DIX-HUITIÈME LEÇON

Différentielles d'une Fonction quelconque de plusieurs Variables dont chacune est à son tour une Fonction linéaire d autres Variables supposées indépendantes. Décomposition des Fonctions entières en Facteurs réels du premier ou du second degré.

Soient a, b, c...k des quantités constantes, et (j) u a x H— b y -+- c i -+-A

une fonction linéaire des variables indépendantes x t y,z... La différentielle

( 2 ) du — adx b dy cdz~\-...

sera elle-même une quantité constante , et par suite les différentielles d x u, d'u, ... se réduiront toutes à zéro. On conclut immédiatement de cette remarque que les différentielles successives des fonctions /(u), f(u,v),f{u,v, \v...)> &c. conservent la même forme, dans le cas où les variables u,v,w ... sont considérées comme indépendantes, et dans le cas où u , v, w ... sont des fonctions linéaires des variables indépendantes x,y,i... Ainsi on trouvera, dans les deux cas, pour sz=zf(u),

(3) ds=f'(u)du,d's~f"\u)du l , d*s-pf- ^du *,... d n s — f n, (u)diï‘ ; pour s—f(Uj v),

pour s=f(u).f(v)i

f (n) { u )f[v)du*+ 1 l f n -'\u)f\v)du n -'dv+..+ + A u )f i, 0 ( v )d v *'

5cc... H est facile de s’assurer que, si l’on représente par f(u), des fonctions entières des variables a, v, w... , les formules (3), (4), (5)... subsisteront, lors même que, u, v, w... étant fonctions linéaires de x, y, , les constantes a, b, c ... k, &c. comprises dans u, v, w ... deviendront imaginaires. On aura, par exemple, pour s=zf(x*+-y ,

(6) ds^f'ix+yY^).{dx+V-i dy), ..d” sz=f (n \x-±-yY-\).{dx+V -1 dy) n ;

pour sz=zf(x — yV~ 1 )*

Le fan s de M. Capchy . R

J 0 COURS d’analyse.

(y) ds —f\x—{dx—V-'dy)d n s-==f (a 'Xx—y]/-\) [dx—}/-\dy) n ; pour s=f(x-i-y y'—1)./(*— yV~ 0 »

(8) d n s =f (tt) (x~\-yV-— 1 ) •/(* ~JV—^) *l/— 1 dy) n

+ ; f(»-'){x+yV~\)J\x—yV-\)'{dx+V-idff-' [dx—Y-\dy)~*-— î .f n -#lx—y /£i) .{dx+i/^dy) (dx—i/Zldy)*-'

+ f{x+-yV-')-f Cn \*-yV-')\d x -V-' *J)\

De cette dernière formule, on déduira sans peine ia proposition suivante. i. er Théorème. Soit f[x) une fonction re'elle et entière de x. Si l on pose

ou pourra toujours satisfaire par des valeurs re'elles des variables x et y al equatjon

(io) S = O.

Démonstration. Soit ti le degré de la fonction/( a-), en sorte qu'on ait ( n ) f (x) zzr a 0 x n H- ci , x n ~ l "+" ••• -hci„, x -\r- ci n ,

ti 0 , ci, , . . . ci n , , a n désignant dés constantes, dont ia première a 0 ne pourra s évanouir. Concevons de plus que, les variables x, y étant supposées réelles, on représente par r, /,/?,/?,, /?*, &c... les modules des expressions imaginaires __

x+yY- 7 , (x+yY-i), & c --*

et faisons , en conséquence,

(n) x+ÿY-ï~r(cost+Y^ï sin t), dx+dyY -i = /(cost-+-/-i suit) ;

l/(* WT) =R(cos T+Y~i sin ^/'(x+yV^R^cos T , -*-i/-isin T, ), ( 1 3 J f' , fê+yY~i)=R*{ c o s Ti+V^&i n T i )'f c ”\x^V':*i)=Rn[ cos T tt +Y-is'n\ T„). r, f , R, R * R% . . . R u seront des quantités positives ; t, r, T, T, , T ... T n , des arcs réels ; et l’on aura

(ï 5) s = /?* = [tf 0 r*cos«f-+-rf, r n 1 cos(//—1 rcos/-*-rf*J

-*-[*„ r*sin nt^r(i x r*“ x sin rsilU ]*

r 2a m a,cost a , 2 -\-2a 0 a 2 cost "1

Il résulte de ces dernières formules que la quantité s, qui représente une fonction entière et par conséquent une fonction continue des variables x, y, restera toujours positive et croîtra indéfiniment, si ion attribue à ces deux variables, ou seulement à I une d entre elles, et

COURS d’analyse. 71

par suite au module r, des valeurs numériques de plus en plus grandes. On doit en conclure que la fonction s admettra un ou plusieurs minima correspondans à un ou à plusieurs systèmes de valeurs finies des variables x et y. Considérons un de ces systèmes en particulier, et calculons les valeurs correspondantes des expressions

( 16 ) .../'»■'(*-H^yrT).

Quelques-unes de ces valeurs pourront s évanouir; mais jamais elles ne seront milles toutes à-la-fois, puisque l’expression f (n) (v-4-y ]/-i ) » se réduisant, avec f (n> [x), au produit i,z.^...n.a 0 , a une valeur constante et différente de zéro. Cela posé, soit f (m, [x-\-y \/~) la première des expressions (16) dont la valeur ne s’évanouira pas. Si l’expression f (.y H—y 1) obtient elle-même une valeur différente de zéro, d m s

sera, en vertu de la formule (8), la première des différentielles de s qui cesseront de s’évanouir. Au contraire, si l’on a

la différentielle d m s deviendra nulle elle-même. Or, je dis que ce dernier cas est seul admissible. Car, dans le premier, on tirerait de la formule (8)

f(x+yY~) f{x-yY -1 ) {dx-t-Y -1 dy) m -t -f{x+yY -. )f k \x-yY - 7 ) [dx-Y -1 dy) m

= iRR m f m cos(T m -T-irmr);

et par suite, la différentielle d m s, changeant de signe lorsqu’on remplacerait r par r-t- ~ y ne resterait pas toujours positive, quelles que

fussent les quantités dx et dy, comme cela doit nécessairement arriver, chaque fois que la fonction s devient un minimum. Donc tous les systèmes de valeurs de x et de y propres à fournir des minima de la fonction s vérifieront l’équation (17), qu’on peut aussi mettre sous la forme R (cos sin T) = o , et de laquelle on tire R — o , sz=:R z z=zo.

Donc la fonction s deviendra nulle , pour des valeurs réelles et finies des variables x et y, toutes les fois quelle atteindra un des minima dont nous avons ci-dessus démontré l’existence.

Corollaire . La fonction réelle s — R 1 ne pouvant s’évanouir qu’avec le module R, les fonctions imaginaires f[x-t-y Y^î) = /?(cos T+Y -1 sin T ),

/(*— yV-î) = /?(cos 7 L-y'r 7 sin 2 n ) s’évanouiront toujours en même temps quelle. Par conséquent, toutes les valeurs réelles de * et de y, propres à vérifier i équation (io), vérifieront aussi 1 équation (17) et la suivante

(19) f(x—yi/-,) = o.

A ces valeurs de x et de y correspondront des valeurs réelles de r et de / propres à vérifier les deux équations

(20) /(rcostH-rsin = o,/(rcost— r sin ti/-\) = o.

Dans le cas particulier où la valeur de y s’évanouit, les formules (17), (ip) et (20) coïncident avec l’équation unique

qui se trouve alors satisfaite par une valeur réelle de x. De ces remarques 011 déduit immédiatement la proposition que je vais énoncer.

2 . e Théorème. f(x) désignant une fonction réelle et entière de la variable x , on peut toujours satisfaire à l’équation (21), ou par des valeurs réelles de cette variable , ou par des valeurs imaginaires conjuguées deux à deux et de la forme

(22) x = r (cos t H- -j/^T sin r), x=zr(cosl — -|/-isin t).

Scholie. Si l’on appelle x 0 une racine réelle ou imaginaire de l’équation

(20), le polynôme /(x) sera divisible par le facteur linéaire x—x 0 . Donc, à deux racines imaginaires conjuguées et de la forme

r (cos /-h ]/-! sin t) , r (cos t — ]/ -1 sin/), correspondront les deux facteurs linéaires x —■ r cos t —- r sin t }/~i , * — r cos / + r sin t \/~\ , lesquels seront encore conjugués l’un à l’autre, et donneront pour produit un facteur réel du second degré; savoir: (x—■ r cos/) s -4-r* sin a / = a' 4 — 2 r* cos r H-r*. Cela posé, il résulte du 2. e théorème que toute fonction réelle et entière de la variable x est divisible par un facteur réel du premier ou du second degré. La division étant effectuée, on obtiendra pour quotient une autre fonction réelle et entière, qui sera elle-même divisible par un nouveau facteur. En continuant de la sorte, on finira par décomposer la fonction donnée, que j’appellerai f{x), en facteurs réels du premier ou du second degré. En égalant ces facteurs à zéro, on déterminera les racines réelles ou imaginaires de l’équation (21), lesquelles seront en nombre égal au degré de la fonction. [Voyez l'Analyse algébrique, chap. X.]