VINGT-UNIÈME LEÇON

Intégrales définies.

Supposons que, la fonction y— /(x) étant continue par rapport à la variable a- entre deux limites finies x —x 0 , x=X, on désigne par .y, , x 2.f x n—i de nouvelles valeurs de a interposées entre ces limites, et qui aillent toujours en croissant ou en décroissant depuis la première limite jusquà la seconde. On pourra se servir de ces valeurs, pour diviser la différence X — * 0 en élémens

(1) A, X ot x z X, , X )~~“ x z> • • • X X n—1

qui seront tous de même signe. Cela posé, concevons que Ton multiplie chaque élément par la valeur de /(x) correspondante à f origine de ce même élément, savoir, l’élément x,—x G par /(x 0 ), l’élément x a — x, par /(*,), &c.., enfin l’élément X —-x^, par /(xet soit

la somme des produits ainsi obtenus. La quantité S dépendra évidemment, i.° du nombre n des élémens dans lesquels on aura divisé la différence X —x D , 2. 0 des valeurs mêmes de ces élémens, et par conséquent du mode de division adopté. Or, il importe de remarquer que, si les valeurs numériques des élémens deviennent très-petites et le nombre n très - considérable, le mode de division n’aura plus sur la valeur de S qu’une influence insensible. C’est effectivement ce que l’on peut démontrer, comme il suit.

Si l’on supposait tous les élémens de la différence X —x„ réduits à un seul qui serait cette différence elle-même, on aurait simplement

Lorsqu’au contraire on prend les expressions (1) pour élémens de la différence X—x 0 > la valeur de S, déterminée dans ce cas par l’équation (2), est égale à la somme des élémens multipliée par une moyenne entre les coefficiens

/(*«). /(*.). /(*.). ••• /(*—) dt M. Cauchy.

82 COURS d’analyse.

oyez dans ^ es préliminaires du Cours d’analyse t le corollaire du 3.® théor.]. D’ailleurs, ces coefficiens étant des valeurs particulières de l’expression f[x o + 0 (X-x o )]

qui correspondent à des valeurs de 0 .comprises entre zéro et l’unité, on prouvera, par des raisonneinens semblables à ceux dont nous avons fait usage dans la y. c leçon, que la moyenne dont il s’agit est une autre valeur de la même expression , correspondante à une valeur de 0 comprise entre les mêmes limites. On pourra donc à l’équation (2) substituer la suivante

dans laquelle 0 sera un nombre inférieur à l’unité.

Pour passer du mode de division que nous venons de considérer à un autre dans lequel les valeurs numériques des élémens de X — x 0 soient encore plus petites, il suffira de partager chacune des expressions (1) en de nouveaux élémens. Alors on devra remplacer, dans le second membre de l’équation (2), le produit (*,— x 0 ) f(x 0 ) par une somme de produits semblables, à laquelle on pourra substituer une expression de la forme (•*■;, — *•)'./[*<> H- ôo (•*-, — x 0 )] ,

0o étant un nombre inférieur à l’unité, attendu qu’il y aura entre cette somme et le produit (x,— x 0 ) f(x 0 ) une relation pareille à celle qui existe entre les valeurs de S fournies par les équations (4) et (3). Par la même raison, on devra substituer au produit (x 2 — x ll )f(x,) une somme de termes qui pourra être présentée sous la forme

0 , désignant encore un nombre inférieur à l’imité. En continuant de la sorte, on finira par conclure que, dans le nouveau mode de division , la valeur de S sera de la forme

(5) S = (x— x 0 )f[x 0 -hü 0 (x— x 0 )]-h(x 2 — *,)/[*, 4 - 0 , (* a — X,)]-*- • • .

4 - (X — X„ ,) f [•*■„, -H 0 /î-, ( X x n t )]. Si Ion fait dans cette dernière équation

. /[ Xn .,^n.,{X-Xn. f )l=f{x„.,)±i„., ,

on en tirera

puis, en développant les produits ,

(7) S—(x, —Xo )f{x 0 )^-{x z — x l )f{x l )-^...-^(X—x„ l )f(x n l )

=fc e 0 ( x, — x 0 ) ± e, (x z — x.) ±...± g„, ( X — x n __, ). Ajoutons que, si les éiémens .v, — x 0> X—x n l ont dés valeurs

numériques très-petites, chacune des quantités dz e Q , dtze,, ... ztze„ f différera très-peu de zéro, et que par suite il en sera de même de la somme

± e Q {x, — x c ) i g, (* a —*,) =fc. g„, (X— x„, ),

qui est équivalente au produit de X—x 0 par une moyenne entre ces diverses quantités. Cela posé, il résulte des équations (2) et (7) comparées entre elles qu’on n’altérera pas sensiblement la valeur de S calculée pour un mode de division dans lequel les éiémens de la différence X— x 0 ont des valeurs numériques très-petites, si.l’on passe à un second mode dans lequel chacun de ces éiémens se trouve subdivisé en plusieurs autres.

Concevons à présent que l’on considère à-Ia-fois deux modes de division de la différence X—x Q , dans chacun desquels les éiémens de cette différence aient de très-petites valeurs numériques. O11 pourra comparer ces deux modes à un troisième tellement choisi, que chaque élément, soit du premier, soit du second mode, se trouve formé par la réunion de plusieurs éiémens du troisième. Pour que cette condition soit remplie, il suffira que toutes les valeurs de x, interposées dans les deux premiers modes entre les limites x 0f X, soient employées dans le troisième, et l’on prouvera que l’on altère très-peu la valeur de S, en passant du premier ou du second mode au troisième, par conséquent, en passant du premier au second. Donc, lorsque les éiémens de la différence X—x 0 deviennent infiniment petits, le mode de division n’a plus sur la valeur de S qu’une influence insensible; et, si l’on fait décroître indéfiniment les valeurs numériques de ces éiémens, en augmentant leur nombre, la valeur de S finira par être sensiblement constante, ou, en d’autres termes, elle finira par atteindre une certaine limite qui dépendra uniquement de la forme de la fonction f [x ), et des valeurs extrêmes x oy X attribuées à la variable x. Cette limite est ce qu’on appelle une intégrale définie.

84 COURS d’analyse.

Observons maintenant que, si ion désigne par A x = h=dx un accroissement fini attribué à ia variable x, les differens termes dont se compose ia valeur de S, teis que les produits (x, x 0 )/(x 0 ), (*a x,)f(x,) 9

&c... seront tous compris dans ia formule générale

(8) i/(*) = fi*) dx

de laquelle on les déduira l’un après iautre, en posant d’abord x=x. et h=x.-x„ puis *=*. et h=x z — x,, &c. . . On peut donc énoncer que ia quantité S est une somme de produits semblables à 1 expression (8); ce qu’on exprime quelquefois à laide de ia caractéristique S en écrivant

(p) S=Xkf{x) = Zf(x) A*.

Quant à l’intégrale définie vers laquelle converge la quantité S , tandis que les élémens de la différence X— x„ deviennent infiniment petits, on est convenu de la représenter par la notation fhf{x) ou ff(x)Jx, dans laquelle la lettre /substituée à la lettre S indique, non plus une somme de produits semblables à l’expression (8), mais ia limite d’une somme de cette espèce. De plus , comme la valeur de l’intégrale définie que l’on considère dépend des valeurs extrêmes X attribuées a la variable x, on est convenu de placer ces deux valeurs, la première au-dessous, la seconde au-dessus de la lettre/, ou de les écrire à côté de l’intégrale, que l’on désigne en conséquence par l’une des notations

(io) ff mm*]’ //«*[;:;]•

La première de ces notations, imaginée par M. Fourier, est la plus simple. Dans le cas particulier où la fonction /(x) est remplacée par une quan^ tité constante a, on trouve, quel que soit le mode de division de la différence , S = a (X— x.), et l’on en conclut

(i ^ (iAx ——- û ( JY x 0 ) ,

Si, dans cette dernière formule on pose a = i, on en tirera (n) £ dx^X-x..

COURS d’analyse.