CHAPITRE U. Théorèmes de Taylor et de Newton

I. Voncllons d'ooe «eule variable iadépeiidaate.999. Fonctions entières. Soit fz = a^ -*- aiz -^ ai«* -+- ..•-»- ainZ"^, On aura

f[z 4- A) =■ Ao -i- k\h -+- AjA* -+- A3A' -*-...-+- knJhTj Ao, Al, k%y ..., Km étant des fonctions entières de z. Dérivant m fois cette relation par rapport à A, puis faisant A = 0, on trouve aisément

rz

ko—fZf A|=— , Ai =

Substituant ces valeurs dans l'expression de f{z 4- A), on trouve la formule de Taylor :

f(z-^h) = fz^jfz+'l--rz-¥ ——r^z 4 .-. -*-— ^^ Z'"'^-

On obtient aussi directement cette formule, en ordonnant par rapport à A, Tex pression ao -*- Zi{z -^ A) -h as (z -<- A)* -4- • • • h- a,, (z -+- A)", développée par le binôme de Newton.

Si Ton écrit Z au lieu de z + h, Zo au lieu de z, alors A = Z — Zo, et Ton a

Si, dans celte formule, on écrit z au lieu de Z, elle devient

X — Zo ^, (z — Zo)' .„ (z — Zo)"*

et, pour Zo = 0,

Diaprés un théorème connu^ relatif aux équations du premier degré, le second membre de cette équation est identique à ao -i- aiz + atz^ ^ ... -*- amZ"^, Donc

ao=/-o, a.=Y' «'==172' •• ' ^'"==Tx::i;t*

relations qu*il est facile de vérifier directement.

!t30. Fonction quelconque. Formes du reste de Schlômilch. i** Fonction réelle d'une variable l'éelle» Soient fx une fonction continue de Xo à X inclusivement ainsi que ses (n — i) dérivées f'x^ /""x, ..., /"""'x ; f^x sa n"^'"'' dérivée, continue de Xo h X exclusivement ou inclusivement. En général, l'expression

fxa

ne sera pas nuUe^ quels que soient Xo et X, comme dans le cas d'une fonction entière de degré m = n — 1 (229)^ mais on pourra la mettre sous diverses formes remarquables, comme nous allons le montrer dans ce n* et les suivants.

Puisque p s'annule pour X=Xo, il est naturel de poser p «=(X — Xo)''P, p étant un exposant positif, de sorte que

^„ r. x-xo., (x-x)« ,, (x-x)-« ^, 1

— (X — Xo)^P = 0. (1)

Prenons une fonction auxiliaire

formée en remplaçant Xo par x dans (i), P restant invariable et ayant, par conséquent, la même valeur que dans (i). On aura cp Xo -= 0, d'après (i); puis, identiquement, cpX = 0. On trouve ensuite, toutes réductions faites,

cp'x = p (X — xy-* p (X—a^)" ' .

La fonction <fx est continue de Xo & X inclusivement, d'après les hypothèses faites sur /x, /"'x, ..., /"""'x; la dérivée, pour la même raison, est continue de Xo à X inclusivement ou exclusivement (elle peut être infinie pour X » X, si p est inférieur à Tunité, mais cela n*a aucun inconvénient). D'ailleurs 9x0 = 0, 9X = 0. On peut donc appliquer le théorème de RoUe à (px, et l'on a, pour une valeur Xi intermédiaire entre Xo et X, f'xi B3 0. Donc

ou, en posant xi => xo + 6 (X — Xo), 9 étant compris entre et 1 , On trouve alors, pour p = (X — x^y P, l'expression suivante :

dite /orme du reste de Schtômileh.

On a donc enfin la formule dite de Taylor, savoir :

Remarques. 1. On écrit souvent x au lieu de Xo dans cette formule, X + A, X + Ax ou r + clx, au lieu de X. Alors les conditions de continuité des fonctions considérées se rapportent a x, x + A et aux valeurs

intermédiaires^ et la formule de Taylor se met sous la forme

II. Une fonction est continue quand elle a une dérivée finie (99). Les conditions de continuité relatives à fx, /"'x, ..., /*""'*x sont donc vérifiées si f^x est fini de Xo à X. Même remarque si x est remplacé par une variable imaginaire comme au n"* suivant.

931. jt"" Fonction d^une variable imaginaire. Soient fz une fonction continue ainsi que ses (n — i) premières dérivées, de Zo=sXo -*- yoi à Z =3 X + Yt inclusivement, pour les valeurs de z qui correspondent aur points de la droite AB, A ayant pour coordonnées (xo, yo) et B, (X, Y); et /*"z, sa n**^ dérivée continue de Zq à Z, inclusivement ou exclusivement. Posons

p^fz- [/z.-. -j- fx... 4^/".. * .- ;.2...(„i,/ -4

p = (Z — JTo)'?, P > 0.

On aura, comme au n® précédent,

Le théorème de Rolle généralisé (224) est applicable à la fonction 92. On a donc

Il (Z — jTo) 9'«i = 0, 3 (Z — zo) 9'zt c=.

Z| = Zo + ôi (Z — Zo), Zi = Zo + 0« (Z — Zo).

Oi et Bt étant compris entre zéro et l'unité. La première de ces égalités devient, si Ton remplace 9'zi par sa valeur,

ou, puisque Z — zi = (1 — Oi) (Z — Zo)i après la suppression du facteur p (1 - 9,)«-',

Mais (Z — z^yp = p. Donc

De 3(Z — Zo)(p'zf = 0, on déduit de même,

On pourrait donner à p une valeur différente dans les deux formules. En réunissant flp à 3p, il vient enfin

forme du reste de Schlômileh généralisée.

Si Ton écrit z au lieu de zo, z -^ h^ z -^ Az, ou 2 + e?z au lieu de Z, auquel cas les conditions de continuité des fonctions considérées se rapportent i z, z + A et aux valeurs intermédiaires, on a

f{z ^h) = fz^\f'z^ ^f"z -^ ... -^ ^-^J^Ll-^^f'-'z + p,

P 9S9. Forme du reste de Darboux, Soient

(\ — 64)— Y"zi = Rtc", (i — OiY-pf^'Zf = Rtc**.

On aura, comme au n*" 223,

p = RfH cos (fc -♦- 6) -4- 1 RjH sin (fc h- c), R« = H»RÎ cos«(fc -^ 6) 4- H«Rî sin* (* -i^ c) ^ H«(RÎ + RJ).

Pour fixer les idées, soit Ri égal ou supérieur k Ri. Alors