R<HR,|/2, R = A/2HR

) est une quantité qui n'est ni négative, ni supérieure h Tunité. Multiplions la dernière égalité par e^', et remplaçons Re"' par p, H et Ri par leurs valeurs

p=«ï:È^^(*-^')"-'/"(^-^^'*)^2îxb;(^-°*)"-'/^(^-^**)-

— i08 — II viendra, en posant a =a — k — 6, et supprimant l'indiee de 6,,

forme du reste, duc à Dauboox. Ce géomètre y arrive autrement, et, d'après ses raisonnements, X|/2 peut être remplacé par 1; mais f*z doit être supposée continue même pour les valeurs extrêmes Zq et Z. Substituant cette expression de p dans la valeur de /'Z, il vient

^ ^ Z — Zo^, (Z — zo)--* ^ ,

Si Ton écrit z au lieu de Zo^ z + h^ z -^ Az, ou z + djs au lieu de Z, on a la relation

9SS. Forme du reste de Cauchy, En faisant p = i, dans les formules des n"' 230, 23i, 232, Ton obtient les expressions suivantes du reste :

p = /i/ïe-'^T^"]" (1 - 6)-' /^ [z. + e (Z - «.)] ; OU encore, en remplaçant, Xo par x, X par x + A, 2o par z, Z par js + A,

La première seule de ces formules est due à Gaucby; le nom de

l'illustre géomètre est donné par analogie aux deux autres formes du reste.

3S4. Forme du reste de Lagrange. On l'obtient, en faisant p = n. Alors

(X - Xo)'

f- [xo + 9 (X — xo)],

ou encore, en remplaçant Xo par x, X par x + A, zo par z, Z par z + A,

La première seule de ces formules est due à Lagrange. C'est encore par analogie que nous donnons le même nom aux autres.

Application. I. Si la fonction f^x est toujours comprise entre m et M, alors p sera compris entre [mh" : (1.2...n)] et [MA" : (i.2...n)]. On pourra donc écrire approximativement

Terreur étant moindre que E = [(M — m) A" : (1 .2...w)], ou

avec une erreur en sens inverse, moindre encore que £. On peut aussi exprimer la même chose en mettant p sous la forme

Exemple. En appliquant le théorème de Taylor à e^, on troure

* A' A""* A" ^+ôA

— no —

DivisoQS les deux membres de cette égalité par e*. Il viendra

Posons^ pour abréger,

En prenant un terme de plus dans le développement de Taylor, on trouvera

Quand A est positif, e^* est plus grand que e° == 1 et e^i* plus petit que e*. Donc

Si [A"+* : (1.2... n){n + 1)] est inférieur à l'unité, on déduit de là

II. Dans le cas d'une fonction d'une variable imaginaire, p peut se mettre sous la forme

si le module de fz est toujours inférieur ou au plus égal à M. Car, dans ce cas, f{z ■+- Oh) --= Aie^i^H, ce qui conduit à Texpression donnée, en faisant XA| = A, A = a + ai.

!l3ft. Forme du reste de Liouville. I. Si /'"x est continue pour la valeur initiale x, de sorte que /"" (x -*- GA) = f*x -i- e, e étant aussi petit qu'on le veut quand A est suffisamment petit, on peut écrire

A" ,^ V '*" ^ eA* û = 1 f"x H- e) csa / "X H- r, r =3 •

L'expression r est la forme du reste de Liouville. Si /""x n'est pas nulle, f^x + £ a toujours le signe de /"x, quand A et, par suite, e sont suffisamment petits. Donc, approximativement.

Terreur commise r pouvant être rendue, en valeur absolue, inférieure au dernier terme du développement, dans le cas où Ton peut supposer h aussi petit qu'on le veut. Si f*x =» 0, la mémo conclusion subsiste, car Ton peut s'arrêter dans le développement à la première dérivée non nuUc; antérieure à /'"a:.

II. Dans le cas d'une fonction d'une variable imaginaire, on a de même

£i> £i> t (qui est égal à et ou z%) étant des quantités qui ont zéro pour limite en même temps que h. Si le module de h est suffisamment petit, l'erreur r commise en écrivant

a un module inférieur à celui du dernier terme non nul du second membre.

9S6. Application. Vraies valeurs des expressions indéterminées. Soient deux fonctions /z, gZy nulles ainsi que leurs (n — i) premières dérivées pour une valeur z. Si le théorème de Taylor leur est applicable avec la forme du reste de Liouville, on aura

€<} Ci» £s> e«) ayant pour limite zéro en même temps que h. On déduit de là

f{z -*■ h) __ /"z -*- Rgt -t- 3gt

flf (z -H h) g^z -H Kej -♦- 3c4 et, pour h tendant indéfiniment vers zéro,

Dans le cas où z est réel, c'est la formule fondamentale du n"* 200. On peut donc étendre aux fonctions d'une variable imaginaire la plupart des conclusions du § V du chapitre précédent.

Rbuarque. On applique souvent le théorème de Taylor à la recherche

des vraies valeurs des expressions indéterminées, en remplaçant chacune des fonctions qui entrent dans ces expressions par son développement. Dans ce cas, suivant une remarque de Newton, il est inutile d'écrire les termes de ces développements qui, à la limite, n'auront aucune influence sur le résultat final. Voici un exemple traité de cette manière. Soit à chercher» pour ( =& 0, la vraie valeur de

On trouve, approximalivementy au moyen de Fexemple du n" 234, en faisant successivement h = (, A = I* et n'écrivant pas les restes du troisième ou du quatrième ordre en (,

Donc la limite de Texprcssion considérée est | •

Voici un exemple traité par un autre procédé. Puisque, pour n quelconque,

e'ss I -4- — I h ••• -I e^,

on a évidemment, quelque grand que soit p, si I est positif,

Par suite, on aura

< - < ou •

Soit p > ib, et t croissant indëGnirocnt. On déduira de ces inégalités, lim l*e^ c= 0, pour C «= « , comme au n* 201.

UST. Acrmc ArrucAtio». Lim (A*/*: Ar*) » f*z. I. Si Ton change x en t -♦- A, dans régalitc A/i = f{z -%- k) — /i, qui définit A/z, différence lïremièrt ou accroissement de /z, il vient \f{z + A) = f[z -i- 2A) — f{z H- A). Par suite, en posant A*/): = A/^x -t- *) — A/z,

A »/x = f{z + 2*) -. 2/"(r -#.*) + fz.

ReaaplaçaDt encore £ par x -»* A, dans rexpression de cette différence AY*> il vient

AVic ^- *) - f^z -V ») - if(Z + 2*) + /^(s + A).

On déduit de là, pour la valeur de la différence troitiéme, ^*fz = ù*f{z -H A) - A'/z,

A»/z = f{z + 3A) — 3/'(« + 2A) + 3/"(z + A) — /i; et ainsi de suite. Par induction, on trouve la formule

A-/i = f{z ■+ «A) —jf[z -t- (« - ■!) A] + "^""7^^ f[z + (n - 2) A]

Pour prouver qu'elle est générale, on montre qu'elle subsiste pour A^^^fz^ si elle est vraie pour A"/z.

II. La différence première de z* est égale à {« h- A)" — «• = njc"~*A -t- un polynôme de degré (n — S) en z. De même, on a A* (z") = n(n — i) z"""*A' H- un polynôme de degré (n — 3) en «, A' («*)=* n (« — i) (n — 2) z"-»A' -*- un polynôme de degré (n — 4) en z, et ainsi de suite. Enfin, A"~*(x")=n(n — i)...3.2zA"~* -4- une constante, et A''(jt-)«» 4.2.3...nA-.

III. Gela établi^ supposons fz et ses n premières dérivées continues de zk z -*- nA, sauf /""z qui peut être discontinue pour la valeur extrême z + fiA. Développons chacun des termes du second membre de (1) par le théorème de Taylor, en employant le reste de Liouville. Nous trouvons un résultat de la forme

^^fz===XofZ'^Aijf'Z'hA,^f^'z + '^'-^Anr-^f''z-^h-e, (2) ' ' 1' i.2' 1.2. ..Il

£ étant une quantité qui a, en même temps que A, zéro pour limite; Ao, A4, Ai, ..., A«. sont des coefficients numériques qui sont les mêmes pour toutes les fonctions. Pour les déterminer, faisons fz = z". Dans ce cas, (229), le reste du développement de Taylor est nul. Donc, on a (II)

i.2.3...nA- = AoZ" -h Ainz"-*A -♦- At ^^^"^ ^ z'^'A* -4- ... -*- A,A".

On conclut, de cette identité,

Ao = 0, A| = 0, Ai=:0, ..., A«-4 = 0, Ansss i.2.5..,ii. Par suite, la formule (2) devient, en écrivant Az au lieu de A,

A"/z = Az* (/*"z -♦- e),

et Ton a

M§. Forme du reste de Laplaee. I. Posons

On aura

Substituons ces valeurs dans la formule du n* 22K (ou, si z est réel, dans celle du n" 114). Il viendra, après transposition de termes,

Ccst la formule de Taylor avec la forme du reste de Laplaee^ la première qui ait été trouvée, au moios dans le cas où z est réel. On peut en déduire toutes les autres,' au moyen des premières notions relatives aux intégrales définies.

Si l'on écrit z au lieu de Zo, z + A au lieu de Z, ( au lieu de z, elle devient

II. Posons t = z -^ u; alors A( = Ati, z -4-A — t = h — u. Quand t varie de z à x -^ A, ti varie de & A. On déduit de là

«f A f z -H A — rt*-* * (A — ll^""*

P='"'° ri.2...(n-l) ^*^' = "-°g l.2...(n-l) ^-(--*-»)^"' OU, en employant la notation de l'intégrale définie (114 ou ââ5),

Si Ton pose u = hv,v varie seulement de à 1, quand u varie de à A, et l'on trouve, par des transformations analogues aux précédentes

Si l'on remplace A par Z — z, on peut écrire cette formule comme il suit :

9M9. Appucation. Dérivée p^^ du rapport '^z <= [(/2 — fz) : (Z — x)!. I. Co» où z est différent de Z. On a successivement, par le tiiëorème de Leibniz (173),

D^ (/-Z - fz) (Z - z)-i = {fZ -fz)Xi .2...P (Z - z)-^- -H I ( z"'^) X < .2... (p - i) (Z - z)^

La quanUtë entre parentlièses, d'après la dernière formule du n» 258, où l'on foit n — 1 =:p, est égale k

(Z — zy** f '

Donc enfin,

^z = Ç {i-v)pfp^^[z-^v{Z-^z)]dv. (i)

II. Si, au lieu du reste de Laplace, on emploie celui de Liouville, on trouve

€ ayant pour limite zéro, en même temps que Z — z. Si l'on prend un terme de plus dans le développement, il vient

/>+«jC (Z •- z)

Ci ayant encore zéro pour limite en même temps que Z — z.

On déduit de 1&,

dfPz - fp^*Z

FITZ '(p + i) (z — Z) (p -^ 1) (p -»- 2)'

et, k la limite, pour z tendant indéfiniment vers Z,

J' p-^i' fp^^z fp^^z fp^^z

JT — z p-4-1 '(p-^i)(p-4-2) p-*-2 ^^

III. Cas où z est égal à Z. Pour cette valeur particulière, le rapport ^Zf supposé continu, a pour valeur /*'Z. On ne peut évidemment en trouver les dérivées successives par les calculs de l'alinéa I. On les obtient comme il suit :

/•z - f^ rz

<hz — <iiZ Z — z '

+'^ = "" ^Ti:i-= "" — T^^z —

(a — Z)' (Ji — Z)'

On a ensuite, d'après la relation (!2),

^"Z - lim !}if 4f = Hm ^' % ^ » î /""Z,

Z — il z £i

d/'"Z = hm -^ 1 — « hm -^ ^ = î T Z,

et ainsi de suite.

IV. Ces résultats sont contenus dans la formule (1), quoique elle n*ait été établie que pour le cas où z est différent de Z. En effet^ cette formule devient, pour z = Z,

^PZ = f (i — v)pfi'^*Zdv == />+'zf (1 — vydv.

Or (114), puisque rf (1 — v)p^' == — (p ^ j) (i — vydv,

((1 — i»)^dv-= — ^-^— ^^, ( (i-.rW,;==L^.

J PH-J J^^ p-f-1

Donc enfin, comme à l'alinéa III,

ce qui prouve que la formule (1) est générale. Il résulte aussi de l'alinéa II que les dérivées de ^z sont des fonctions continues pour jc «» Z, puisque ^z tend vers ^pZj quand z tend vers Z.

940. Formule de Maclaurin, Pour abréger, nous nous bornerons aux fonctions d'une variable réelle, parce qu'il suffit d'écrire z au lieu de x et d'introduire, dans l'expression du reste, le facteur 7(/âe"' pour passer au cas d'une fonction d'une variable imaginaire.

I. Dans la formule du n*" 230, écrivons x au lieu de X^ de sorte que les conditions de continuité se rapportent à Xo^ x et aux valeurs intermédiaires. On aura

P = ^-^^=^^(1 - e^v-Lx, 1- e (x - X.)].

relation où l'on peut évidemment faire p e= 1 , p = n, pour déduire^ du reste de Schlômilcb, ceux de Caucby et de Lagrange. En écrivant Xo, x, t, au lieu de Zo, Z, z dans la valeur de p donnée au n" 238, on obtient le reste de Laplace :

Sous la forme précédente, le théorème de Taylor s'appelle quelquefois théorème de Maclaurin.

H. Le plus souvent toutefois, on réserve ce nom à la relation que l'on obtient en supposant Xo = 0. Alors

et les conditions de continuité des fonctions considérées se rapportent & 0, X et aux valeurs intermédiaires.

III. Contrairement h l'apparence, la dernière formule est aussi générale que celle de Taylor et peut servir à la retrouver. En effet, posons (pA = f{x -*- A) — /x, dérivons par rapport à A, puis faisons A = 0, etc. Il viendra

<p'h = f{x -f- A), (p''h = f"{x H- A), . . . , (p-A = /'-(x -4- A); <pO = 0, fO^/^'x, cp"0=»/-"x, . . . , 9-(eA) = /^{x -^ GA).

Soient /x, fxy ...,/"~^x continues de x a x + A inclusiTement, f*x continue entre ces yaleuvs. Cela revient a dire que çA, ç 'A, ..., (p"~'*A sont continues de & A, f *A entre ces valeurs. On aura donc, par le théorème de Maclaurin,

*■ */- A ,Ar% f* (A — «)•-* -

Remplaçant fO, «p'O, ...9 ^""'Oy <p*(OA), f"» par leurs valeurs, nous retrouvons le théorème de Taylor :

A» ft r* (A 11^"-*

941 . Propriété singuiière de la fonction de Cauchy (px == e ** . I. Si

X (supposé réel) est différent de 0, on trouve, pour les dérivées succes-

sives de la fonction (px >=> e ** ,

<p'x «=5 (px . 2x-*, 9"x =s çx[4x^* — 6x^*], (p"'x = (px[8x-« — 3«ar' h- 24x-»], etc.

toutes égales à (px multipliée par une somme de puissances négatives de x. II. Pour X = 0, la règle de la dérivation des fonctions de fonction est inapplicable à (px, <p'x, ^"x, etc., puisque x~' est infini pour cette valeur de la variable. Mais on peut trouver aisément les valeurs de (pO, (p'Oy 9"0, etc.^ au moyen du théorème : Lim <px . x"^ = 0, pour x «= (201, 256). Posons, par définition, comme on le fait ordinairement pour les expressions où entre l'infini (214), (pO=^lim (fx^= 0. On a, d'après la définition de la dérivée (94),

(px — (pO

ffl'0==lim^^ ^= lim (px . x^* =0,

(p"0 = lim ^^~"^^ = lim (px . 2x-* == 0,

(p'"0 = lim ^ = lim <px[4x-' — 6ar»] = 0, etc.

III. La fonction cpx et ses dérivées sont continues pour x différent de zéro. Elles sont continues aussi pour x ==0, car la valeur de q^x, et celles de cp'x, cp^'x, 9'"x, etc., trouvées k Talinéa I, quand x tend vers zéro, tendent aussi vers 0, valeur de (pO, par définition, et de (p'O, <p''0, 9"'0, etc., d'après les calculs de l'alinéa II.

IV. On peut donc appliquer le théorème de Maclaurin à la fonction (px. Mais le développement se réduit au reste, puisque toutes les dérivées sont nulles, et l'on a, en employant la forme du reste de Lagrange,

Pour n croissant indéfiniment, [x" : (1 .â.5...n)], terme général de la série S [x" : (1 . â. 3 ...n], qui est convergente (i 27, III), tend vers zéro. Donc, pour n = oo , lim 9*(9x) = « ,

V. Si fx est une fonction à laquelle on peut appliquer le théorème de Maclaurin^ fx + ^x sera dans le même cas, et les deux développements seront, au reste près.

p.ii-1

mais le reste, dans le développement de /x, sera, par exemple.

/•«(ex);

dans celui de /x + (px = A -4- B + (px, il sera nécessairement B + (px. La connaissance d'un nombre quelconque de termes du développement A d'une fonction, sans aucune considération du reste, ne peut donc sufiire à la détermination complète de la fonction représentée par le développement (Ciuchy).