QUARANTIÈME LEÇON

Intégration par Séries.

Considérons une série

dont les différens termes soient des fonctions de la variable .y■; qui restent continues entre les limites = x=r-X. Si, après avoir multiplié ces mêmes termes par dx , on les intègre entre les limites dont il s’agit, on obtiendra une série nouvelle composée des intégrales définies

(*) ff u ° dx ’ff *• dx ’f* u ' d *’f* tt > dx ’—% u " dx ’ &c ‘

En comparant cette nouvelle série à la première, on établira sans peine le théorème que nous allons énoncer.

i. cr Théorème. Supposons que, les deux limites x 0 , X étant des quantités fuies, la série (i ) soit convergente, non-seulement pour x = x Q et pour x—X, mais aussi pour toutes les valeurs de x comprises entre x Q et X. La série (2) sera elle-même convergente; et, si l’on appelle s la somme de là série {1), la

série (2) aura pour somme l'intégrale f X sdx. En d’autres termes, l’équation s = u Q — p- u { u, H- u } -4- &c. entraînera la suivante

( 4 ) ffsJx= «Jx+fê U > d * *» &C -

Démonstration. Soit

( 5 ) Sn - -+- u. .-+- 0„-, la somme des » pre¬

miers termes de la série (i), et r„ le reste à partir du terme. On aura

(6) j -H /■„ = «„-H»,-I- «*-+-• • • H-» »-.-*-*»> et 'o* 1 en conclura

( 7 ) ff dx =ff ujx +fê u ' dx ^fê ujx ^fê

Or, puisqu’en vertu de la formule (i 4 )[ 2 3 - e leç.] l'intégrale^ r n dx sera une valeur particulière du produit r„(X — .v 0 )' correspondante à une

Leçons Je AJ, Cauchy. Q q

rjS COURS D’ANALYSE.

valeur cîe * comprise entre les limites .v 0 , X, et que, dans l’hypothèse admise, ce produit deviendra nul pour des valeurs infinies de n, il est clair qu’on obtiendra l’équation (4), en posant dans la formule (7) 11 = 00.

Corollaire i. er Si dans la formule ( 4 ) on remplace X par x, on obtiendra la suivante

(8) * s dx * Uodx -hf x dx -+~J~ x * u z dx &c.,

qui restera vraie, comme l’équation (3), entre les limites a = * 0 » x = X.

Corollaire a/ Supposons que la série (1), étant convergente pour x=x 0 , et pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites * 0 , X, cesse de l’être pour x=zX, Dans cette hypothèse, les équations (3) et (8) subsisteront encore entre les limites dont il s’agit. J’ajoute que l’équation ( 4 ) subsistera elle-même, si les intégrales comprises dansson second membre forment une série convergente. En effet, on reconnaîtra sans peine que, si cette condition est remplie, les deux membres de l’équation (8) seront des fonctions continues de la variable * dans le voisinage de la valeur particulière xzzzX [voyez VAnalyse algébrique, page 131], et qu’il suffira d’y faire converger a- vers cette meme valeur pour obtenir les deux membres de l’équation ( 4 ). Au contraire, l'équation (4) disparaîtra, si les intégrales que renferme son second membre forment une série divergente.

Corollaire3. e Supposons que la série (Y), étant convergente entre les limites x = x 0 , x=X, devienne divergente pour la première de ces deux limites ou pour toutes les deux. Alors, en désignant par , £ deux quantités comprises entre * 0 et X, on obtiendra i’équation

(9) J g ^ sd* ^ U 0 dx - 4 - ^ U, dx —h- ^ U 1 dx - 4 - &c.. . ,

puis * en faisant converger £ 0 vers la limite ,y q , et £ vers la limite X, on retrouvera encore l’équation (4), pourvu toutefois que les intégrales renfermées dans son second membre forment une série convergente.

Cette remarque s’étend aux cas mêmes où les quantités x 0 , X deviendraient séparément ou simultanément infinies, par exemple, au cas où l’on aurait * 0 ==— 00, Xz=: 00.

Corollaire j..' Si l’on prend //„ = a n x ”, a„ étant un coefficient réel

cours d’analyse. 159

ou imaginaire, si, de plus, on désigne par f n la valeur numérique ou le module de a n , et par A la plus grande valeur que reçoive l’expression

(/„)" quand le nombre n devient infini, la série (i) sera convergente \yoye% le 3 . c théor. de la 3 8 . e leç.] entre les limites x = — 7, * = l. Donc, en laissant la variable * comprise entre ces limites, et posant

(10) s zzz a 0 —H a x x — a z x 1 &c.... , on trouvera

(11) s dx zzz ci 0 x —J— ci , ——H ci t -7— H— &c .. . .

Cette dernière équation subsistera encore [voyei le coroll. 2.*] pour les valeurs particulières xz=z — ~, x = 'n-f-, si ces valeurs particulières ne cessent pas de rendre convergente la série ci Q x, -yci.x*, -—a z x 3 t Sic .

A laide des principes que nous venons d’établir, on pourra développer un grand nombre d’intégrales en séries convergentes qui fourniront des valeurs de ces intégrales aussi approchées que l’on voudra. C’est en cela que consiste Y intégration par séries. On peut meme employer avec avaittage celte méthode d’intégration, pour développer en séries toutes sortes de quantités, et souvent ce qu’il y a de mieux a faire, pour y parvenir > c’est d’exprimer les quantités données par des intégrales définies auxquelles on applique ensuite la méthode dont il s’agit.

Exemples . Pour développer en séries les fonctions /(i-kv), arctangx, arc sinx, oh aura recours aux formules

’l— X 1 ) 2 dx f ,

/ ■' X dx yx dx y x dx rX

. — arc S1 n,=y o n

et, comme on trouvera, entre les limites x =— t , x = n- 1 ,

— = 1 -x-hx^&c., E— = i-x l -t-x*-&c., ( I -X 1 ) " * =1 H* ; *•-* £7 **+ 'rjl * 6 -+-

l’intégration par séries donnera, entre ces memes limites,

( I 2) /(. +*)=*- 7 + J arc tangx=x- y + y -&c,arcsinx^x +l y + ^ y + ^7 y +..

Si dans les équations (12). on pose x==i, les séries comprises dans les seconds membres resteront convergentes, et l’on aura [en vertu du coroll. 2. e ,]

t'.W't-U—' 2 J 4 JS * *5 2-4 5 2 . 4.6 7

On démontre facilement [ voyez K Analyse algébrique, page 163] que

I 6o COURS d’analyse.

deux séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de x, ne peuvent donner la même somme, pour de très-petites valeurs numériques de x, quautant que les coefficiens des puissances semblables de x spnt égaux dans les deux séries. De cette remarque et du 3.® théorème [38.® leçon] il résulte que, si les deux séries demeurent convergentes et fournissent la même somme pour les valeurs réelles de x .comprises entre les limites —r, n-r [r désignant une quantité positive], elles rempliront les mêmes conditions pour les valeurs imaginaires de x dont les modules seront inférieurs à r. Cela posé, on déduira sans peine des principes ci-dessus établis le théorème suivant.

2 . e Théorème. Si, pour les valeurs re'elles de 1 comprises entre les limites 1 o * Z, et pour les valeurs re'elles de x comprises entre les limites —r, n-r, les fonctions f[x,i) et

04 ) F( X )=f io Z f(x,z)Jz

sont développables par le théorème de Maclaurin en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de x, si d’ailleurs les sommes de ces séries, quand x devient imaginaire, continuent d’étre représentées par les notations /(x,^), F(x ), l’équation (14) subsistera pour les valeurs imaginaires de x dont les modules seront inférieurs à r.

Exemple . Comme on a, pour des valeurs quelconques de x,

et par suite,

{Z+X> Jz = e-‘'f o 00 e-*(r"'+e"')dz,

on en conclura, en remplaçant x par x j/T?,

(16) J~ 0 °° e ’ cosiix.di = -ï-Tr^e"**.

Cette dernière formule, que l’on doit à M. Laplace, est fort utile dans la solution de plusieurs problèmes.