COS'X

Gh X — Sh X

H 3c""* sin X cos X -«- c"" • cos x

— Chx

6» Pour X = 90 ,

lim-^^ ^=liin — ^ ; — ouhm— ^^ — ^ ^ = 1.

916. Remarques I. Le dernier exemple peut se traiter comme il suit :

i 1 \ xj 1

En faisant x~' =» z, la dernière limite devient celle de [1(1 -^ z): z] pour z^bO, c'est-à-dire l'unité. On peut aussi poser immédiatement t = x-«.

II. On arrive donc quelquefois plus rapidement au but par des procédés élémentaires (changement de variables, suppressions de facteurs dont la limite est connue, transformation de l'expression donnée, etc.) que par l'emploi de la formule du n^" 215 seule. Celle-ci, appliquée à certaines expressions, n'en donnerait jamais la vraie valeur. Ainsi, pour X =3 00 , on aurait

,. Sh X ,. Ch X ,. Sh X ,. Ch X lim—; — = lim;;; — =3lim— — sslim^^r — , etc., Chx Shx Chx Shx' '

indéfiniment, sans jamais apprendre si l'une ou l'autre de ces expressions a une limite, tandis que par l'algèbre élémentaire, on trouve immé> diatement

lim -; — c= hm : = lim -, = i .

Ch X c* -*- e-' i -4- e-*'

III. Si l'on trouve lim A sa Hm B = ou « , il faut se garder de croire que lim (A : B) = 1 . Ainsi, pour x «= 0, lim (x* : sin x) b» lim (2x : cos x) ■=a 0; mais lim [(x* : sin x) : (2x : cos %)] = {'

81 T. Autres formes indéterminées. I. Formes (oo: oo). SiFx=») ^x e» 00 , pour X = a, (Fx : /x) prend une forme indéterminée ( oo : » ), à laquelle la règle de l'Hospital est souvent applicable, comme on Ta vu, n* 200. On peut aussi ramener ces expressions à celles du cas précédent,

en observant que

Fx 1 i

fx fx ' Fx

prend la forme (0 : 0). Ainsi, pour x «» | tt,

lim -z , , = lim «= lim - — - — :-T-r=' *•

{~n — x)~ * col X ( — 1 : sin'x)

Remarque. Si, pour x^^ a, a éiapt fini^ Fx est infinie, la dérivée F'x, pour X tendant vers a, ne peut avoir une limite finie. Car, on a (206) FX — F (a -*- A) = (X — a — h) F'xi, a-^ h étant compris entre X et a. Si^ pour X tendant yers a, ou h vers 0, F'x tend vers une limite finie A, F'xi ne différera guère de A, si X est voisin de a; donc, FX — Fa serait Yoisin de A (X — a), ce qui est absurde, puisque Fa =» oo . Conséquence relative h la rèf;le de l'Hospital, comme au n*" 245, remarque.

Autre démonstration du théorème de Bouquet (Genocchi et Pbano). On a identiquement, par le théorème de Cauchy, supposé applicable.

Fx Fx

-FxoV f^J F'xA f^J

fx fx — fxo/^Fxo\ r^i/j^ I

Fxo \ ¥xj

Soient Fx =: oo , fx = co ^ pour x = oo . Si, pour x = oo , le rapport (F'x : fx) a une limite finie A, on pourra prendre Xo et par suite Xi , qui surpasse Xo, assez grand pour que (F'xi : fxi) diffère de A aussi peu qu'on veut. Ensuite, après avoir choisi ainsi Xo, on peut prendre x suffisamment grand pour que

fxo

diffère de l'unitë aussi peu qu'on le veut. Donc, enfin,

^ = (Ad=e)(i±e')

t et e' étant aussi petits que Ton veut, ou encore

Fx lim 7- = A.

On ramène k ce cas celui où la limite est infinie, en renversant le rapport (Fx : /x], et celui ou Fâ? s=> oo , fx =^00 pour x = a, en posant X e=3 a -I- r~S et fesant croître t indéfiniment.

II. Formes Oy(,co .Le produit Fx*/x prend la forme indétermînëe • 00 , pour X = tf, si Fa = 0, fa =oo .On ramène à (0 : 0) ou ( oo : oo ), en observant que

Fx'fx =

\fx) \Fx)

Ex. Pour X == 0, lim xlop =» ; pour x ^ oo , lim x" c"* = (n» 201). Des transformations élémentaires donnent parfois plus facilement le résultat. On trouve, par exemple, pour x =» J tt,

,. rtangx 1 — sinxl ^1

Um — ^X — : =0, -,

|cos* X sm X J 2

ou 00,

selon que n = 0, 1, ou 2; pour le voir, il suffit de multiplier et diviser cette expression par i + sin x.

III. Formes oo — oo . La différence Fx — fx prend la forme indéterminée 00 — 00 , pour X ■» a, si Fa = oo , fa = oo . On a

Fx — fx Fx — /x « Fx X — ^

expression qui se trouve dans le cas précédent, si, pour x=sa, la limite du second facteur est nulle. Si elle est finie, Texpression Fx — fx est infinie. Ainsi^ pour x = ^ ti,

\cos" X cos» x/ 2

ou 00 , selon que n =a 0, i, 2.

IV. Formes 0®, oo®, 1* . Les exponentielles y = Fx^' prennent les formes indéterminées 0®, oo<*, ou 1* pour x = a, si Ton a 1" Fa •= 0, fat=iO; 2» Fa = 00 , /a = 0; 3* Fa =» 1, /i» «= » . Dans les trois cas, on observe que

lim y = lim c ly = e »»"» ^y, lim ly — lim (fx log Fx).

La dernière expression rentre dans le type précédent. Ex. i* y=x' pour x = Of a pour logarithme xlx dont la limite est nulle; donc

lim x* *=» 0. 2<* y » x* pour a; «s oo , a pour logarithme Ix : x, dont la

limite est nulle. Donc limy = 1. 3" y ^= (1 -*- ax)*, pour x=0, a pour

logarithme [1 (i + ox) : x] dont la limite est a {n? 42). Donc, limy =» e*.

Autre méthode pour les expressions i*. Posons <(,x=Fx — i. On a (41)

lim Fx^' = lim (i + tfxY' = lim (i -4- (px)?^^'^*^ = «"» /"«f.

U faut donc chercher lim fx (Fx — 1) au lieu de lim fx log Fx. Ces limites sont les mêmes, car

Fx — i <px

SIS. Remarques. I. Démonstration incomplète de la règle relative aux expressions (0 : 0). La formule particulière

peut se déduire i* de la formule du n*' 215, III; â* de la définition des dérivées. En effet,

lim ^(^"*-*) = lim P(«-^*)~P^ / (a -H A) /* (a -*- A) — /a

[- F (g -H A) - Fg -j r F (g -t- A) - Fa ]

= limL^ ÏJ ^ L^.

r f(a^h)-fa l r f(a + h)-fa \ f'a

Ces démonstrations supposent Fa, fa non nuls à la fois, puisque la limite d'une fraction n'est égale au quotient des limites du numérateur et du dénominateur que si l'un, au moins, n'est pas nul. On ne peut donc pas en tirer la règle générale du n° 215. La formule du n** 213, m, ne conduit à rien si F'a = 0, f'a = 0. En effet, en y faisant X = a -*- hy Xi = a -^ hiy xt -= a -^ hiy par le théorème de Lagrange, F(aH-A) ¥{a-^h) — Fa F' {a-^hj) F^(a-*-A, ) — F'a hi¥''{a -^ Bhi) ((a-^h)'^ fia-^h) — fa^ f (a-+-Af)"'/*'(a+At) — /''a""AjF"(a-^e,A4) La présence dans le second membre des facteurs inconnus A^, Ai, différents peut-être, empêche qu'on déduise rien de précis de cette égalité, quand A, Ai, At tendent vers zéro.

II. Démonstration incomplète de la règle relative aux expressions (qo : oo). Dans le cas où l'on sait, àpriori^ que (Fx : fx) a une limite A pour x = a, Fa, fa étant infinis et (Fx)~*, (/x)~* vérifiant les conditions du théorème de Cauchy, on peut établir comme il suit, la règle du n" 200. Soit, en premier lieu, A différent de et de oo . On a

Fx (fx)-* WxY* V— fx — F'xT

A = lim-;r-=lim ;^ [ ^ = lim -:L. ; , = ,/., : ,„ ,, = fx (Fx)-* D(Fx)-* L (/x)« (Fx)« J

lim /^?f Y X limê^ = A« lim Ç^ -

FxV

\fxj F'x F'x

On déduit de U,

lim --- = A.

En second lieu, si est la limite de (Fx : fx\ on a, d'après ce premier cas, en ajoutant l'unité au rapport (Fx : fx\

/Fx \ Fx -^ fx F'x -♦- Tx /F'x \

d'où aisément lim (F'x : f'x) = 0. Enfin^ en troisième lieu, si lim(Fx : fx) = 00 , on a lim (fx : F'x) = lim {fx : Fx) = et, par suite, lim(F'x:/''x)=oo.

Cette démonstration ne peut servir que rarement à chercher la vraie valeur des expressions (oo : oo ), puisque, le plus souvent, on ne sait pas à priori, si (Fx : fx) a une limite, comme on le suppose dans la démonstration.

m. Cas où la règle de VHospiial est dite en défaut. Quand on n'a pas

Fx F'x

lim -j;- « hm 2v- »

fx f'x

évidemment, alors, l'une au moins des conditions d'existence de la règle de l'Hospital est en défaut. Ainsi, pour x = x , on n'a pas

. 2x + sin X ,. 2-4- cos x

hm : — == hm ~

2x — sin X 2 — cos x

puisque la première expression est égale à 1, la seconde indéterminée. Gela provient de ce que 2x dz sin x, n'est pas une fonction toujours croissante, que 2 àz cos x n'est pas continue pour x = oo , ou plutôt, 2 H- cos t"* pour t «S' 0, etc.

VI. Théorème de Rolle pour les fonctions d'une variable imaginaire. 919. Définition d'une fonction d'une variable imaginaire. Une expression u => v + u?t est appelée, d'après Riehann, une fonction F^ (ou d'après Gaijghy, une fonction monogène^ c'est-à-dire à dérivée unique) de jz =5 X -♦- yt, si t? == cp (x, y), w = (p (x, y) sont des fonctions réelles de X et de y, telles que la limite de (Au: Az) ou [{Av + t'Ati;): (Ax + t'Ay)] existe et soit unique, de quelque manière que Ax, Ay tendent simultanément vers zéro, même si le rapport (Ay : Ax) ne tend vers aucune limite déterminée. On appelle cette limite unique de (Au : àz),

du la dérivée de Fz, et on la représente par F'z, D.Fz, ou -p. Ex.: Les fonçai

tions élémentaires (133, i38, 143).

9S0. Conditions nécessaires et suffisantes^ auxquelles doivent satisfaire 9 et ^. I. Si lim (Au : Az) =» F'z, quel que soit Az, on trouve, en faisant

d'abord Az =» Ax,

F fz -4- Ax) — Fz

F'z = lim -^ p^^ —

^ lim ^^^'^ A^^ y) — ? (^> .y) ^ yii,p ^^(^-^^^>y) — 4^(g,y )

Ax Ax

ou encore,

On a, de même, en faisant ensuite Az = t Ay,

FfzH-tAv) — Fz l^F 1

En égalant ces deux expressions de F'z, on obtient les conditions cherchées, savoir :

Exemple : Si F = c*, on a (67), cp = e* cos y, vp^e* sin y et Ton trouve 9i = «* cosy = ^;, tj^;; « — e* sin y = — 9;.

CoROLLAiRB. SupposoHs que les dérivées de 9 et ^ aient elles-mêmes des dérivées. Dérivons une fois par rapport à x, une fois par rapport à y, les équations de conditions précédentes, puis éliminons entre les relations trouvées 9^^^, ^"^. Nous obtiendrons ainsi les identités

II. Les conditions nécessaires sont suffisantes, dans le cas où le théorème de Lagrange existe pour les fonctions 9 et v{^ de deux variables (211). On a alors

At? = Ax 9;(xi , yi) -t- Ay 9;(xi, yi). Au? = Ax ^{^^(xi, y») -♦- Ay ^\{xtj yt),

en désignant par (xi,yi), (xi, yt) des valeurs de x, y, comprises entre x et X + Ax, y et y + Ay. Par suite

Ai4 = Av + i Ati?

= Ax [9;(x„ yO -4- » ^;(xj, y,)] -+- i Ay [ij;;(x,, y,) — t 9;(x,, y,)],

ou, en tenant compte des relations 9y = — ^'l» ^'^ ^^ 9l>

Ali = Ax [9^(xi, yO -*- 1 ^;(xf, yt)] -♦- i Ay [9;(xt, yt) ■+- i ^^(x,, y,)].

On peut encore^mettre cette expression sous la forme suivante :

Am = (Ax -t- » Ay) [tp'pt, yt) -*- i •■{/^(x,, y,)] -4- » A« [^'Jxt, y i) — <{/;(x„ y,)] -t- i Ay [<p'^{xt, y,) — (p;(x„ y,)].

On déduit de li, puisque Az = Ax + t Ay,

=<pi('»;«.yO-^»4'l(*iy<)

Arr-t-iAy^'^ t«\ ^ j Ax-*-tAy

Si Ax, Ay tendent vers zéro, Xj, x« tendent vers x, et yi, yt vers y, les rapports

t'Ax AxAy — tAx* Ax Ay . Ax*

Ax -^ t Ay Ax> -4- Ay * |/Ax*-+-Ay» / Ax« h- Ay* %* -^ ^y'

tAy tAxAy-i-Ay* Ax Ay Ay*

ÂxTTÂy Ax«-*-Ay* ^ /Ax« + Ay« >/ Ax* -*- Ay» ^ ^* -+- V '

n'ont pas une limite infinie. Donc

lî«n ^= ?; (x, y) -4- i ^'^ (x, y),

ce qui prouve que les conditions 9^ =» v];^, 9y = — ^l sont sufSsantes pour que u ait une dérivée.

931 . Théorème. Si la dérivée F'z d'une fonction ¥z de z est constamment ntUlcj Fz est une constante par rapport à x et à y. En effet,

Sx ^y

donc F ne dépend, ni de x, ni de y (i03 ou 207).

Corollaires. I. Deux fonctions de z qui ont même dérivée ne diffèrent que par une constante (104 ou 207).

II. Si la différentielle du = d^u -t- dyU •¥■ d^u d'une fonction u de plusieurs variables réelles ou imaginaires x^ y, z, est constamment nuUe, u est une constante. Car du «= entraine d^u ■= 0, d^u = 0, d^u «= 0, ou Dstt = 0, DyU = 0, D.u = 0. Par suite, u est indépendant de X, y, z.

III. Si deux fonctions u, U de x, y, z, ont même différentielle totakj elles ne diffèrent que par une constante.

939. THéORÈMB DE LiGnANGB GÉNéRALisé. Supposons la fonctioD Fz = 9 (^> y) "*" * '^ (^» y) continue (c'est-à-dire 9 et ^), ainsi que sa dérivée F'x (c'csl-à-dirc 9^ = ij^^, ?i = — ^i)> P<>u** les valeurs de z correspondant aux points de la droite y =^ ox + 6, passant par les points A (xo, yo) et B (X, Y), de sorte que

La fonction Fz est supposée continue depuis Zo =» Xo + ^o^ jusqu'à Z = X 4- Yt inclusivement, F'z depuis Zo jusqu'à Z inclusivement ou exclusivement.

Si Xi et yi «^ axi + 6 sont les coordonnées d'un point I| convenablement choisi entre A et B, on a, d'après le théorème de Lagrange (21 i),

tp (X, Y) — 9 (xo, yo) = (X — xo) cpl (x„ yi) -h (Y — yo) 9^ (x„ y,)

ou encore, puisque 9^ = — vj/^»

A90 = AX09; (xi, y,) — Ayo+',(xi, yi).

Le second membre est la partie réelle du produit

(Axo + % Ayo) K (^«» yO -^ * +i (^«» y*)]»

ou de Azo F'Zi, si l'on pose Az « Zo — Zo = Axo + t Ayo, Zi= XiH-yit. On écrit ce résultat de la manière suivante :

A90 <= RAZoF'Zj.

On prouve, de même, que

Ai^Q =s 3AzoF'zi,

3 signifiant la partie imaginaire de, et zt =^ xi + y,t désignant une valeur de z correspondant à un point de AB intermédiaire entre A, B.

En réunissant les deux résultats précédents et remarquant que FZ — Fz = A90 -♦- • A^j^o, il vient

FZ — Fzo == RAzoF'zi ^- 3 AzoF'zt.

%%Z. Autre forme du théorème de Lagrange généralisé. Soient FZ— Fzo=:Re-', Azo = He«, F'zi == Rie", F'Z8 = R,c''. Le théorème de Lagrange généralisé peut s'écrire

Rc«' «= R,H cos (A- H- 6) -h i RiU sin {k + c).

Par suite

R» = RJH» cos' (* + 6) + RJH* sin» {k + c).

le n"" 221, ou 105, exprime que [F({x, fy, tz) : ("*] est indépendant de ( et; par suite, égal à la valeur que prend cette expression pour<=l, c'est-à-dire, à F (x, y, z). On a donc Tégalité (2) ou (<) et F (x, y, z) est une fonction homogène (Démonstration de Genocchi et Peano). IV. Corollaire. Des théorèmes II, 111, on déduit

dx* ' ^ dy* dz^ ou symboliquement

2xt/

d^¥ dxdy

2xz

dxdz

(x----t-VT--*- ^ v) F~7w(m — 1)F, \ dx ^ dy dzj

et des relations analogues pour les dérivées d'ordre supérieur.

^%7 . Propriétés fondamentales des wronskiens. I. Muir appelle wronskien de plusieurs fonctions r, «, (, u d'une variable réelle ou imaginaire z, le déterminant

itt

que l'on représente par W (r, «, f, ti).

On trouve immédiatement, par des calculs élémentaires, que si « s» rS, I = rT, u c=> rU, on a

relation utile en calcul intégral.

IL On trouve ensuite (n*^ 1^6), en dérivant le wronskien,

III. Un wronskien W (r, s, /, m) est identiquement nul si l'une des fonctions r, s, ty u est identiquement nulle, ou s'il existe entre elles une relation linéaire homogène; et RécirROQUEMENT. Si r, par exemple, est identiquement nul, il en est de même des dérivées r', r", r'" et W, ayant une colonne de zéros, est aussi identiquement nul. Si l'on a u e= or -f 6^} et, par suite, u' = ar' -♦- 65', w" = ar" 4- fc«", w'" = ar''' + 6^", W

aura une colonne de z<fros, lorsque Ton retranchera de la quatrième colonne, la première multipliée par a et la seconde multipliée par 6. RÉcipnoQUEHBKT, sî W cst identiquement nul, une des fonctions r, s, ^ u est nulle, ou bien il existe entre r, «, (, u une relation linéaire. Supposons d'abord cette réciproque établie pour les wronskiens à trois lignes et prouvons qu'elle est vraie pour les wronskiens à quatre lignes. Soient ky m, ii,p, les mineurs de W par rapport h r"', «"', t"\ ti'". Ces mineurs sont eux-mêmes des wronskiens à trois lignes. Si l'un d'eux est identiquement nul, il existe une relation linéaire entre les fonctions qui y entrent, (d'après l'hypothèse faite sur les wronskiens à trois lignes) et le théorème est démontré. Si aucun des mineurs k, m, n, p, n'est égal h zéro, considérons les relations identiques

kr -^ ms -¥- nt -^ pu =0, (3i)

kr' -h m«' -♦- nt' -h pu' = 0, (3i)

kr" -^ ms" H- m" -+- pu" = 0, (S,)

kr'" + ms'" -♦- ni'" -+- pu'" = 0, (S*)

obtenues en exprimant les propriétés des mineurs du déterminant nul W. A cause de D«W = 0, on a encore, d'après la formule (2)^

Ar'^ -4- «15'^ H. nr -^ pu'^ = 0. (3.)

En dérivant successivement (3i) (3i) (3s) (34), et simplifiant la dérivée de chacune de ces équations, au moyen de la suivante,

fc'r H- m's -♦- n't h- p'u = 0,

kY"

Ces quatre relations donnent immédiatement, d'après les propriétés des équations homogènes linéaires et la définition de ky m, n, ;>,