DIX-NEUVIÈME LEÇON
Usage des Dérivées et des Différentielles des divers ordres dans le Développement des fonctions entières.
Il est facile de développer une fonction entière de x en un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes de cette variable, quand on connaît les valeurs particulières de la fonction et de ses dérivées successives, pour .v = o. En effet, désignons par .F(.y) la fonction donnée, par n le degré de cette fonction, et par a oy a lt ... a n les coefficiens inconnus des diverses puissances de x dans le développement cherché, en sorte qu’on ait
(i) D(x) zn a 0 -+-a l x-t-a x x* - 4 - ... - 4 - a„x n .
En différenciant n fois de suite l’équation (i), on trouvera
F" fx) zzr i. 2. a t -+- • •. H- ( 11 l) n a n x n 4 ,
te...
Si l’on pose, dans ces diverses formules, x z^z o, on en tirera
( 3 ) a'=F(o),<i,={F'lp),a x =-±-
et l’équation (1) donnera
Exemple. Soit F(.v)=(i on obtiendra la formule connue
Soit maintenant u=f(x, y, 2...) une fonction entière des variables x, y, z ...» et « le degré de cette fonction, c’est-à-dire , la plus grande somme qu’on puisse obtenir en ajoutant les exposans des diverses variables pris dans un même terme. Si I on pose
Leçons de M. Cauchy. S
74 coürs d’analyse.
F (cl) ~ f(x-\-<Ldx, y -+- ol dy, £- 4 - (Ld^,.. ),
/^(ûc) sera une fonction entière de et, du degré ti, et Ton aura en conséquence
F W= f(o) + *-r(o )+ ^F'(o)4r(o) + ... + ^f«(o): Cette dernière formule, en vertu des principes établis dans la 14. c leçon, peut s’écrire comme il suit :
(6) f(x+&dx.y+(Ldy,i^dZ'-)=u-*-- l du--*- —
Ajoutons quelle subsistera pour des valeurs quelconques de cl, soit finies, soit infiniment petites. Si, pour plus de simplicité, on prend ct=i, on trouvera
(7 ) f(x-t-dx,y-*-dy, i+dz...)=u+\du+
Dans le cas particulier où tes variables x, y, z . ■ ■ se réduisent à une seule, on a
a=f{x), du= f'{x)dx, d‘» = /" (*) dx'... d'u—f 1 " 1 {x)dx-, et l’on tire de ta formule (7), en remplaçant dx par h,
Au reste, on aurait pu déduire directement cette dernière équation de la formule (4).
Exemple. Si l’on suppose f(x) =x n , on trouvera
(9) (x+fiy = x"+- i x”-'fi+^^x n - t /i‘+...-h n -^^ x , /i n -‘+ n -x/i“-'+/i''. Nota- Si f(x) est divisible par (x~a) m , ou en d’autres termes,, si Ion a
(10) f(x)=(x—ei) m <p(x) t
<p(x) désignant une fonction entière de la variable x, le développement de f(a-+-fi) , suivant les puissances ascendantes de h, deviendra évidemment divisible par h m . D’ailleurs ce développement sera, en vertu de ce qui
précède,/(a)-t- -7-/'(«)+-7^-/"(«)-♦-•••-*- f (m! (")->- &c...
0on c, l’équation (io) 'étant posée, on en conclura non-seulement f(a)^°* mais encore f' (d)±zo, f" (a) = o , ...(rf) rn o. On arriverait au même résultat en différenciant plusieurs fois de suite lé-
COURS d’analyse. 75
quation (to), de laquelle on tirerait successivement, à l’aide de la formule (i 5) [ i 4 ‘ leçon] >
| f"{x)±[x—a) m <p"(x)-*-im(x— a)"~' <p'(x) + m(m-i)(x—a) m -'<p( x ), ^ 'H &c. . .
I j;im-,)[ x j (*„)>» q>i' n —>[x)-*-...-*-m[m—i)...'>;-2-ix—a)<p[x).
Ainsi, f{x) étant une fonction entière de x, on peut affirmer que, si l’équation
admet/« racines égales représentées par a, chacune des équations dérivées (.3) /' (*)=0, rw=0, /"'W = 0, SLC...f fm - ,J (x) = 0
se trouvera vérifiée par la supposition x = a. On doit même remarquer que,/(. y) étant divisible par ( x—a ) m , /'(*) sera divisible par (x—.jj)'»-', /"(*) par (x—a)"- 1 , et (*) par x—a
seulement. Quant à la fonction (*). comme elle sera déterminée par i’cquation
{14) fW{x) = (x-a) m m(x-a) n - (*) + &c...
-t -™m{m — i)...3.2.(at— a) <p' (v)-t -m{tn 1 )... J.2.1. <P (a), elle se réduira, pour x'=-a, à
Toutes ces remarques subsisteraient dans le cas même où, la valeur de /(*) étant donnée par l’équation (io), <p [x) cesserait d’être une fonction entière de la variable x. On connaît d ailleurs le parti qu on peut tirer de ces remarques pour la détermination des racines égalés des équations algébriques.
Concevons à présent que y zz= F [x] et f (4 désignent deux fonctions entières de x, divisibles l’une et l’autre par ('■*•— a\ M . Si le nombre m surpasse l’unité, les valeurs des fractions -j-> et = jr-, pour x—a, se présenteront en même temps sous une forme indéterminée, et par conséquent on ne pourra plus se servir de la seconde fraction pour
y 6 COURS d’analyse.
calculer la valeur de la première, comme nous l’avons expliqué dans la 6. e leçon. Toutefois , la véritable valeur de la fraction -y* ne cessera
pas detre la limite vers laquelle converge le rapport -yy> tandis que
les différences A y, A i convergent vers zéro. D’ailleurs, en attribuant à x l’accroissement infiniment petit A x = ùidx, on tirera de la formule (6)
Ay=y-*- ^ dy-*- jy 2 d z y..
Si maintenant on assigne à x la valeur particulière a, comme cette valeur fera évanouir les fonctions dérivées/, y"... y (m ~"\ % , £ ... et
par conséquent les différentielles dy , d x y,...d (m ^ x) y t d Z , d'z, ...d (m ~°z, on aura simplement
Ay:
