II. La série imaginaire suivante (Catalan
(cos|+i8m|)+i^co82|+i8in2|)+i^co83|+isin3|^+etc,
est égale à
La partie réelle est convergente (29, III) et égale à — i log2 (209, II) ; la partie purement imaginaire est convergente aussi (129, Exemple) et égale à { in (209, 1). La série des modules étant 1 + i -|- i -{- etc. , c'està-dire la série harmonique, est divergente. Donc une férié imoffinaire piut iire converçewte sans que la série des modules le soit.
(1 ta) III. Si, pour n=oo , le module du terme général «.,=p« cos 9.+ tp» sin 9» d'une série imaginaire n'a pas zéro pour limite, on ne peut avoir lim p» cos 9, = 0, lim p» sin 9» = ; car, on déduirait de ces égalités,
Iimp»=limi/p2co8«9.+pjsin«9.=(/(limp,cos9«)*+(iimp«sin9,j«=0. Une série imaginaire oik Von n'a pas lim p» » 0, est donc divergente ou indéterminée.
lY . La condition lim nUn = 0, souvent indiquée comme nécessaire pour qu'une série à termes positifis soit convergente, ne l'est pas en réalité. La série suivante :
ou
est convergente, comme étant la somme des séries
dont la seconde surpasse la première et est convergente (128, exemple). Cependant le produit nUn étant égal à Tunité chaque fois que « est un carré, n*a pas zéro pour limite (Ë. Cbsâro).
(194) Autre énoncé : On peut intervertir ^ comme Van veut, Vorire des termes dans une série absolument convergenk^ sans en changer la somme.
(196) Exemples, n^ 29 (Notes cokpl. 29) et 301. Autre énoncé: On peut changer Tordre des termes d'une série semi<onf>ergente, etc. Yoici un théorème analogue à celui de Riemann et que Ton démontre de la même manière : c On peut déduire une série convergente ayant une somme L, déterminée d'avance, d^une série divergente à termes positif s^ tti + ^> + ^^^' f ^ ^^^ »» «= 0, en changeant convenablement les signes de u^J utf Uz, etc.
(196) *[Ligne 10, ajouter = 0]. Le théorème énoncé dans Tayant-dernière phrase de ce n% savoir que /m R» = est un caractère sufflsant de convergence, est à peu près évident, quand on l'entend dans le sens que suppose régalité de la première ligne de la page 31. On admet, en effet, dans cette égalité, que {Un^i -{-*'- +Un+p) a une limite, finie ou infinie. Or, dans le cas actuel, elle ne peut être infinie, car on aurait alors aussi lim R» infinie; elle est donc finie et égale, par exemple, à L».
Si «w+iH b^-^-p a pour limite L», «i 4-1^1+ ••• +iu+-p a pour
limite Si»-{~^* Mais, entendu de cette manière, comme Ta remarqué M. Catalan, le caractère lim R» == est insignifiant : il revient à dire qu'une série est convergente si elle reste convergente après suppression de ses n premiers termes.
Il vaut mieux entendre le théorème relatif à lim R» dans le sens du caractère général de convergence et renvoyer, pour la démonstration, au chapitre V de I'Appendicb (n°- 303-310).
(197) *[Ligne 13, lire y Un au lieu de (/«m; antépénultième et avantdernière ligne, lire : divergente ou indéterminée pour â?' > 1, car les termes vont sans cesse en croissant en valeur absolue]. Sur les exemples, voir n- 255, 257, 262-263.
Corollaire. 8i^ pour n = (x> , lim i = Lfla série sera convergente {ou non) suivant que L est (ou non)f en valeur absolue, inférieure {ou supé" rieure) à Tunité. Soit L* inférieur à Tunité. Choisissons une quantité q inférieure à Tunité et supérieure à la valeur absolue de L. Pour n égal à N, par exemple, et pour toutes les valeurs supérieures de », N 4- 1, N-)-2, N+3, etc., si N est suffisamment grand, k sera aussi voisin de L
qu'on le Tondrai puisque lim ilssL, et, par suite, sera inférieur à f .Donc la série sera convergente. Démonstration analogue, si L' surpasse l'onité. (fl S§) Théorème de RÂABB.La proposition suivante, au fond identique à un théorème de Raabe, permet souvent de décider si une série où A. = (tu^i : Un) a pour limite Tunité, est convergente ou divergente : c Une série VsBUi-^Ut + Ui + ete.fà termes tous posUift, est eanvergenle (cm âiterg9nU)s'U existe une valeur de n à partir de laquelle an ait constamment
n{l^kn)>g [ou n{l--kn)<g]
g étant une constante plus grande {ou plus petite) gue FunUé. CJomparons, en effet, cette série, à la suivante : Y =Vi+Vt+U^eic.t où Vm=nr^9 a étant une quantité comprise entre g et Tunité. On aura, en posant (! + *"')« — 1 = P et, par suite, a = [log (1 + 13) : log (1 + «r»)],
puis kVm = 9.+I,
On a lim(l3:ii-*) = lim[log(l+/3):log(l+fi-*)], pour « = oo, j3«=0(42); donc
-('-^)— (•+;)"-i^lTi^
Puisque » (1 — /«) a pour limite a, quantité comprise entre g et Tunité, pour n suffisamment grand, égal à N, par exemple, et pour tontes valeurs ultérieures, on aura n (1 — /•) compris aussi entre 1 et g. A partir de n = N, on aura donc, si g et, par suite, a sont supérieurs
à Tunité, «(1 — il») > y > n (1 — /»). Par conséquent, pour « = N,
N + 19 N + 2, etc., In surpasse iU; donc
fn+l ^ f^M+l Um^l ^Un
-zr.>-i- ou — -!-<[-^.
Vn Un l'ii+l 'On
On déduit de là
Vr tfi+i Um
«H-i < — v^i , »■+« < t?^ff < — «H-t, etc. ;
if,+i + u^\ + etc. < — [t),+i + i>H-« + **<^-] •
La série du second membre de cette inégalité et, par suite, celle du premier, est convergente (128, exemple). On démontje de même la seconde partie du théorème.
EzBHPLBS. I. La 8éri«
est conTei^ente, car lim « (1 — it.) = 1 ;. Au contraire, la série
est divergente, car lim n (1 — iU) «= f
II. Dans la série binômiale (127, Ex. 3) où Ton suppose â^*» 1, on a ii(I — kn) = f>i + l9 si tous les termes sont rendus positifs, pour 91 > fi» + 1. La série est donc conyergente, si m est positif, ce qui est d*accord avec les n"»' 263, III.
Remarque. Yoir au n® 322, un caractère de convergence moins élémentaire, appelé théorime éTAteL Nous n'en faisons aucun usage dans ce cours.
(It9) Remarque. Une série à termes alternativement positifs et néga^ tifs et dont le terme général a pour limite téro peut être divergente. En effet, dans la série
la somme Su. des 2n premiers termes est égale à 2H«, H» désignant la somme (l + î+-** + i) des n premiers termes de la série harmonique (E. Catalan).
(ISO) *[yoir un nouvel exposé de ce paragraphe, avec des additions et des corrections, Appendice, ch. VIII, n^ 317-322].
CALCUL DIFFÉRENTIEL
(184) La règle suppose évidemment que le produit D»y.D«« n*ait pas une forme indéterminée. Si Ton avait, par exemple, y=3ff*, u=X8mar^y on ne pourrait pas écrire y' = 2«.D.tt, dans le cas où ^ s= 0, car DgU est indéterminé (96). Comparer le n" 177, cas général.
(149) *[Ligne 10, ajouter à la seconde expression (: Aâ?)]. Comparez encore le n"* 177, casgénéral^ et le second exemple.
(146) *[Au 2^, la fraction rationnelle doit être renversée; à la première ligne de la remarque^ il faut lire ¥x au lieu de JBx\ au 4*, dans
la remarque, il 8*agit de Texpression entre parenthèses carrées].
(146)*[Au 3^, dernière ligne, il faut lire Th«, au lieu de ThHi].
(147) Ce numéro a été oublié, (f 49) *[Ligne ô, lire — F' (— a) au lieu
de — F(— «)]. (161) *[Ligne 11, lire y = « + t? — w, au lieu de
*r dy dwl ♦r
y=f-|-<?— ^]«(ÏM) Ligne 10, lire -^ ^^ ^î^w ^^"3" '(**'*) Ligne
dt dtl
4, seconde égalité, lire ~» au lieu de — • (lit) *[Avant dernière ligne
du avj
de la page : Mettre quelques points avant le premier signe d'égalité]. (177-178) *[Page 64, ligne 3, lire da au lieu de dn; ligne 3 en remontant, lire D|«yi«ti( au lieu de Dfty^st^]. (189) *[Ligne 1, ajoutez li», après totàle].
PROPRIETES DES FONCTIONS.
(187) La fonction discontinue y==x — E{x) (7 et Notbs complémentaires (7)), toujours croissante dans le sens défini ici, ne Test évidemment pas dans le sens vulgaire.
(901) *[A la dernière ligne, lire B' au lieu de B«]. (904) *[Page 80, ligne 5 en remontant, lire Yo au lieu de Y]. (900) *[Page 84, dernière ligne, lire a? < I, au lieu de a? < l].(917)*[Page 92, ligne 5, en remontant, lire 1 au lieu de 0]. (990) *[Page 96, ligne 9, écrire — tAa?, au lieu de tAâr, au numérateur du premier membre, ou changer les signes des seconds membres des deux égalités].
(990) et (909) On peut simplifier la démonstration de ces deux formules en observant que Ton a, en général,
ft(r,«*0 + af (^«^ = il/2d«»(fe«0
re^* étant celle des expressions ri^*, r^e^ dont le module est le plus grand. En effet, posons
ll(f itf*») + 3(r,rO = r, cos J + irt sin e = Re^. On aura
R = |/rî cos« } + r* sin« c ^ ^r\ + r\ ^ j/â^,
r étant le plus grand des deux modules r«, rt, s'ils sont inégaux. On a donc R =s Ar|/2, A étant une quantité au plus égale à l'unité; par suite,
selon que r =» f| ou fi,
(9!t9) *[Li6s titres du chapitre et du paragraphe doivent être modiâés comme à la table des matières] (945) *[Au 2«, à Tavant dernière ligne, le dénominateur doit être N'; à la dernière ligne, il faut le signe — devant {].
(94IS) (946) {%4S) Noies hishriques. I. M. Enbstrôm nous a fait observer que la formule de Newton se trouve déjà dans Tédition des Principes de 1687 (Livre III, Lemme Y, pp. 481 et suivantes) que nous n'avons pu consulter. Cette remarque ndus a remis en mémoire un passage de la célèbre lettre de Newton à Leibniz, du 24 Octobre 1676, où riUustre géomètre anglais annonce déjà qu'il possède la solution générale du problème de Tinterpolation. On trouve ce passage dans le Gommercinm episMicum, éd. Lrfort, Paris, 1856, p. 132; ou dans Nbwtoni OpuêeuUij Lausanne et Genève, 1744, tome I, pp. 840-341. Il est reproduit dans la Biblioêheea mathematteaf 1886, t. III, p. 142, avec des renseignements historiques sur la démonstration de la formule de Newton. A la page suivante, M. Enestrôm signale Hbrhann comme ayant trouvé une formule équivalente à la loi suprême aux différences, de Wronski {Phoranomia, Amsterdam, 1716; Appendix IX, pp. 389^93).
II. Nous avons fait connaître Texpression du reste de la formule de Gauss, dans les Comptes rendus de Paris (1886, premier semestre, t. GIl, pp. 422-425), puis dans les BuUeiins de l'Académie de Belgique (1886^ troisième série, t. XI, p. 293-307). Mais cette expression est contenue implicitement dans une formule plus générale, publiée par M. Markoff, en 1885, dans les Malhemaliseke Annalen, t. XXV, pp. 427-429 et, en 1884, dans un livre imprimé à St. Pétersbourg, en langue russe (Voir PossÉ,/S'^r quelques applications des fractions continues, St. Pétersbourg, 1886; p. 78).
(95S) Développement de log {tang ^ Q. Supposons (0 et u positifs, inférieurs à tt et égaux à ^, dans les séries donnant log (2 cos ^ o)), et log (2 sin I u), puis ajoutons les deux séries obtenues. Il viendra
4 1 /* t 4\ cos ^ , cos 3/ , cos W , . A ^ i ^ — |log(tangiO = -i — I ô — I E — hôte. 0<^<7r.
(96t) *[III, l"" lire mod Un au lieu de «.] (964). Ce numéro a été oahlié.
(967) «[Ligne 10, lire iain2(ù].
(960) Les singalarités que présentent les deux exemples traités ici, quand d^u => 0, sont susceptibles d'une interprétation géométrique intéressante, quand on regarde x, y, u comme les coordonnées des points d'une surface. Ainsi, dans le second exemple, u pouvant s'écrire sous la forme (y* — x) (y* — 3a?), Tintersection, par le plan « =t 0, de la surface u = (y^ — x) (y* — 3 x), donne les paraboles y* — a? = 0, ys — Sx^ 0. Pour tout point de la surface dont la projection sur le plan des xy est située entre ces deux paraboles, par exemple pour ceux qui appartiennent à la parabole y* = 2x, on a y* — x positif, y* — 3x négatif, u négatif; pour ceux qui sont projetés à Tintérieur de la parabole y* — â^, ou à Textérieur de la parabole y* — 3â7, « est positif, parce que les binômes y* — x,y^ — Zx sont tous deux négatifs, ou tous deux positifs.
Il est difficile dlndiquer, d'une manière générale, comment il faut discuter la valeur de au, dans le cas où d^u peut s'annuler pour des valeurs non nulles des accroissements àx, Ay, Ai?, etc. Souvent, il sera avantageux d'égaler à un nouvel infiniment petit e, l'expression en AiP, Ay, A^, etc. dont l'annulation entraine celle de d*u, et d'éliminer, au moyen de la relation ainsi obtenue, l'une des quantités Aâ?, Ay, A^, etc. On étudiera ensuite la valeur de Ai^, exprimée au moyen de £ et des accroissements des variables non éliminés.
