A5d-Aô9). Sa valeur d'après (278), qu'on peut réduire à

û V E B., vu que le radical W ^ , diffère peu de 1, étant substituée dans

réquation générale de cohésion permanente du bas de la p. 379, S A3 de la note du n* 156, la change en

$ 9A. Travaux de M. Clebsck—A. défaut d'un moyen, qu'on ne possédera peut-être Jamais, de tirer directement, des équations de l'élasticité, les grandeurs des déplacements dus à des forces données agissant sur un solide élastique de dimensions finies, nous avons, en 18A7-55, pour résoudre les problèmes de la torsion et de la flexion des prismes, fait usage d'une méthode inverse ou plutôt mixte, qui consiste à se donner à la fois une partie des forces et une partie des déplacements, et à déterminer par l'analyse rendue abordable au moyen de cet artifice, quels doivent ôtre et les autres déplacements et les autres forces, après s'être assuré, bien entendu, que les données choisies sont compatibles entre elles ainsi qu'avec les lois de l'élasticité exprimées par les équations générales de l'équilibre intérieur. Notre donnée sur les déplacements était successivement une petite torsion uniforme et une petite flexion tantôt uniforme tantôt uniformément croissante d'un bout à l'autre du prisme; notre donnée sur les forces était la nullité de toute action ou pression sur ses faces latérales. Et nous étions constamment obligés, pour poursuivre le calcul, de Joindre à ces données, par manière d'essai, la supposition très-naturelle que sur les fibres ou éléments longitudinaux intérieurs les actions étalent nulles aussi dafis le

8W S£CT. 1. fttUSTAMGE DBS SOUDES.

sem irantffersal{^), ea sorte que les fibres» si elleiagtaeat les umb sur les autres* ne le fassent que suivant leur longueur. La suite da calcul juilifiait oomplétemeia cette supposition, dont nous sTpns ci-dessus démontré synthétiquement la possibilité (aux $$ 3 des notes du a^ 21 et du n'-SO), et qui s'exprime analytiquement. si y et r sont les coordonnées transversales, et x la coordonnée dans le sens longitudinal, par

Pvy = ^» P«> = ^9 pyi = 0 partout à l'inlèrioiur 4a pritm*

Le calcul montre en effet que toute torsion ou flexion prise ainsi pour donnée, accompagnée ou non d*extensîODS et de glissements, peut avoir Ueu en même t^mps que cette nullité supposée des trois composantes transversales d'actions pyy, ps„ py^ à Tintérieur, et que celle des actions longitudinales sur les faces latérales extérieures; pourvu que sur les deux bases extrêmes on répartisse d'une certaine manière les forces tant normales que tangentidles ayant des résultantes et des moments résultants d'une grandeur en rapport avec celles des extensions, glissements, flexions et torsions h produire dans les limites de stabilité de la contexture.

M. Clebscb, dans un beau livre intitulé Théorie der EktsiicUdt /ester KSirper^ publié en iS62, a eu l'idée d'embrasser ces divers cas de déformation dans une même analyse, sans poser de primeabord de donnée sur le mode des déplacements, et en prenant pour seule donnée sur les forces notre double supposition première et auxiliaire, de nullité i* de toutes les pressions extérieures sur les faces latérales libres, 2* des composantes de toutes les pressions Intérieures dans un sens perpendiculaires aux fibres; c^est-à-dîre en partant uniquement de

(280) |>fv^O, p»;=?0, |Vs:i>ptrlo■^

(281) p«y COS(n, y) +|)MCOS(n, z) = 0 sur U tiuftoe latente da priuBe;

car e'est à cette dernière équation qm se rédsiaeiii les trois oon* dlttons dé/SMsr (81^) dn S 28 quand on y iUt ia preirion 49^ r= s, et

(i) n*»bonl, fMMr U Soxioii, aq <b. IV i« BOira Mteoira wr U ImiImi, an. 38 surtout, et arL 40 ; et cbauiId au MéiDOirs sur U Seikm (4S54 el 4S55), arU U} et, pour la lorstiou, au premier Uc ces deux Mémoires, an. 50» 54 . '

âPFBlimGB GOMPttaBHTAIRE. 827

en même ienps O08(ii, x)s=0, qui oandMas bien It sorfaoe bil6raie. Et il a bien ?oala donner notre nom au problàme anlvant :

« Reoiiereher quels sont les systèmes de forces devant agir sor les points des bases extrêmes du prisme ou cylindre pour que les choses se passent ainsi tant à l'intérieur que sur les faces latérales, et quels sont les divers déplacements qui en résultent pour ses .points. »

Bien entendu que pour faire cesser IMndétermInation & regard de ces déplacements, ou pour abstraire les translations et rotations générales» on suppose remplies, en un endroit» par exemple au centre de gravité de Tune des deux bases, pris ordinairement pour origine des coordonnées, les conditions qui rendraient le corps immobile 6*il était parfaitement rigide, c*est-Mire qu'on suppose que ce point reste fixe, ainsi qu'un élément matériel linéaire passant par ce point et un élément plan passant par cet. élément llnéairp (<), ce qui s'exprime de la manière suivante ;

Que pour ^=0, y=0, z^Q on ait

du dw du

^^j u=0, v=0, «»=0, «wc ^ = 0, ^=0, ^- = 0 aViUa^i

linéaire flxe«tl toiTiiil Paie dM y «l PélteMl pUa daif ]ê plaa yy.

dv dw dw

(283) { "="' "="' "*=•• •'* S = "• SF = "' ^ = " " ''*'*^' linéaire fixe eit suivant Taxe des x et l'élément plan dans le plan xy (*].

p) Oomae i Mire MéMlra MT la Toniovy art. 30, p. eO|et4S,p. 97 (mus cJMiiiMloiis, ponr Jet fixer aliiii, im élément de l'aie x du prisme et nn élément do plan xy); et sur la Flexion, art. 44, p. 40.

(^ En tflbl , lei eoordonnéei de inrfs poinu ritnèa «nr lei axea Ùei x, y,x à dea-dlsiaMei teSaiami petHee x, v, i de ForigiM, eoai, avMt lei ééplaeeeMnU

», 0, 0; 0, y, 0; 0, 0, x; et, après lea déplacements, si Ton au=0, vrr:0,to = Oi Forlglne :

, du dv dto du dv dw du dv , dw

PMf qne l'éléoMnt linéaire suivant Faxe des y eonserre sa direction , Il faut

du qM le deuxième point ne puisse se mouvoir que suivant cet axe, d'od «^ssO,

dy

^ = 0.* Pour qne félément du plan yx conserva ta dlf«cUon on ne pidsK

828 SECl*. I. BÊSlSTAMCfi DES SOLIDES.

Les condltiODs (380) fournissent immédiatement, d*aprèB les valeurs (30) ou (175) des composantes de pressions relatives à trob plans de symétrie de contexture, et diaprés la signification (form. 59, p. 803) de n^ n't £ •

dt? __ du dw ^ ,du dv dto ^ — i? ^^

fl^-"'*S* dJ-""'' dx' S"*"35r~ ' ^~*dx*

et réduisent les équations d'équilibre indéfinieB (88) à

dx dy dz ' dx * dx

Leur combinaison entre elles montre fiicilement que les qoatre

du dérivées secondes sur dx\ dy^^ dz\ dydzy de ^ et par suite de

j-^-^t doivent ôtre nulles. D'où l'on déduit (^) qae les déplacements o, to, ne peuvent être que des fonctions entières du troisième degré au plus en x, y, z» contenant seulement six constantes, et que le déplacement longitudinal u se compose d'une pareille fonction entière dépendant des mêmes constantes, plus une autre fonction u\ de y, z seuls, astreinte à satisfaire à

àhL' , dV ^

et à une condition déduite de (281) pour le contour des sections^ Et cette dernière fonction u' peut ôtre décomposée en quatre autres, multipliées par les mêmes constantes, et qui séparément sont relatives aux cas d'extension simple due à une force longitudinale, de flexions autour des deux axes principaux dMnertîr^ des sections, dues aux moments autour de ces axes, et de tmsîor. simple due au moment autour de celui du prisme. M. Glebscii arrive

loarner lulour de réiéneoi Unéaire y^ U ftat que le Iroitième poiai ne puine

se mottYOir paraUèleineDt aui x^ ou que -- =: 0*

qz

Le même raisonnement donne let conditions (983).

(1) Théorie der EUuticim fesUr KOrper^ § 23. Jku de Satmt-rtnanixhi Probkm»

l\ ftttt obtenrer que c^esl seulement pour le cas de oonteilure ègile dins les sens tranirenaux que les équilions (S80) ont pour conséquence U eonKnration des grandeurs des angles que Tont en Ire eui les côtés des petites bases dos fibres.

APPENDICE GOMPLÉMËNTAIBE. 829

ainsi, par une même analyse, aux diverses équations particulières que nous avons posées par des considérations spéciales pour chacun de ces genres de déformation d un solide prismatique.

La possibilité, ainsi établie pour tons les cas, de la solution du problème général posé tout Theure, peut ôtre énoncée par ce théorème :

« On peut toujours appliquer et distribuer; aux divers points des « bases de tout prisme ou cylindre élastique, des forces ayon^un^ « résultante et unmoment résultant donnés quelcmiques (dans des « limites de grandeur dépendant de la matière) , de telle sorte que si « aucune pression ne s'exercesur les faces latérales du même prisme, a il ne s'en exerce aucune non plus à Tintérieur dans un sens trans- « versai sur des faces parallèles aux arêtes [c^est-à-dlre qu'on ait a (280) si on a (281)].— Et, alors, la détermination des déplacements « dus à ces forces dépend simplement de Tintégration d'une équa- « tion linéaire du second ordre à une inconnue et deux variables « indépendantes , avec condition définie aussi linéaire . et du pre- « mier ordre, à remplir au contour des sections du prisme. »

Dans un paragraphe (^) intitulé Application approximative à des problèmes réels ^ M. Glebsch observe qu'en remplaçant les forces par d'autres, distribuées difléremment, mais ayant même résultante et même moment résultent, et agissant comme elles aux extrémités du prisme d'une longueur supposée beaucoup plus grande que ses dimensions transversales, les déformations ou déplacements éprouvés devront être à peu près les mêmes. Les formules d'extension, torsion et flexion autour des deux axes principaux des sections, qu'une analyse exacte a fait trouver pour certaines forces, conviennent donc approximativement pour d'autres forces quelconques qui agiraient de la même manière sur un corps rigide.

Prenant ensuite pour exemple un cylindre à base elliptique, M. Glebsch trouve des expressions identiques avec les nôtres pour sa torsion et pour sa flexion, ainsi que pour les plus grandes tensions ou pressions qui en résultent (').

(^) Même oarrage , $ 28.

(*) Nous deroos obsenrer, sur le § 37 du livro de M, Glebsch , où il traite de ce dernier fujei , que limiter les lensioni ou preitions ne donne pas les mêmes eonditioDS de eobésion permanente que limiter let dliautlons, même quand

830 SECr. L RÊSISTAMG£ DES aOLIINSS*

Puis, par une tmkywà Ingkiknm et HtYaaie» fondée aer Tonploi d'ara d'elUpaea el dliyperbolea homofocalea pour coordoMéea, M. CAebsch détanDine la toraioii d'on eftindre oresi élliptiqoe dmt les basée coeceQtriqiiea extérieure et Intérieure» an Uea d*ètre «emblablêi cenaie noue wùo» ai^poaé an S Ai de la note de n* iM» ont les deux mêmes foyers^ ce qui offre un bel exercice anatytiqiie de louage des coordonnées curfiUgnes et ortbasooaleB.

S 95. Travaux de M. Kirchhoff. V Ejrpreêsùms dei dérioèeM des déplacements par rapport à la coordonnée longUuimaU da»ê les tiges infinimeni minces. — Maie e^eet surtout des reobeiobeB originalee et délicates de Tillostre professeur de runi?^rsité de HeMelberg qu'on peut tirer la justification mathématique de remploi, par approximation» pour des forces distribuées d^nne manière quelconque aux extrémités des pièces solides, des formules de torsioa et de flexion que noua avone trouvéee pour des forcée distribuées d'une manière parUottlière et Januda réaUsée, et de rapplioation de ces formules à des pièces à section graduellement variable d'une extrémité à Fautre, même à des pièces légteemeat oourbes ; enfin» même à des pièœa cbaigéee ou sc^Uoltées dans toutes leun parties et non pas seulement aux extrémités; ce qui étend Mgtth moment leur emploi aux cas de pièc» animées de ?ibntfions transversales ou de vibrations tournantes, puisque les inerties des parties en mouvement se ramènent toujours à des forces.

M. Kirchhoff, dans son beau mémoire Sur VéquiUbre et le mo»* t^sm^R^ d'une tige élastique infinimetU mince {% où il veut bien

la conlexiure csl isoiropç. Ainsi , en repré;eDiiDi par 5 la plus graii4e dilata^ lion non dangereuse, si un corps fsolrope est également dilatA en tou^ sens, la plat grande pression <mi tension j sera (fbrniul* S6) f ^:i G(3d -f S 4- 8) =s BG8 ; malt s'il tst tiré ptr tes basM et dilat* do ( d«ni le sent de la loagutur pondant que ses faces latérales sont libres et que les dimensioDS transfersales éproaTOot

des contractions Y 8, la plus grande tension j sera |)=Ed=:- Gd, c'est-à-dire

moitié moindre qne dans le premier cas, où cependant lo corps courait le même danger de rompre, mesuré par la pins grande dilitatioB épromée. Si donc on ▼eut, â la manière de M. Clebscb, poser let éqnllou de oehétiM peruMUMsUo au mojen des théorèmes des $$ 84 et 81, c'est de l'ellipsofde des diîatalkMM ($ SI) et non de l'ellipsoïde des pressions (§ 81) qu'il faut se serrir.

(*} Ueber dat Gleicbgewielit ond Hewegung einet* aneadlldi domea eltailtAel Stabei. (loornal de Crelle, t. 56, p. MS»)

APPENDICE COUPL&MfiKTAlRB.

nous citer comme nyant ie premier résola avec rigueur le problème de la torsion et de la flexion d'un corps de ce g^ire lorsque sa forme primitive est prismatique ou son axe rectiligne {% suppose de prime abord que les dimensions transversales de sa tige sont infiniment petitOii, ce qui lui permet d'arriver aux équations de la flexion et de la torsion sans aucune restriction sur le mode de distribution et d'application^ aux extrémités, des forces qui font tordre et fléchir ( mais en négligeant nécessairement, alors, les effets des glissements tranversaux et longitudinaux dont la flexion est accompagnée et qui sont inflniment petits du second ordre dans cette supposition). Et il étend son analyse, au moyen d'une ingénieuse substitution de dilTérences de déplacements possibles aux déplacements réels, à des tiges naturellement U7i peu courbes; ce qui peut dtre appliqué aussi, comme nous verrons, à celles qui sont naturellement tordues ou torses^ c'est-à-dire dont les sections successives ont des points homologues rangés en espèces d'hélices au lieu de se correspondre sur des lignes toutes parallèles & la fibre moyenne.

Il partage cette tige ^B ayant une section ou constante ou gra« duellement et léig^vment variable, mais dont Taxe primitif de

figure est d'abord supposé rectiligne, en tronçons infiniment courts MM' ayant leurs trois ÛU mensions du môme ordre de grandeur IHine que l'autre ; ce qui permettra tout à l'heure d'assimiler chacun de ces tronçons à un corps fini en tous sens. Et il rapporte les déplacements de leurs points m h trois axes coordonnés rectangulaires Mx, Mj^, M;^ variables d'un tronçon à

. {*) W ajoute <r et lornioe les cbaogcmeDls dé forme sont inflaliiient peUu et qoe l'ne et la tige eal im axe d'élaaiiellé. a On peal obaerrer cependant que soa lolations de 4^3*1^55 roardiiaeat des dépIacettSBta relallh touut anral gtaadf

SECT. 1. KÊSIâïAMC£ DJiS SOLIDES.

l'autre et tracés dans chacun par le centre de gravité M d^one de ses bases, Taie coordonné Ux étant dirigé suivant Taxe de figure «i la fibre moyenne de la tige, *et My, Mz étant pris, pour les sections snccessiyes, dans des directions homologues. Il prend même, un peu plus loin, ces deux derniers axes suivant les directions principale9 autour desquelles on a le plus petit et le plus grand moment dMnertie de la section, comme nous avons fkit constamment depuis 1843.

Il suppose, d*abord, qu*avant les déplacements, Taxe de figuro AHH'fi est rectiligne et que les axes principaux My, Uz des sections voisines se correspondent ou sont dans uu même plan avec Taxe de la tige quit ainsi, n*est ni courbe ni tordue on torse dans son étmt primitif.

Après lesdéplaeements, il rapporte les mêmes points matériels mue chaque tronçon à des axes coordonnés encore rectangulaires Mz, My, Mr tirés du même point central M de la base, sav(^ Mx tangentieHe» ment à Taxe fléchi de la tige, My dans le plan passant par Télément superficiel a?y, c^est-à-dire dans le plan tangent à la f<^ à l'axe de la tige et à ce que devient Taxe de plus petit OKMaent d'inertie de la section ; enfin Mz perpendiculairement à Mz et à

My. U appelle alors

aî + ttf y + t?, z + w

qu*OD Tout d'un bout i Tanu^^ et qu'diei^t'appliqiieiit noo-ieulenent au eu (euTisafé au $ 39 de U note du n* 466 ci-detsua, p. 846-S56) de Iraia ptans dt ajmétrie de conleiture, mata encore (chap. U, arl. 16 de notre Mémoire aor la torilon de 4853), au moyen du cbangeinent dea ooordonnéea lalAralea y, zen d*autrea y', z', et de l'égalité h"= h"' que H. Kirehboff admet comme nous atee Green, au caa pins général où 11 n'y a de plana de ajmétrie qœ lea aeclioM traaavcrtaiea, cbangemenl ou linpIiOcation qui conduit au méom résultat eomma nous l'avona observé plus haut ($ 79, 6% p. 774) que Tuaage direct dea équations non réduites iadéflnie (73) et déOnie (74) du $ 35 de l'app. m, p» 607, poaéea par lui en 4859 et par noua en 4869 (Société philomatbiquo, SSjuiUet).

APPENDICE COMPLÊMËNTAIBE. 833

les coordonnées infiniment petites du point du tronçon qui avait primitivement les coordonnées x^y^z; en sorte que

U^ Vf to

donnent, pour chaque tronçon, les déplacements des points non pas dans l'espace mais dans son intérieur; déplacements nuls en M, et tels que, conformément aux équations de détermination (283) du S précédent,

(288 bis) pour «=0, y=0, «=0 oo lU «=0, t=0, tt?=0, ^ == ®» "^ = ®> jT = ^«

Et, pour établir la continuité, ou pour lier entre eux les déplacements relatifs des points de ces divers tronçons, et pouvoir les cumuler de manière à obtenir les déplacements absolus, M. KirciihofT se sert de cette remarque aussi simple qu'ingénieuse (') : que si, après que les déplacements ont eu lieu. Ton considère les coordonnées absolues, dans l'espace* d^un point quelconque m d'un tronçon MM' par rapport à des axes fixes extérieurs rectangulaires OS, Pn, OC, et si Ton en compose les expressions en fonction de

représentant celles de Torigine M des petites coordonnées particulières an tronçon, après les déplacements, et de celles-ci, qui sont x+u, y +t7, Z'\'W pour m, les dénotée de ces expressions des coordonnées finies ou absolues de m, prises par rapport à la petite coordonnée particulière 2, sont égales à leurs dérivées prises par rapport à la distance finie

AM' = s

(1) Elite a été appliquée depuis tux èlémeDtii des plaques iofinimenl minces, ce qnl aopdréconme une réToluitoo dans la Ûiéorie de leurs changements déforme, •n permetuui de la traller exactement et de se passer tout â TaU de ces consideraiious peu rigoureuses de développement en série convergente suivant les puis< sanees euUéres de la coordonnée normale, etc., auxquelles Poisson avait eu recours. Voyez la note du % 4, p. 308, du llémoire de M. KlrchbofT. Ce qu'il y annonce a été exécuté par un de ses élévef , M. Gebring, dans une thèse de doctorat {De ySqHatiombMg quUnu aquiUbrium et moins laminm crUiuUinm diefinimUnr DiêsêriaiêQ inaugwlii. Beroiinl, MDCCCLX).