DU H** IMI

Pour le prisme rectangle, on obtient encore les valeurs de z, g' et g'' du cas d'inégale contexture en faisant dans les formules du $ 25 lefi changements indiqués. Et on a les suivantes pour le moment de

torsion en n^oubiiant pas de mettre M^ -7= au lieu de M^ dans le

VgV

premier membre des formules de la fin de ce S :

ou (S 26» Pi 396) l'expreBsioQ

M,= G'Oôc" J- 0,210083^^ + 0,209137?^ V ^^-A^^H

qui se calcule facilement (Voir le tableau S suivant kO, p. 362). Ce n'est plus pour le prisme à base carrée, mais pour le prisme

dont la base a ses côtés dans le rapport - £s -^ , d'où a'c* =s ^''b^ ,

que ces expressions se simplificit et prennent la forme

OU que le moment de torsion est les 0,8/i3/i^2 de ce qu'il serait si les sections restaient planer. ^

La condition générale de non-rupture ou de cohésion permanente des solides de contexture variable en divers sens n'est pas, comme

ART. y. TORSION. 35S '

(Du n* IMI).

pour ceux (Inégale contexturet Ç^ '^ P^^ considérable des dilatatûms en divers sens et aux divers points n^excède pas une certaine grandeur^ car, en un loème point, la limite à imposer aux écartements moléculaires Tarie» ainsi que la contexture, avec la direction ( S il de la note du n* 8), en sorte que la dilatation la plus dangereuse n^est pas nécessairement la plus grande » mais celle dont le rapport à la limite relative à sa direction est le plus considérable. Par suite, et comme lesglissements ne sontdangereux qu^en raison des dilatations quMls produisent dans les divers sens obliques aux sections et même & leurs propres plans qui sont perpendiculaires à celles-ci, il n'y a pas lien ici d*exprimer comme au $17 que le

maximum duglisscment g=v'g'' + g"* sur les sections reste égal ou

inférieur à une certaine grandeur-limite unique ~.

11 faut» pour poser Téquation de cohésion permanente du cas dMnégale contexture, s^aider nécessairement d*une hypothèse ; car on ne connaît pas la loi suivant laquelle la limite des dilatations non dangereuses varie en divers sens autour d un point Appelons donc, pour notre prisme dont la contexture est partout symétrique par rapport aux plans 'se coupant à angle droit suivant des parallèles aux u et aux v, et qui est supposé tordu sans éprouver aucune dilatation ou contraction longitudinale ni transversale :

;;7 une limite , fournie directement ou indirectement par Texpé-

rience, à imposer aux glissements g' parallèles aux u quand ils sont seuls,

•ty/

-^ une limite semblable pour les glissements g'' parallèles aux r;

ou nommons

T'. , T\ les plus grands efforts tangentiels que la matière puisse supporter par unité de section dans ces deux directions principales tf , t% sans que les écartements moléculaires qui en résultent dans les sens obliques , compromettent la cohésion, quand ces efforts s*exercent seuls ou ne sont pas accompa-

* 35& SEGT. I. RÉSISTAMGB DBS SOLIDES.

(Du B« IM).

gDéfl d'efforts qui étendent ou contractent transversalement ni longitudinalement la matière du prisme ;

L*6qoation de coliésion permanente que nous voulons poser doit

donner» oomme cas particuliers :

!• i — Ott > ^ quwdg" = 0;

r i — eu >-p5-qMnd g^ss Q;

8* Bt ($ 17) 1 = w> ^ + ^ quind G'=G"-.0, T'.r=r^»T^

De plus, elle doit rester la même quand on change le signe de g' ou deg^', ou quand on passe d*une direction à une autre faisant le même angle, sur une section t», avec Tun des deux autres plans de symétrie de contexture.

Nous prendrons donc pour notre hypothèse sur la loi inconnue de la limite des dilatations qui proviennent, dans des sens quelconques, des deui glissements g' et g'^ à la fois , celle qui lie le plus simplement ces résultats extrêmes en assurant la continuité des résultats intermédiaires, c*est-à-dire que nous poserons en général , pour assurer la permanence de la cohésion :

1 = on >

Il résulte de la condition alosi établie que le glissement résul^

tant g, en uu point quelconque m d'une section, n'excédera jamais le rayon veo' teur my, dans sa direction, d'une el« lipse T'inr" dont les demi-axes my', mf

sont ■-?, -TTr ; csrsi g atteint justement

la grandeur my, il y a, entre ses projections g'* g^, la relation i = f ^ j * 4- (^-) ' qui He les co^

ordonnées du point r de cette ellipse. Cette loi simple est d*accord ftvee une hypothèse générale, aussi très-plausible, que nous ferons plus loin sur les limites des dilatations en diveri; sens.

ART. y. TORStON. 365

(Da D* f6«).

En particularisant d*abord cette équation pour ià section elliptique dont b, c sont les axes, ou en mettant à la place de g' et g"»

— 2 -,ôt? et 2 pryOtt divisés par ;^ + ;^, » on obtient :

(q' + W) '='~>**' (tv^ + t?*)-

Le second membre est d'autant plus grand, pour des points situés sur une même droite passant par le centre ou ayant leurs coordonnées V, u dans un rapport constant, que v^ et u* sont plus considérables. Les points les plus exposés sont donc sur le contour de la section. Et si Ton met pour t?' sa valeur en u* tirée de Téqtia-

Au* ûi?* tion ^ + -r ^ ^ ^u contour, on voit que ce second membre ,

ji-^âff-iî — fTriJt^J* a sa plus

grande valeur

pourw^o, t« = j si ->p-[;

etpouru«= j,t=:o SI -<j5r.

Les points dangereux sont donc aux extrémités du petit axe c de la base elliptique à moins que le rapport du grand Au petit axe ne soit moindre que le rapport des e£forts transversaux T'„ T'. susceptibles de désagréger la matière par glissement dans leurs sens respectifs quand ils agissent seuls ; car, dans ce dernier cas» les points dan« gereux seraient aux extrémités du grand axe.

6 T' Dans la première supposition ->mr* ^^ condition est

OU, élimiiutat 0 avec TexpressioD ci-dessus de M| :

Limite de M, = î^' r. = ^ T'.,

condition Identique avec celle du S 92 relative au oat d'égite con» texture, sauf r. au lieu de T«.

SECT. I. nÉSISrAKGE DES SOLIDES.

(Da n" iftS).

Quant au prisme à base rectangle, les points du contour pour lesquels le second

membre (^)V (^')* Péréquation

* ** de cohésion est le plus considérable, et par conséquent, les points dangereux, se trouvent

ou aux milieux C, C \ / ^J.^^ ^ ^^^ ^.^ c«\ des côtés 6, pour J \ \ ±1

lesquels g"=0, [ selon ou aux milieux B, B' [ que des côtés c, pour lesquels g'=0,

ou <•

rrg"pourt?==0, W*= jj

Et,selon les deux mêmes cas, Téquation de coliésion est

G'^g' pour u=0,r«=^] G'W' pourt?=0,tt*=j j

ce qui revient à

rpf l*//

Limite de g' = ^ , ou Limite de g" = -^'^

Nous donnons, au S suivant, une table numérique des valeurs des glissements g', g" aux milieux des côtés, et des limites à imposer en conséquence au moment de torsion ^^^ pour satisfaire à ces équations de stabilité de la cohésion.

S ko. EécapUulaiion des formules de torsion simple ( ou non accompagnée de flexion^ ni de dilatations ou contractions longitU" dinalesou transversales des prismes ^ ni de glissements étrangers comme ceux que produisent des forces transversales ne faisant pas coupfej).— Soient, pour un prisme homogène, dont la con texture est égale dans les divers sens transversaux , mais peut être différente dans le sens longitudinal, et qui est simplement tordu, comme on vient de dire, autour d*un axe quelconque parallèle à ses arêtes, en sorte que ses sections transversales tournent les unes devant les autres proportionnellement à leurs distances en ne se déformant

ART. y. TORSION. 357

(Du B« IMI).

t)ue par de petits mouvements longitudinaux de leurs points» et

toutes de la môme manière :

ta> Taire d'une de ces sections ;

I et r le plus petit et le plus grand moment d'inertie de ta autour de droites tracées sur son plan par son centre de gravité, ou les moments autour de ses deux axes principaux;

u et V les coordonnées transversales du point milieu d'un élément db> quelconque de la section par rapport & ces deux mômes axes d'inertie se croisant rectangulairemeot au centre de gravité (et non pas les coordonnées par rapport à des axes se coupant sur celui de torsion ^ qui peut être transporté où l'on veut dans le prisme ou hors du prisme, mais parallèlement aux arôtes, sans rien changer aux formules ci-après comme on a vu $ 16) ;

r le rayon vecteur du point dont les coordonnées sont u, v;

£n sorte que 1 = 5 i?*dto, r = J u*dw, r* = t** + »*, J=s J r"(fw.

M| le moment de torsion^ ou le moment, autour de l'axe de torsion, des forces extérieures faisant couple, qui agissent à chaque extrémité du prisme pour le tordre; et aussi, par conséquent, le moment total des forces moléculaires qui réagissent à travers une section intermédiaire quelconque, et qui arrêtent la torsion ;

g', g^' les glissements qui ont lieu dans les directions v, v sur Télément d*»> de la section, ou les diminutions très-petites (positives ou négatives), évaluées en arc d*un rayon =1, des angles primitivement droits formés par une fibre ou petite ligne matérielle parallèle aux arêtes du prisme, et par de petites lignes matérielles parallèles aux u et aux v positifs, se croisant au point milieu de de» ;

g = \/g'* + g"* le glissement principal ou résultant en cet endroit ou la petite inclinaison prise, par la fibre changée en hélice, sur l'élément dia de la section ta dont le plan s*est changé en une surface légèrement courbe.

gM sa plus grande valeur, qui a lieu en un ou plusleui's points du contour de la section, appelés points dangereux;

G le coefficient d'élasticité de glissement, ou un nombre tel que Ggdt» est reflTort à appliquer tangentieliementà un élément do>

358 SECr. I. RÉ8ISTANGB D£8 SOUDES,

(DaB«fl5«].

de la seetion pour y produire un glissement g dans sa direction ;

T. un effort tel que -- représente la limite à imposer au plus grand

glissement gm pour que les éeartements moléculaires quMl produit dans des sens obliques ne mettent pas en péril, même à la longue» la cohésion de la matière particulière du prisme;

la torsion par unité de longueur, supposée petite; ou Tare d*un rayon = i mesurant Tangle x dont une section a tourné devant Tautre, divisé par la distance a restée la môme entre ces deux sections.

Et soient, pour le même prisme, si la contexture de la matière, bien qu'homogène ou la même en tous les points, est inégale dans les dvœrs sens transversaux^ mais symétrique, en chaque point, par rapport an plan de la section transversale et à deux plans qui lui sont perpendiculaires , menés parallèlement aux u et aux v par ce point i

Q\ ù'^ les coefficients d'élasticité dans les sens u, v, ou des nombres tels que o'g'dco, a^'^'éa sont les efforts à exercer dans oes sens pour produire respectivement un glissement g' et un glissement gf' ;

T,', T'o des forces telles que --7 , --^ représentent les limites à im*

Vr G

poser au glissement g' quand il est seul, et au glissement g'' quand il est seul,

On aura

t 5fc

0 ^= - 2^ si l'aDfleT de rotation est en degrés sexagésimaox,

a Boo

en sorte que y est le pas des hélices dans lesquelles la torsion, uniforme d*un bout à l'autre, change leajlbres et les arêtes du prisme ;

Limite de gm ^ •— pou te cas où la matièn wt à'^ût eonttxtara traosTenale;

(en sorte que t dltns les formules. ci-après de ce cas, lim. Mj résulta

ABT. ▼. TORSIOll.

(Da n* i6«).

constamment de la substitution dans la première expression, de M| , à la place de GO » de sa valeur tirée de Ggm =5 T.) ;

7p- J + ( "t^ ) — ^ ''**°^ ^ contextore est inégale;

Et les formules pratiques suivantes^ où les diverses formes données aux expressions du moment de torsion M^ et de sa limite servent à en comparer les valeurs : i" & égal moment d*inertie polaire J; Tik égale superficie ta des sections » ou à égale quantité de matière de Vunité de longueur des divers prismes.

(Et Où les expressions de g^, g", g au contour spnt destinées à servir cir-après pour les cas de flexion et torsion simultanées.)

N. B. La eontextofe tnnsverule est topposée égtle quand le contraire n'est pas expriné.

Section elreolalre , de rayon r.

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