PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L'ANALYSE INFINITÉSIMALE

I. Dérivées. (96) Quand nous parlons ici d'une fonction F ajant deux (ou plusieurs) dérivées, nous entendons par là que Aâ? peut tendre vers zéro de deux (ou plusieurs) manières déterminées et que (AF : Ax) a une limite pour chacun de ces modes de décroissement indéfini. Mais, absolument parlant, une fonction qui a deux dérivées, dans ce sens, n*a pas de dérivée déterminée y dans le sens strict de la définition du n^ 94; en effet, dans celle-ci, ù^x varie d'une manière quelconque^ pourvu que lim tix = 0. Au n" 275, III, 4», voir encore un exemple d'une courbe ayant au point (â? = 0, y = 0) une tangente différente à gauche et à droite de ce point. Au n^ 316, à la fin, on trouve une fonction, y =sa?sin(a?-['^'^*)» ^'*y*^* pourâ?=0, aucune dérivée déterminée. Au n" 315, nous faisons connaître une fonction continue n* ayant de dérivée déterminée four aucune valeur de x.

(9§) Dans la démonstration, on suppose x constant. Le théorème est vrai encore, même pour x variable, si la fonction F'x est continue et, par suite, équicontinue (Notes complémentaires, (93)), pour toutes les valeurs de x considérées. Mais pour démontrer le théorème dans ce cas, on doit recourir au théorème du n® 105 ou 206. On a, en effet,

AF ^xF'{x + Q^x) ^ . F'(x + BAx)-'F'x ^ e

D'après l'hjpothèse de l'équiconlinuité de F'x, lim e=sO, pour Ax=iO, même si x est variable.

(lOd) Dans le cas où F'a est infinie, la démonstration doit être légèrement modifiée. Soit, pour fixer les idées, lim [(Fâ?t — Fw) : {xt — x)] = lim [(Ffl?i — Fx) : {Xt — a?)] = -[-<» . Cela signifie (19, 295) que Ton a

Xt — X Xi — X

Fxt — Fx Fa?, — Fx

t\ et £i étant des quantités positives ajant pour limite zéro. Si Ton a â?fl > â? > â?i, on a aussi Fâ?t > Fâ; > Fâ?i. On déduit donc des relations précédentes

x% — x = z% {Fxt — Fx)i û? — a?4 = ei (Fa? — Fa?i),

x% — Xi = et (Pa?i — Fx) + ei (Fa? — Fa?i),

Xt — a?i Fa?i — Fa? Fa? — Fa?i

Fa?i— Fa?i Fa?t — Fa?, Fa?« — Fa?,

A cause des inégalités a?t > â?i, Fa?f > Fa? > Fa?,, le premier membre est positif et il en est de même des coefficients de e, et z% ; de plus, ces coefficients sont inférieurs à Tunité. On aura donc

,. a?s — a?i -, ,. Fa?ji — Fa?,

ra?t — rXi Xt — Xi

(10a-1«5) Autre démonstration, n~ 206-207.

IL latéfrales. (t06-1Oft) La démonstration 8*appuie implicitement sur réquicontinuité de la fonction, comme nous l'ayons dit, n^ 312.

(lll) *[Ligne 3, au lien de e(mtinuef lisez équieotUinue]. La démonstration du théorème énoncé ici se fait absolument comme celle du théorème analogue pour la limite d'une somme simple. Une limite de somme double (ou triple) peut s'exprimer au moyen d'une limite de somme simple, comme nous allons le montrer dans un cas particulier auquel on peut ramener les autres. Soit à évaluer le volume Y compris entre deux plans a? ss a?09 â? = X, perpendiculaires à l'axe des a?, ou parallèles au plan des |f2, le plan des a?^ et un cylindre y = 9a?, parallèle à l'axe des i^, ou perpendiculaire au plan des a?y, le plan des xp et la surfaibe ^ =/(â?, y). Nous supposons la fonction cpa? continue, positive et croissante de a?o à X, la fonction /(a?, y) équicontinue (Notes complâmentairbs (93, Rem. II)), positive et inférieure à M, pour toutes les valeurs de a? et de y considérées. Décomposons le volume en tranches AY comprises entre des plans perpendiculaires à l'axe des a? et distants entre eux de Aa?. Soit u l'aire de la

section da volume faite par le plan parallèle au plan des yz mené à la distance x. Comparons le volume ubkX du cylindre construit sur u comme base avec Aa? pour hauteur à la tranche AV de même hauteur. Le cylindre u^ se projette sur le plan des xy suivant un rectangle ABCD ayant pour base Tordonnée BA. = q?a? de la courbe y = (fx^ pour hauteur BC = Aâ;; la tranche AV, suivant un trapèze curviligne ABCË ayant pour côtés les ordonnées BA. = cpa?, CE = tp (a? + Aâ?), la hauteur BC = Aa? et l'arc AE de la courbe. Appelons AiV la partie de la tranche AV projetée suivant ABCD, AtV celle qui est projetée suivant ADE. Evidemment AsY est inférieur au prisme M. (ADE), de base ADE, de hauteur M. La somme de tous les prismes analogues à M,(ADE), égale au produit de la somme de toutes les aires analogues à ADE par M, a pour limite zéro, pour Aâ; = 0; car il en est ainsi de la somme de toutes les aires ADE (106-108) ; donc aussi lim SA4V = 0. Par conséquent, V = lim SAV = lim SAiY. Décomposons maintenant ABCD, base de AiY et du cylindre uùix^ en parties Aâ?Ay par des parallèles à Taxe des x distantes entre elles de Ay, et soient 9i, v les parties de AY et de uùkX projetées suivant ^xAy,/m et/, la valeur minima et la valeur maxima de la fonction /, pour les points correspondant aux points du rectangle AxAy. On aura v et Vi supérieurs à fm^xd^y, inférieurs à /. AicAy. Par suite, les deux sommes BuAx, SAiY sont comprises entre S/mAa?Ay, S/«Aa?Ay. Or, la diflférencc de celles-ci, S(/«— /«)A2?Ay, est inférieure à la somme de tous les Aâ?Ay, multipliée par la plus grande A.0 des différences /« — /« et, à fortiori, au produit U.-A.^, si U est la projection de Y sur le plan des xy. Puisque / est une f<Hiction équicontinue, lim A. 2^ = 0, pour Aâ?sO, Ay = 0. Il en est donc de même de limS(/M — fm)i^(cAy et de la quantité moindre, en valeur absolue, (Suiix — SA, Y). Donc enfin, Y = lim SAY = lim SA|Y = limSi»AjV.

(114) InUgraiUm par parties. On a d{uv) = %dv + vdu, uif> *=» d{uv) — vdu, ^udv = ^d{uv) — ^vduy et, puisque (112) Jrf(w) = i#i?, fudv t=i$v — ]vdu, formule implicitement employée au n<* 248 (Lemme I, et démonstration de la formule de Gauss).

Intégration par substitution. Soit â? ^=3 cp^ une fonction de t toujours croissante ou décroissante (197) de ^0 à T s» tint continue ainsi que sa dérivée, de manière que Ton puisse y appliquer le théorème de Lagrange (105 ou 206). Soient to, tu té, •••9 tfn^tf ttn^ T, des valeurs croissantes

de /, et â?o,«t,a?4,»..iû?t»i = X, les valeurs correspondantes de a?. On aura Xt — Xq = {h — to)(f'ii , â?4 — a?t = (<4 — U) 9'^3, . . . ,

flJln-t a?t»^4 = {hn-t ^«••-4) q^'/tn-S , X fl?!» -î = (T — ttn^i) (f'ttn^i ,

/i, fc, .••> i^tii-i étant des valeurs de intermédiaires respectivement entre to et <i, ^1 et ^4, ..., Un^% et T. Appelons Xi, Xz, ..., a?,H i les valeurs correspondantes de x» Puisque x = (^t est une fonction croissante ou décroissante de Xo à X, Xi sera aussi intermédiaire entre Xo et â^t, â^s entre Xt et â?4, etc. Soit Fx une fonction susceptible d'intégration de Xo à X (108, 114), et F((pt) (p7 =ft. On aura identiquement

SFxàa = (a?i — «0) Pfl?i + («?4— «f) FajsH 1- (X — a?t«^t) Ffl^tn-i =

et, à la limite,

( Fxix = ( ftdt.

JX9 ho

Cette formule a été implicitement employée dans des cas simples, où âkx = A^ n** 238. On peut étendre la formule que nous venons de démontrer au cas où la fonction (ft est tantôt croissante, tantôt décroissante un nombre uni de fois. Si par exemple, (pt croit de to à a, décroit de a à }, croit de i à T et si Xo^ A, B, X sont les valeurs correspondantes de Xj on aura

lim S Fa? Aa? = lîmSft M, lim S Fa? Aa? = lim S// Ai,

lim S Fa? Aa? = lim S/< AL

et, en ajoutant,

\ Fxdx + \ Fxix + \ Fxdx = \ fiit.

ho Ja Jb J/o

On peut écrire^ au lieu du premier membre de cette é,

égalité \Fxix,

JWo

pourvu que Ton se rappelle que x passe de a?o à X, en croissant d'abord de a?o à A, décroissant ensuite de A à B, croissant enfin de B à X,

Intigtah double (triple). L'aire • et le volame Y du n* 111 sont exprimés respectivement par les formules

^=\f{sf,p)dy, Y = \udx=\dx\f{x,y)djf.

Dans la première, x est constant; dans la deuxième, elle est la seule variable, u ne contenant plus y, après Tintégration définie indiquée dans la première; la troisième se déduit de la seconde, en y remplaçant u par sa valeur tirée de la première. La dernière expression trouvée est une intégrale double^ dont le sens est indiqué par cette substitution même. On a évidemment, en regardant x et y comme constants, pendant Tintégration par rapport à s^ (112, 114),

\& = «, l rf« = /(«,y).

Donc, en substituant cette valeur de f {x^ y) dans la seconde expression de V,

rx Çfx rfix^p) Y=\dx\dy\ dz,

intégrale triple.

(116) *[Ligne 2. Ajoutez dx sous le signe d'intégration].

III. Série». (1 17-1 SO) Voir Appbndigb, chapitre YIll, CampUmnUs de la théorie des séries.

(1 90) Voici un exemple élémentaire, déduit de celui du texte, où, en faisant la somme, terme à terme, d'une infinité de séries convergentes, on trouve un résultat absurde. En lyoutant la progression indéfinie f + ^ -{- etc., à la première série du n*" 120, puis en retranchant 4, on trouve

^ + L2'^Vr2~2+2/"''V2:3"^4J"^\âÛ+

En ajoutant la progression indéfinie | + i + ^^m ^ ^& deuxième série du n® 120, puis en retranchant |, on obtient la relation

Ajoutons la progression indéfinie i + î^-|*etc., à la troisième série du n® 120, puis retranchons-en j; il viendra

i+A=§+Ï6+(3:4-4+^)+(43+64)+(à+ïl8)+''*'-

En continuant de même, on obtient des séries en nombre indéfini, toutes convergentes, analogues aux précédentes, savoir :

è+0=^+64+Ï28+256 + (5:6-B+5Ï2)+^*°"***'-'**^' La somme des premiers membres de ces séries en nombre indéfini,

('+r5)+(l+£3)+(î+3^)+(l+4-6)+(fe+Ô)+"«-

est (11*7), 2 -f- 1 = 3. D'autre part, la somme des premiers termes de ces séries se réduit à celle de la progression ^ + ; + etc., ou 1 ; la somme des seconds, à celle de la progression j-t-^ + etc., ou |; et ainsi de suite. La somme des séries considérées, en supposant qu'on puisse les ajouter terme à terme, comme des polynômes, serait

On trouve donc le résultat absurde, 3 «= 2, en étendant à un nombre infini de séries convergentes, le principe démontré au n"" 119, pour un nombre fini de ces séries.

Rbbiarqub. Par un raisonnement analogue à celui du n^ 124, on peut démontrer qu'on peut ajouter terme à terme, comme des polynômes, un nombre infini de séries convergentes, pourvu que la somme des séries des valeurs absolues des termes de ces séries convergentes, soit aussi convergente.

(191) On appelle maintenant série absolument convergente (en allemand unbedingt convergent) une série dont les termes pris en valeur absolue, ou dont les modules des termes, forment une série convergente. Jordan [Cours d'analyse, I, p. 111) appelle série semi-convergente (terme équivalent à hedingt convergent, en allemand), toute série convergente qui n'est pas absolument convergente. Autrefois, on a donné ce nom de série semiconvergente à une série divergente ou indéterminée, où la somme des n premiers termes représentait une quantité déterminée avec une approxi-

mation de plus en plos grande, lonqne « croissait sans dépasser une certaine limite.

(l«t) Voir une application de ce théorème, note da n* 316.

Rbmarqxœs. I. On peut évidemment opérer sur une série absolument convergente, comme sur la série S; la nouvelle série obtenue sera encore convergente.