DE L’IMPRIMERIE ROYALE

cils c»e%4us jemetu^*/

L expérience de renseignement m’a prouvé qu’on peut simplifier encore sur plusieurs points l’élude de l'analyse. D’autre part des recherches approfondies sur différentes branches des sciences mathématiques m’ont conduit à des résultats nouveaux et à de nouvelles méthodes qui fournissent la solution d’un grand nombre de questions diverses. Déjà quelques unes de ces méthodes se trouvent indiquées dans des notes que renferme le bulletin des sciences , et présentées avec plus d’étendue dans les deux mémoires litographiés eu i83i et i83a. En attendant que je puisse donner à ces matières de plus amples développements par la publication de traités spéciaux ou la reprise des Exercices de mathématiques; j’ai pensé qu’une série d’articles destinés à offrir le résumé des théories les plus importantes de l’analyse , soit anciennes soit nouvelles , particulièrement des théories qu’embrasse l’analyse algébrique , et des méthodes qui en rendent l’exposition plus facile, pourrait intéresser les géomètres et ceux qui s’adonnent à la culture des sciences. Tel est le but que je me propose dans le présent ouvrage qui paraîtra par cahiers à des époques plus ou moins rapprochées les unes des autres, suivant le plus ou moins de temps que les circonstances me permettront d’y consacrer.

§ i Sur Us nombres figurés.

Désignons par (m)„ le nombre des produits qu’on peut former avec m lettres a, b, c combinées n h n. Parmi ces produits, le nombre de ceux qui renfermeront la lettre a sera évidemment

et le nombre de ceux qui renfermeront seulement les m — i autres lettres b, c, etc. ... sera

On aura donc

(') (m)„ sr (m — i )■ -t- (m —

De plus, si l’on forme i.» le« produits qui renferment la lettre a, et dont le nombre est (m — i),.,; a." les produits qui renferment la lettre b, et dont le nombre est encore (m — i )*, , etc. ... on obtiendra en tout

produits. Mais en opérant de cette manière on obtiendra n fois chaque produit. Car , si n = 3 par exemple , le produit abc sera compris et parmi ceux qui renferment la lettre a, et parmi ceux qui renferment la lettre b, et parmi ceux qui renferment la lettre c. Donc

Observons enfin qu'on aura évidemment

et qu’à chaque produit formé avec n lettres prises dans la suite a , b, c ... , correspond un seul produit formé avec les m— n lettres restantes -, d'où il suit qu'on trouvera généralement

jpaicra pSo« .-n-j

Si au nombre m , qui doit toujours être égal ou supérieur à n, on attribue successivement les valeurs

l’expression (m) n engendrera la suite des nombres

{n)„=i, (n + i), = («+i), = ri + i, (n-t-a),, (n-s-3),,, etc.

qu'on appelle les nombres fgurés de l’ordre n . Ceux du premier ordre seront , en vertu de la formule (3) , les nombres naturels

et généralement ceux du premier, du second , du troisième ordre , etc. composeront la

seconde, la troisième, la quatrième lignes horizontales du triangle arithmétique de

Pascal , savoir ,

1 J Ij ï 9 * J * » l j I ••••• I y •••••

», (4)»> (5)*» (6)s, (7ÎJ> (8)i»

to ,