ou DIA = Dlm == Dl» = DIo

Par suite, d'après les n<" 221 ou 103, a, (3, y étant des constantes,

lm = lfc-*-la, 1» = Ifc -4. 1(3, lp = lA-^ly, m :=oik^ w = (3fc, p = yk.

Substituant ces valeurs de m, n, p, dans l'identité Arr -♦- m* -*- wt -4-pus»=0, elle devient^ après division par A:, r + a« -+- (3f 4- yw = 0, relation qu'il fallait démontrer.

IV. Remarque. Oa peut évidemment établir des théorèmes analogues aux précédents sur des wronskiens où les dérivées sont remplacées par des différentielles partielles ou totales des fonctions considérées.

99S. Propriété fondamentale des déterminants fonctionnels nuls. Un

déterminant fonctionnel

est identiquement nul^ si l'une des

d (M, V, Mo) d (x, y, z)

dv dy

dw dy

fonctions composantes u, v,w est constante ou fonction de une ou plusieurs des autres fonctions composantes; et réciproquement. I. Si, en premier lieu, on a, par exemple, w => une constante c, le déterminant

du dv dw dx

du dy

du di

est nul comme ayant sa dernière colonne formée de zéros. Si, en second lieu, tu = F (î/, v), on a

dw d? du d? dv dw dF du dF dv dw dF du dF dv dx du dx dv dx dy du dy dv dy dz du dz dv dz

Donc, en retranchant la première colonne du déterminant multipliée par Fu et la seconde multipliée par F^» de la dernière colonne, celle-ci ne contient plus que des zéros, et, par suite, le déterminant est identiquement nul.

II. Réciproquement, si le déterminant fonctionnel est identiquement nul, ou bien Tune des fonctions u, v, w est constante, ou Tune dVUescst fonction d'une ou de plusieurs des autres. En effet, soient

«* = fi^^ y y «)> V = 9 (^» y» «)» w = ^ [x, y, z)

les relations qui définissent t<, v, u;, une ou plusieurs variables pouvant toutefois manquer dans les expressions /*, 9, ^. Supposons aussi le théorème établi pour les déterminants à deux lignes. En premier lieu, si l'une des trois relations, la dernière, par exemple, w "= ^, ne contient, dans le second membre, ni x, ni y, ni z^ w est une constante et le théorème est démontré. En second lieu, si aucune des trois expressions /*, 9, ^ ne se réduit à une constante, il faut nécessairement que l'une au moins contienne l'une des variables, par exemple, que f contienne x,

de sorte que fl (x, y, z) n*est pas identiquement nulle. Substituons Ja valeur de x, en w (et, peut-être, en y et z) lirce de « = /"(x, y, 2), dans celles des autres relations 1; = 9 (x, y, jz)^ w = ^ {x, y, z) qui contiennent X. On pourra écrire le résultat de la substitution, dans tous les cas^ sous la forme

les trois variables t/, y, z n'existant pas nécessairement dans les expressions X c^ ^* On aura ensuite, par des transformations élémentaires,

d (u, V, ti?) d (x, y, z)

du dz

dx du du dx

dx du dx

du dy dy

dx du dx

du dz dz

dn du du dx

di: du dn

du dy dy

dn du dn

du dz dz

du dx

du dz

dx dy

dn dy dn

^du d(x^^ dx^d{y,z)