PRÉFACE

L'ouvrage que nous publions aujourd'hui est le résumé des Leçons d'Analyse iniSnitésimale que nous professons depuis vingt ans à rUniversité de Gand. Nous y exposons, sous une forme condensée, les principes de la théorie des fonctions élémentaires.

Le cadre de notre livre est moins étendu que celui de beaucoup de Traités de Calcul différentiel et de Calcul intégral ; car, en général, nous' en excluons, d'une manière systématique, les fonctions que Ton ne rencontre pas dans les Éléments. Mais, en revanche^ dans ce cadre restreint, nous croyons avoir étudié la théorie des fonctions d'une manière plus approfondie qu'on ne le fait ordinairement, parce que nous considérons partout la variable indépendante comme étant indifféremment réelle ou imaginaire.

Pour étendre les règles du Calcul différentiel et les propriétés des fonctions au cas d'une variable imaginaire, sans recourir à la théorie des intégrales curvilignes de Cauchy, nous avons dû modifier assez profondément, sur plusieurs points, l'enseignement traditionnel.

D'abord, nous avons défini les exponentielles imaginaires sans aucune considération de séries. Pour nous, ^ est une manière abrégée d'écrire cos y + » sin y et e* est le produit e'.c»', quand z = x + yt. En partant de cette définition, nous avons pu trouver^ sans difficulté, la dérivée de toutes les fonctions élémentaires simples d'une variable z =s X + yt.

La règle de la dérivation des fonctions composées, telle qu'elle est donnée dans beaucoup de manuels, n'est pas établie rigoureusement et s'applique d'ailleurs uniquement au cas où la variable est réelle. Nous remplaçons cette démonstration insuffisante et incomplète par une autre, élémentaire et générale, déduite des règles particulières relatives aux sommes, aux produits et aux exponentielles composées. Nous avons employé le même procédé pour démontrer le théorème de Pinterversion des dérivations, sans recourir à aucun postulat. Au moyen de la règle de la dérivation des fonctions composées et des règles spéciales relatives aux fonctions simples d'une variable réelle ou imaginaire, nous avons pu établir, avec la même généralité, l'ensemble des formules qui constituent le Calcul différentiel^ y compris la théorie des déterminants fonctionnels.

En vue de traiter d'une manière complète et à sa place naturelle, la question du reste des formules de Taylor, de Newton, de Wronski et de Gauss, nous avons réuni les propriétés fondamentales des dérivées^ des intégrales et des séries, dans une section spéciale, en tète du Calcul différentiel.

Enfin, dans la Théorie des fonctions proprement dite, nous avons pris pour point de départ, non seulement le théorème de Rolle ou la relation équivalente, AFx = AxF'(a; -|- GAx), mais aussi le théorème plus général de Darboux, AFz = A j/2e«*AzF'(« -|- 0Az). Grâce à ce dernier principe, nous avons pu exposer, dans ce cours d'Analyse élémentaire, maintes théories habituellement rejetées en Analyse supérieure; par exemple, celles des exponentielles et des logarithmes imaginaires, le développement du binôme dans tous les cas où il subsiste, la formule de Taylor et la loi suprême de Wronski pour les fonctions d'une variable réelle ou imaginaire, les propriétés des fonctions homogènes, des wronskiens et des déterminants fonctionnels, etc.

Notre Résumé d'Analyse infinitésimale est divisé en six sections : l. Introduction. II. Propriétés fondamentales des dérivées, des intégrales et des séries. III. Calcul différentiel. IV. Propriétés des fonctions. V. Appendice. VI. Notes complémentaires.

Les deux premières sections ont été publiées, dès 1877, à Tusage de nos élèves. A cause de Textréme concision avec laquelle elles sont rédigées, et aussi de Timportance des questions de principe qui y sont exposées, nous avons cru devoir les compléter et les commenter dans TAppendice et les Notes. Que Ton nous permette d'attirer spécialement Tattention du lecteur sur quelques points traités dans ces quatre sections.

Dans les trois premiers chapitres de l'Appendice, nous donnons une esquisse historique des progrès de l'Analyse infinitésimale, la traduction des premiers articles de Leibniz et de Newton sur le Calcul différentiel et une notice sur les différentes manières de concevoir la théorie des infiniment petits depuis Kepler jusqu'à Gaucby. Nous croyons avoir prouvé, par des textes décisifs, que les grands géomètres du dix-septième siècle n'admettaient pas l'existence des pseudo-infiniment petits et que Leibniz et Newton, en particulier, entendaient déjà le calcul infinitésimal de la même manière que Gaucby, cent cinquante ans après eux.

Dans les deux chapitres suivants, nous démontrons le principe fondamental de la méthode des limites : Une variable toujours croissante a %me limite finie ou infinie, et nous en montrons l'équivalence avec le théorème moins simple appelé caractère principal de convergence. La théorie des limites, dans son ensemble, est exposée dans l'Introduction et dans les Notes.

Nous consacrons ensuite un chapitre spécial au principe de substitution des infiniment petits. Nous espérons avoir établi les conditions d'existence de ce principe avec plus de précision qu'on ne l'a fait jusqu'à présent et l'avoir appliqué avec rigueur à la Géométrie de la mesure (rectifications, quadratures, cubatures).

Enfin, dans le chapitre relatif aux propriétés fondamentales des dérivées, on trouvera une démonstration directe du théorème qui établit la liaison entre le Galcul différentiel et le Galcul intégral : deux fonctions qui ont même dérivée ne diffèrent que par une constante; et, dans l'Appendice, une note sur la fonction continue sans dérivée, de Weierstrass.

— VIH —

Pour rédiger ce livre, nous avons consulté la plupart des bons Traités d'Analyse infinitésimale, en particulier, les Éléments de notre maître vénéré, Mathias Schaar, et ceux de nos collègues de Liège et de Louvain, MM. Catalan et Gilbert. Mais nous devons signaler spécialement; parmi les écrits qui nous ont servi de guide, les manuels de Gauchy et de Duhamel, le Lehrbuch der Analysis de M. Lipsehitz, et, à partir du n** 214, le Gours de MM. Genocchi et Peano; puis enfin et surtout, l'admirable Mémoire de M. Darboux sur les fonctions discontinues.

MM. Brocard, Mister, Neuberg, Saurel, Verstraeten ont bien voulu partager avec nous la tâche ingrate de la revision des épreuves de notre livre et nous ont maintes fois suggéré d'utiles corrections, tant pour le fond que pour la forme. Nous leur en adressons ici nos bien vifs remerciments.

Gand, é octobre 1887.

SÉSUMi DU OOUBS D'ANALYSE INFINIT]6SIUALB DE L'UNITEBSITÉ DE GANO.