CHAPITRE I. Définition db l'analyse infinitésimalb

I. Oes variable», fl. Variable. On appelle vana6/6 une quantité qui peut prendre un nonfibre indéfini de valeurs différentes, constante^ celle qui a une ou plusieurs valeurs déterminées. Dans maintes questions, celles qui sont relatives aux maxima et minima, par exemplCi on est conduit naturellement & regarder les quantités comme variables.

9. Notation. On désigne, en général, les constantes et les variables, par les lettres de Talphabet, parce qu'elles ont, les unes et les autres, des valeurs arbitraires. Les variables d'une question peuvent être constantes dans une autre, et réciproquement.

5. Représentaiion giométrique des variables. Pour que Timaginntion puisse venir en aide à rintelligence, on représente qurlquefuis les variables et les constantes, par des grandeurs géométriques; ce qui, souvent, ne peut se faire, il est vrai, qu*en restreignant la généralité des questions traitées.

4. Exemple. Chercher pour quelles valeurs de x et de j^, p = xy (ou s = x--\-y)a\a plus grande (petite) valeur possible, sachant que 5 = x-f-y (oup=3xy) est constante; x et y sont positifs? En posant X = I « — jj, (ou X = (/p — z), on trouve z = 0, x=y.

II. Dea fancllona. 5. Fonction. On appelle variables indépen* dantes celles auxquelles on peut attribuer des valeurs quelconques; variables dépendantes ou fonctions celles dont la valeur est déterminée par celle des variables indépendantes.

6. CAotx des variables indépendantes. On choisit les variables indépendantes de la manière la plus favorable au but que Ton veut atteindre, soit parmi celles qui entrent dans la question, soit en dehors, auquel cas elles s'appellent variables auxiliaires.

7. Représentation géométrique de la relation entre deux ou trois variables. On représente la rebition qui existe entre deux ou trois variables par le lieu géométrique qui a pour coordonnées les valeurs de CCS variables. Ex. : y = x, xy = i , y = E (x), y == x — E (x),

(*) AëioipressioD des pages 1 à 32 où Ton corrigé les fautes typographiques inîdiqaées dans les Notes. Page 188, ligue !i9, lire (ba -f- ey) y", «u lieu de eyy'' et corriger la suite des calculs (1888).

E (x) désignant le plus grand entier contenu dans x. On peut aussi représenter une fonction, qui est la somme ou la différence de deux autres, par la somme ou la différence des ordonnées de deux courbes. Ex. : y =» ar* 4- X. y = ar* + x — E (x).

8. Rbmarque. Les propriétés des fonctions sont indépendantes de In manière dont on désigne les variables et les relations qui les font dépendre les unes des autres et des constantes.

III. Objet de l'analyse InlIalCéiiiiiiale. 9. Classification des fonctions. Fonctions concrètes; analytiques; de une, deux, trois... variables. Fonctions algébriques ou transcendantes d'une seule variable. Une quantité y est une fonction algébrique (ou transcendante) de x, si elle satisfait (ou non) à une équntioii U => 0, dont le premier membre U est un polynôme rationnel et entier par rapport à y et x; réciproquement, X sera fonction algébrique (ou transcendante) dey.

10. Classification des fonctions algétriques, l"* Fonctions entières. S® Fonctions ou fractions rationnelles. 5" Fonctions irrationnelles qui peuvent s'exprimer au moyen de radicaux. 4° Fonctions irrationnelles qui ne peuvent pas s'exprimer au moyen de radicaux.

11. Classification des fonctions transcendantes, i^ Logarithmes et exponentielles; fonctions circulaires. 2^ Fonctions elliptiques, hypercllîptiques (ou ultra-elliptiques) et abéliennes, qui sont une généralisation des précédentes. 5<* Une infinité d'autres fonctions qu'on n'a pu classer encore, telles que la fonction gamma.

19. Objet et division de l^ Analyse. L'Analyse a pour objet la théorie des fonctions. Elle se divise en deux parties. I. VAlgèdre et la Trigonométrie ont pour objet les fonctions algébriques, exponentielles et logarithmiques, et les fonctions circulaires, étudiées surtout au moyen du calcul algébrique. H. L'Analyse infinitésimale étudie ces mêmes fonctions et toutes les fonctions transcendantes, au moyen de la méthode des limites ou de la méthode infinitésimale y qui est équivalente.

1S. Objet de ^analyse élémentaire. L'analyse élémentaire ne traite que des fonctions rencontrées dans les éléments (10, iS 2% 3"; ii, I**).

IV. Aperça historique. 14. Inventeurs. Newton (1642-1727), Leibniz (1646-1716); Euler (1707-1783); Lagrange (1736-1813); Legendre (1752-1833); Gauss (1777-1853), Cauchy (1789-1857); Abel (1802-1829), Jacobi (1804-1851); Riemann (1826-1866), Clebsch (1853-1872); Weierstrass (1815), Cayley (I82i), Hermile(1822).

15. Précurseurs. Neper (i550-i6i7), Descartes (1596-1650); Fermât (1601-1665); Huygens (1629-1695); Wallis (1616-1705); Archimède (287 à 213 av. J. G.)» Kepler (1571-1630), etc. Promoteurs : Jacques Beraoulli (1654-1705), Jean Beraoulli (1667-1748), Maclaurin (1698-1746), etc.