VINGTIÈME LEÇON
Décomposition des Fractions rationnelles.
Représentons par f(x) et F (x) deux fonctions entières de x, la première du degré ni, la seconde du degré //. ^ sera ce qu’on appelle une fraction rationnelle. De plus , l’équation (0 F (x) = o
admettra n racines réelles ou imaginaires, égales ou inégales; et si, en les supposant d’abord toutes inégales, on les désigne par x ot x, , ... ,
on aura nécessairement
{2) F (x)=k{x — x 0 )(x — x,) (x — xJ {x—
k étant le coefficient de x" dans F{x). Cela posé, soient
(3) <p(x) — Ji(x—x,) (x — xJ . . . (x —, et = A,.
L’équation (2) prendra la forme
et, comme la différence
s’évanouira pour at=.v 0 , il en sera de même du polynôme f(x)~/ 4 0 (p(x'). Donc ce polynôme sera divisible algébriquement par x — x Q ; en sorte qu’on aura f(x)— A 0 q> (x) — (x — x 0 )xi x )» ou
X( x ) représentant une nouvelle fonction entière de la variable x. Si maintenant on divise par F (x) les deux membres de l’équation (5) , en ayant égard à la formule (4), on trouvera
(n f(*) — . xi*) A *(*)
F(x) «-*. . Ç>(x) X —Xo k (x—Xj)(x Xa)...(x—X„.j)
On peut donc extraire de la fraction rationnelle — une fraction simple de la forme ———> A 0 désignant une constante, de manière à obtenir pour reste une antre fraction rationnelle dont le dénominateur soit ce
Leçons de M. Cauchy. y
78 COURS d’analyse.
que devient le polynôme F (*) quand on supprime dans ce polynôme le facteur linéaire a - —* 0 . Concevons que, par une suite dopérations sem
blabies, on extraie successivement de P u ^ s ’ & c **’ une
suite de fractions simples de la forme
de manière à faire disparaître l’un après l’autre, dans le dénominateur de la fraction restante, tous les facteurs linéaires du polynôme F(x). Le dernier de tous les restes sera une fraction rationnelle dont le dénominateur se trouvera réduit à la constante k; c’est-à-dire, une fonction entière de la variable a*. En désignant par Q cette fonction entière, on aura
Comme cette dernière formule entraîne la suivante {8)
dans laquelle tous les termes qui suivent le produit QF(*) sont des fonctions entières de a- d’un degré inférieur à 11, il est clair que la lettre Q représente le quotient de la division algébrique de f(x) par F (a). De plus , comme tous ces termes, à l’exception du premier, seront, ainsi que le produit Q F (a), divisibles par a 1 —a\>, on aura évidemment, pour x=zx ot ,
« fw =A.^=A.-i^L=A.m
Donc, pour obtenir la valeur de A ot il suffira de poser x — x 0 dans la
fraction -ft—- . En formant de même les valeurs de A ,, A z .. on trouvera F (*}
/ V A f(*o) A f(X«) A — JM, A — JMiL.
M A pTjr -y A '—T r (^ ,A *—F , [x 2 ) *
A l’inspection de ces valeurs, on reconnaît quelles sont indépendantes du mode de décomposition adopté. Ajoutons que la valeur de A a , déduite de la formule (9), peut être indifféremment présentée sous lune
ou l’autre des deux formes - if et ■■ f °? > d’où il résulte que la
première des formules (10) s’accorde avec la seconde des équations (3).
Lorsque les deux racines x- 0 , x. t sont imaginaires et conjuguées, ou de la forme ctH -/3 yCTT, oc — /3 i/— 7 , alors, en désignant par A et B
deux quantités réelles propres à vérifier l’équation
( JI ) ^ B V 1 — F'(«-*-0vCI7) 9
on trouve que les fractions simples correspondantes à ces racines sont respectivement
, * A —BV— A-hBV—
' 12 ‘ x —cl—I2>V~, ’ x—*-+(bV- T*
En ajoutant ces deux fractions, on obtient la suivante
qui a pour numérateur une fonction réelle et linéaire de x, et pour dénominateur un facteur du second degré du polynôme F (a*).
Exemples . Décomposition des fractions ? fr- > &c.
Passons au cas où l’équation (i) a des racines égales. Alors, si l’on, désigne par a , b, c .. les diverses racines, par p, q, r... des nombres entiers, et par k un coefficient constant, le polynôme F (x) sera de la forme
Ci4) FM =*(*■ — a Y. (* — ty (* —') r ~
Si, dans cette nouvelle hypothèse, on fait, pour abréger ,
(IJ> <p( X )=k{ X -by{ x - c y et-Jgi =A„
1 équation (14) deviendra
(16) F (x) = {x — ay <p(x);
et, comme les deux différences \ - A, f(x) — A <p (x) s’évanouiront
pour xzr.a y on aura nécessairement
% (x) désignant une nouvelle fonction entière de la variable .v. Cela posé, on tirera des équations (14)> (iè>) et (17)
V IÎ5 J F (x) (x— a)p~^~(x—a)r-' <p(*) (x— a)P k(?c—a)F- r {x—b)i (x— c ) r ... *
Ainsi, en extrayant de la fraction rationnelle ^|* une fraction simple
de la forme -r^rr ’ 0n obtient pour reste une autre fraction rationnelle (x-a)r
dont le dénominateur est ce que devient le polynôme F(x) quand on supprime dans ce polynôme un des facteurs égaux à x — a. Concevons
g 0 cours d’analyse.
qu’à l’aide de plusieurs décompositions semblables, on enlève successivement au dénominateur de la fraction restante. i.° tous les facteurs égaux k x — a; 2.° tous les facteurs égaux à * — à; 3.» tous les facteurs égaux à x — c , &c... Le dernier de tous les restes sera une fraction rationnelle à dénominateur constant, c’est-à-dire, une fonction entière de la variable x : de sorte qu’en désignant par Q cette fonction entière , et par
B, B„B X ... B,„ C, C„ C % ... C r „ &c... les
numérateurs constans des diverses fractions simples, on aura
Pour prouver, i.° que le polynôme Q est le quotient de la division algébrique de f(x) par F(x), 2.° que les valeurs des constantes A, A,... A B, & c. sont indépendantes du mode de décomposition adopté, il suffira d’observer que la formule (19) entraîne la suivante
T7( v \ Ffx} A F (x) n F(x)
(20) {(x) = QF(x)+A^ ÿ +A t( J^+..+ A P ., — + B^+..,
dans laquelle tous les termes qui suivent le produit QF{x) sont des fonctions entières de a-, d’un degré inférieur à celui de la fonction F(.v) ; et de plus, que, si dans la formule (20) ôn pose x=a-+-Z> la comparaison des termes constans et des coefficiens qui affecteront les puissances semblables de z, dans les deux membres développés suivant ies puissances ascendantes de cette variable [voyez ^ l 9 * Ie Ç° n ]’ fournira Ies e 'q uations
M feMSî’
desquelles on déduira pour ies constantes A , A,, A., . . . un système
unique de valeurs, savoir:
,. 2 . 3 ~ P m 1 ’-*- 3 -(r+ tfM-AFWW- ^
(22) A— ’ A ' (p-Hi)
On obtiendrait de la même manière ies valeurs de B, B lt Z? 2 ... C, C x , C, ... il est essentiel d’observer que la première des formules (22) donne pour la constante A une valeur égale à celle que reçoit la fraction
Jy-a yr;,) f(*j n j on suppose x= za, et pàr conséquent
égale à y-* \Y°y e Z * pour plus de détails, {Analyse algebiique, ch. XI].
COURS d’analyse.
Si
