AVERTISSEMENT

Cet ouvrage, entrepris sur la demande du Conseil d’instruction de l’École royale polytechnique, offre le résumé des Leçons que fai données à cette École sur le calcul infinitésimal. Il sera composé de deux volumes correspondans aux deux années qui foi ment la durée de renseignement. Je publie aujourd’hui le premier volume divisé en quarante Leçons, dont les vingt premières comprennent le calcul différentiel, et les vingt dernières une partie du calcul intégral. Les méthodes que j’ai suivies diffèrent à plusieurs égards de celles qui se trouvent exposées dans les ouvrages du même genre. Mon but principal a été de concilier la rigueur, dont je m’étais fait une loi dans mon Cours d'analyse, avec la simplicité qui résulte de la considération directe des quantités infiniment petites. Pour cette raison, j’ai cru devoir rejeter les développemens des fonctions en séries infinies, toutes les fois que les séries obtenues ne sont pas convergentes ; et je me suis vu forcé de renvoyer au calcul intégral la formule de Taylor, cette formule ne pouvant plus être admise comme générale qu’autant que la série quelle renferme se trouve réduite à un nombre fini de termes, et complétée par une intégrale définie. Je n’ignore pas que l’illustre

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auteur de la Mécanique analytique a pris la formule dont il s’agit pour Rase de sa théorie des fonctions dérivées . Mais, malgré tout le respect que commande une si grande autorité, la plupart des géomètres s’accordent maintenant à reconnaître l’incertitude des résultats auxquels on peut être conduit par l’emploi de séries divergentes, et nous ajouterons que, dans plusieurs cas, le théorème de Taylor semble fournir le développement d’une fonction en série convergente , quoique la somme de la série diffère essentiellement de la fonction proposée [voyez la fin de la 38/ Leçon ]. Au reste, ceux qui liront mon ouvrage, se convaincront, je l’espère, que les principes du calcul différentiel, et ses applications les plus importantes, peuvent être facilement exposés, sans l’intervention des séries.

Dans le calcul intégral, ii m’a paru nécessaire de démontrer généralement l’existence des intégrales ou fonctions primitives avant de faire connaître leurs diverses propriétés. Pour y parvenir, il a fallu d’abord établir la notion d 'intégrales prises entre des limites données ou intégrales définies. Ces dernières pouvant être quelquefois infinies ou indéterminées, il était essentiel de rechercher dans quels cas elles conservent une valeur unique et finie. Le moyen le plus simple de résoudre la question est l’emploi des intégrales définies singulières qui sont l’objet de la 2 y c Leçon. De plus, parmi les valeurs en nombre infini, que l’on peut attribuer à une intégrale indéterminée, il en existe une qui mérite une attention particulière , et que nous avons nommée valeur principale. La considération des intégrales définies singulières et celle des valeurs principales

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des intégrales indéterminées sont très-aitiles dans la solution d’une fouie de problèmes. On en déduit un grand nombre de formules générales propres à la détermination des intégrales définies, et semblables à belles que j’ai données dans un Mémoire présenté à l’Institut en i 8 1 4 - On trouvera dans le$ Leçons 34 et 39 une formule de ce genre appliquée à l’évaluation de plusieurs intégrales définies, dont quelques-unes étaient déjà connues.