Définition des suites (a), (A). I. Soient

une suite de quantités indéfiniment décroissantes, de sorte que lim Cp «= pour p=ico;

fl, Hi, As, Hi, ..., fSp,

les nombres correspondants, formant une suite indéfiniment croissante, (n-305);

Sn ~^ Sf Sin ^ £|> Sn^ —" £j| Sn^ — ™ Cj, ..., Sn- ^" ^py *»-ï-Ê, **, "+- £|, Sn^ •+• Ej, ^nj -*- tzy ...9 *» -♦- £p,

les deux suites de quantités entre lesquelles sont comprises («», Sn^i, etc.), {SnifSn^^iy ...), (*«,, *•,+!, ...), etc. (n» 304, 1).

II. Posons a=»Sn — e» puis ai égal à la plus grande des quantités a et s»^ — SifOt égal à la plus grande des quantités ai et Sn^ — et, As égal à la plus grande des quantités Ot et ^«, — 65; et ainsi de suite indéfiniment. La suite

a, aiy As, as, etc., (a)

sera croissante, ou, à partir d'un certain terme, composée de quantités égales. D'après le n° 306, on aura

a '^ Snt 'i»+ii Sn^it etc., ai <C*nj, *«|+i, '»!+«> ôtc.,

et ainsi de suite indéfiniment.

III. De même, soient A =» ^n + 6, Ai égal à la plus petite des quantités A et 8n^ -«- eo Ai égal à la plus petite des quantités Ai et s^^ -4- e*, A3 égal à la plus petite des quantités A9 et #«, -1- £&; et ainsi de suite indéfiniment. La suite

A, Ai y As, Asi etc.,

sera décroissante, ou, à partir d'un certain terme, composée de quantités égales. D'après le n"" 306, on aura

A > *«, Sn^if Sn^fy etc., Ai > *„j , *«, + 1, '•,+«, etc., At>«»,, *•,+!, *ii^+t, etc.; et ainsi de suite indéfiniment.

IV. La diflférence A — a est égale à 2e; Ai — fli est au plus égal à 2ei, puisque ai est égal ou supérieur kgn^ — e et A| égal ou inférieur à Sn^ -*- ^^; As — 0% est au plus égal à 26t, A3 — Usk 2€z; et ainsi de suite indéfiniment.

30S. Démonstration du théorime. I. La suite (a) croissante et toujours inférieure à A (u"* 307) tend vers une limite finie, à moins que les termes de cette suite, à partir de Pun d'eux, ne restent égaux. Appelons a cette limite, ou cette valeur constante.

II. Les différences A — a, A| — a, Aj — a, etc. sont égales ou inférieures à A — a. Ai — «i, At — as, etc.; celles-ci sont égales ou inférieures à 2e, 2ei, 2es, etc. Donc les .différences A — a, A| — a. As — ocy etc. sont nulles ou sont indéfiniment décroissantes, comme la suite des quantités e, ei, es, etc. La suite des quantités (A) a donc a pour limite, à moins que tous les termes de cette suite, à partir de l'un d'eux, ne soient égaux à a.

III. Pour simplifier le langage, on est convenu de dire qu'^n^ quantité constante est elle-même sa limite (299). Nous pourrons résumer ce qui précède en disant que, pour j? = 00 , dans tous les cas,

lim a^ •= lim Ap = a.

lY. Enfin, les quantités

comprises entre ap et Ap, ont nécessairement la même limite a, parce que la différence Sn — a» en valeur absolue inférieure à

Ap — Op = (Ap — a) -♦- (a - «p),

a éTidemmant zéro pour limite, comme A, — <x, a — Op. Le théorème général est donc démontré (*).

>••. Exemples. I. Considérons la quantité variable

Si f est impair, on aura

quantité positive inférieure à [I : (il + 1)], quel que soit f^ car on peut récrire comme il suit :