TRENTE-NEUVIÈME LEÇON

Des Exponentielles et des Logarithmes imaginaires. Usage de ces Exponentielles et de ces Logarithmes dans la détermination des Intégrales soit définies, soit indéfinies.

Nous avons prouvé dans la 37.' leçon que I exponentielle A [A désignant une constante positive; et x une variable réelle] est toujours équivalente à la somme de la série

xlA xUJAp

en sorte qu’on a, pour toutes les valeurs réelles de *>

xlÀ . x'[lAY . x*V4)

:iH—

D’autre part, comme, en vertu du 3.*' théorème de la 38.' leçon, la série (1) reste convergente pour des valeurs imaginaires quelconques de la variable x, on est convenu d’étendre l’équation (2) à tous les cas possibles , et de s’en servir, dans le cas où la variable x devient imaginaire, pour fixer le sens de la notation A". Cette convention étant admise, 011 déduit facilement de l’équation (2) plusieurs formules remarquables que nous allons faire connaître.

D’abord, si l’on prend A=e, l’équation (2) deviendra

Si l’on pose dans cette dernière x=^£)/-i [z désignant une variable réelle ], on trouvera

et par suite

On trouvera de même

Leçons de AJ. Cauchy. Pp

(4) e lv ^' = cos z *+" l/- 1 Z •

I 5 A cours d’analyse.

(5) e~~W-' — cos 1 — Y- [ sin£,

puis ion conclura des équations (4) et (5) combinées entre elles

sin 1 =

Soit, en second lieu, x = (æ-4 -Æ \Y—i ) z> \ a, h désignant deux constantes réelles]. Alors la série comprise dans le second membre de la formule (3) sera précisément celle que Ion déduit du théorème de Maclauriti, appliqué à la fonction imaginaire e a ^ (cos hi -H sin b^). On aura donc

(7) *(*.+V—*)î ~e a ^ (cos b 1 -+-j /^7 sin b Y) = e ai . e k W~\

Cette dernière formule est analogue à l’équation identique e (a ^ b) ^—e a ^.e b ^ % de laquelle on la déduirait, mais par induction seulement, en substituant à la constante réelle b une constante imaginaire b^/- 7 . Nous ajouterons quen s appuyant sur la formule (7), on étend sans peine l’équation

a des valeurs imaginaires quelconques des variables x, y ; et qu’en comparant la formule (2) à la formule (3), on en tire, pour une valeur quelconque de x,

(9) A* =z e xl ( A K

Concevons maintenant que, u et y désignant deux quantités réelles , on cherche les diverses valeurs de x propres à résoudre les deux équations

Ces diverses valeurs seront les divers logarithmes de u -\-v Y , 1.® dans le système dont la base est A, 2. 0 dans le système Népérien dont la base est e. De plus, comme, en vertu de la formule (9), les logarithmes de l’expression a-t-vj/-1 dans le premier système seront égaux aux logarithmes Népériens de cette même expression divisés par l(A), il suffira de résoudre l’équation (11). Cela posé , faisons x — ûi-{-fi \A~\ [>, /3 désignant deux quantités réelles]. La formule (11) deviendra

puis Ton en tirera e* cos fi = u, e A sin fi = v, et par conséquent

(13) cos /3 = Vc^v^ ’ sin / 3 = + o ’

Or, on satisfait à l’équation (12) par une seule valeur réelle Je et, savoir ; et — ~l(ii z -H v a ). De plus, en désignant par n un nombre entier arbitraire, on satisfera aux équations (13) par toutes les valeur de fi comprises dans la formule

( ï 4) fi — 2 n 7r -h arc tang >

si « est positif, ou dans la suivante

(1 5) fi = (2//-+-1) 7r-t-arc tang~>

si « devient négatif. II existe donc une infinité de logarithmes imaginaires de l’expression u~\~vY- 1. Le plus simple de tous ces logarithmes, dans le cas où la quantité u reste positive, est celui qu’on obtient en posant //in o , savoir, ~ /(a 1 H- v x ) - 4 - ]/-i arc tang(^). Ce même logarithme qui, pour une valeur nulle de v, se réduit au logarithme réel de u, sera celui que nous désignerons par la notation I(u -f- v \/~i) [ voye% i ’Analyse algébrique , chap. IX], en sorte qu’on aura pour des valeurs positives de u

(16) /(tf+v Y~i) = -Yl(u z + v')-±- Y~\ arc tang-L.

Par suite, si r représente une quantité positive , et t un arc réel compris entre les limites —— > —> légation

(17) x hz r(cosf-t-/M sinf) h re ty/ ~‘ entraînera la suivante

(18) /(x) = /(r) - 4 - ty-i.

Les formules qui servent à différencier les exponentielles et les logarithmes réels subsistent, lorsque ces exponentielles et ces logarithmes deviennent imaginaires. Ainsi, par exemple, on reconnaîtra, sans peine, que Ton a 1.°, pour des valeurs imaginaires de la variable .v,

(19) de x = e*Jx, (20) J!(±x)=:£l-,

I 5 6 COURS d’analyse.

2.° pour des valeurs réelles des variables x,y, £,et des constantes cL,/2>,a,b, (21) Je*W^ —e x -Wi /~ 1 [dx+dyV-i), (22) dl[±[x+yY -1)] — >

(23) dl[ ± {x-^ s/^)] = ^, rf/f±(x-^ / 3 /- 7 )}=-^ >

( 24 ) z=z e( a + i * r ~ l 'tt (a+bV^i) d^.

Dans ces diverses formules, on doit adopter, après la lettre l, le signe -+■ ou le signe — , suivant que l’expression imaginaire, dont on prend le logarithme Népérien, a une partie réelle positive ou négative. De ces mêmes formules, on déduira immédiatement les suivantes

6) f ( +e ,f t "eW~)U z =

a^-bV —7 I 1

(d+V- 0 1 {< l +ty—)T

lesquelles s’accordent avec les formules établies dans les 28. e et 3 o. e leçons.

Les exponentielles et les logarithmes imaginaires peuvent encore être employés avec avantage dans la détermination des intégrales définies. Ainsi, par exemple, U résulte de la seconde des équations (26) que la deuxième formule de la page 128 subsiste, quand on y remplace la constante a supposée réelle par la constante imaginaire a-\-b\/ —1. On obtient alors l’équation

laquelle coïncide avec la troisième de la page citée. De plus, il est clair que la formule (18) de la 34. c leçon subsistera encore, si, au lieu de prendre pour f(x) une fonction algébrique, on pose successivement

f(x)=iW^, f( x )=(- x y^r-eW^,

fx, <7, r désignant trois constantes positives, dont la première reste comprise entre les limites o et 2. On trouvera, en conséquence,

/ ov Z * 00 e axy/ ~ l J r CC cos axdx -

(28 / -- dx = / -- 1 — TT e a ,

r co ./ut \ d x

e ^~'dx=z j o — ax )ï+?~' x

. . r 00 (-X /Zip f axV -‘ dx r 00 sin^p+r^+icos^-arctangr* xdx ve—

\3°) J—ce /(i — rx/n) I+X 1 J o [I/( i-Hr , jr , j] l -H[arctangr^J î 1 +**

cours d’analyse.