IO

Dans ce tableau , les termes de la première suite sont tous égaux à l’unité. De plus , le premier terme de chaque nouvelle suite , équivalent lui même 1 > l’unité , est avancé d’un rang vers la droite par rapport au premier terme de la suite précédente, et chaque nouveau terme d’une suite quelconque est, en vertu de la formule (■), la somme qu’on obtient lorsqu’on ajoute au terme précédent de la même suite le nombre qui se trouve

immédiatement au-dessus. 11 en résulte que le n mt terme de la suite des nombres figurés de l’ordre m -+■ i est la somme des n premiers nombres figurés de l’ordre m. On a donc

Au reste la formule (5) peut-être déduite immédiatement de la formule (i).

De la formule (a) on tire successivement

( m)„ = — ( m — i )*., , (m— i = , etc.

et par suite ( 6 ) ou

Cela posé , la formule (5) donnera

, m , (m -t- i) (jn -t- a) »(n + i).„(n + m-i)»(n+i)~.(» + m)

Inj i ■+■ im -4- i) s ; —

Ainsi , en particulier (9)

(io)

etc.

En vertu de l’équation ( 9 ), les sommes des n premiers termes des progressions arithmétiques

a , a b , a ■+• aé a ( n — 1 ) b ,

seront respectivement

(ta) o •+■ i ■+• a -t- ... -t- ( n — i ) = — !

Ct

(i3) n« + [i +2 + .. + (n— i)] bz=na -+- — ."7 “ } \ b ts n^a -+- .^*~**n b) .

Le second membre de la formule (la) ou (i3) est le produit de n par la demi-somme du premier et du dernier terme de la progression que l’on considère.

Si l’on indique la somme des n premiers termes d’une suite par la lettre S placée devant le n e terme, les équations (g), (io), (n) pourront s’écrire comme il suit:

S(n)=üHi U,

ç /n (n -+-J )(n-va)\n(n-+-i)(n-+-a)(/i-4-3)

etc.

et l'on en conclura

S{n)=^ÎLL ) ,

cr , w n (n ■+• 1 ) (n -+• a ) { n 3 )

S[n ( n ■+■ O(n-f-a)] =-l Ll__ Li 1 f

etc.

Si des boulets de même diamètre sont distribués, dans plusieurs couches superposées, de manière à figurer une pyramide triangulaire , et dans chaque couche , sur plusieurs files parallèles, de manière à figurer un triangle équilatéral, le nombre des boulets compris dans une couche triangulaire, ou dans la pyramide, se trouvera déterminé par la formule (g) ou ( 10 ), ct sera ce qu’on nomme un nombre triangulaire ou un nombre pyramidal. Donc les nombres triangulaires ct pyramidaux se confondent avec les nombres figurés du second ct du troisième ordre.

§. a. Développement du produit de plusieurs binômes, ou d’une puissante entière et positive de l'un d’entre eux ; théorème de Fermât sur les nombres premiers.

Considérons m binômes différents, de la forme

En les multipliant l’un par l'autre, on aura

(i) (x •*- à)(x -*■ b)(x + c) ..=x m + {a b c +■ ..)x mm ' -h(ab-t-ac

De plus , en posant on trouvera

a ■+■ b -h c ... = ma — ( m ), a ,

bc ..)**•> abc

ab ■+• ac ■+•... bc .. — (m), a* ,

etc.

abc = a".

Donc par suite

(a) ( x a )" sr x m (m), ax"-‘ ■+• (m), a» x m — -t- x".

Dans le second membre de l’équation (a), les coefficients des diverses puissances de x et de a, savoir,

sont précisément les nombres qui composent la (m •+• i)"« colonne verticale du triangle arithmétique de Pascal, et le coefficient de

a”’*" x" ou de a"x*** est

ou, en vertu de 1a formule (7) du § 1 ,

On peut s’assurer que les fractions contenues dans les deux membres de la formule ( 5 ) sont égales en les réduisant au même dénominateur.

Si l’on pose successivement

m = a , m = 3 , m = 4 j m = 5 , etc

on trouvera, en prenant pour coefficients les divers termes des colonnes verticales du triangle arithmétique ,

( x a )* = x* -s- a ax -4- a* ,

( x ■+■ a ) 3 = x 5 ■+■ 3 ax’ -s- 3®>x -s- a’ ,

( x a )s = x' -+- 4 nx 3 ■+■ 6a*x* ■+■ 4« J .r *♦• a* ,

(x •+■ a) 5 = x 5 5 ax* ioa*x 5 h- ioa 3 x* - s- 5 u'x -«-a 5 ,

etc.

Lorsque , dans la formule (a) , on pose a = i , elle donne (6) ( x ■+• i )" = x" ■+■ (m), x m "‘ ■+• ( m ), x"' 1 -s- ... -t- i .

Si l’on fait de plus x = i , on trouvera

Donc les divers coefficients, dont le nombre est m •*- i , fournissent une somme égale à a”. Lorsque m est un nombre premier, tous les termes de la suite contenue dans le second membre de la formule (7) sont, à l’exception du premier et du dernier, des muk tiplcs de m. Donc alors a”*, divisé par m, donne a pour reste. Dans le même cas, n étant un nombre entier quelconque ,

divisé par m , donne, en vertu de la formule (6), le même reste que n" 1 , et par suite

donne le même reste que

Donc a"* — a étant divisible par m , on pourra en dire autant de 3 " «— 3 , puis de 4” — 4> de. ••• et généralement de

rt m l — n =s n(n m ~ 1 —J ) .

Donc, sï n n’est pas divisible par le nombre premier m, rt m ~‘ divisé par m donnera l’unité .pour reste; ce qui constitue le théorème de Fermât sur les nombres premiers.

Lorsque dans l'équation ( i ) on remplace fl, b, c, ... par — fl, — 6, — c , ... on en tire

les valeurs de A , , y/. , ... //,„ étant

A t = ab ac ... -t - bc

etc.

A„ = { — 1 ) m abc ... = ± abc

§ 3. Z7cî variables et des fonctions en général; et en particidier des fondions entières d’une seule variable. Relations qui existent entre les coefficients des puissances entières et positives d'un binôme.

On nomme quantité variable celle que l’on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres. On appelle au contraire quantité constante toute quantité qui reçoit une valeur fixe et déterminée. Lorsque les valeurs successivement attribuées b une même variable s’approchent indéfiniment d'une valeur s fixe , de manière à finir par en différer aussi peu que l’on voudra , cette dernière est appcllée la limite de toutes les autres. Ainsi par exemple, la surface du cercle est la limite vers laquelle convergent les surfaces des polygones réguliers inscrits, tandisque le nombre de leur cotés croit de plus en plus , etc. ...

Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable décroissent indéfiniment de manière à s’abaisser au-dessous de tout nombre donné, cette variable devient ce qu’on nomme un infiniment petit , ou une quantité iiifiniment petite. Une variable de cette espèce a zéro pour limite.

Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable croissent de plus en •

plus , de manière à s’élever au-dessus de tout nombre donné , on dit que cette variable a pour limite Y infini positif , indiqué par le signe » , s’il s'agit d'une variable positive , et Y infini négatif indiqué par la notation — » , s’il s’agit d'une variable négative.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que , la valeur de 1 une d’elles étant donnée , on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres , on conçoit

( Il )

d’ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l’une d'entre elles qui prend alors le nom de variable indépendante , et les autres quantités , exprimées au moyen de la variable indépendante , sont ce qu’on appelle des fondions dé cette variable.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que , les valeurs de quelques-unes d’entre elles étant données , on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on conçoit ces diverses quantités exprimées au moyen de plusieurs d’entre elles qui prennent alors le nom de variables indépendantes , et les quantités restantes , exprimées au moyen des variables indépendantes , sont ce qu’on appelle des fonctions de ces mêmes variables.

Les diverses expressions que fournissent l'algèbre , et la trigonométrie , lorsqu’elles renferment des variables considérées comme indépendantes , sont autant de fonctions de ces mêmes variables. Ainsi , par exemple

ax , x m , A 1 , L( x) ,

sont des fonctions de la variable x ;

x -s- y , xr , xyz ,

sont des fonctions des variables ou r,y et

Lorsque des fonctions d’une ou de plusieurs variables se trouvent , comme dans les exemples précédents , immédiatement exprimées au moyen de ces mêmes variables, elles sont nommées fonctions explicites. Mais lorsqu'on donne seulement les relations entre les fonctions et les variables, c'est-à-dire les équations auxquelles ces quantités doivent satisfaire , tant que ces équations ne sont pas résolues algébriquement, les fonctions, n’étant pas exprimées immédiatement au moyen des variables, sont appcllées fondions implicites. Pour les rendre explicites , il suffit de résoudre , lorsque cela se peut , les équations qui les * déterminent. Par exemple , y étant une fonction implicite de x déterminée par l'équation

si l’on nomme A la base du système de logarithmes que l’on considère , la même fonction devenue explicite par la résolution de l’équation donnée sera

Soit maintenant y une fonction de x , qui , pour chaque valeur de x intermédiaire entre deux limites données, admette constamment une valeur unique et finie. La fonction y sera continue par rapport à x entre les limites donne.es, si entre ces limites un accroissement infiniment petit de la variable x produit toujours un accroissement infiniment petit

Je La fonction elle-même. Oh dit encore que la fonction .y est, dans le voisinage d’une valeur particulière attribuée à la variable x, fonction continue de cette variable , toutes les fois qu’elle est continue entre deux limites de x, même très -rapprochée s , qui renferment la valeur dont il s’agit.

Enfin , lorsqu’une fonction cesse d’être continue dans le voisinage d'une valeur particulière de la variable x , on dit qu’elle devient alors discontinue, et qu’il y a, pour cette valeur particulière , solution de continuité.

D’après ces définitions, A étant un nombre et a une quantité constante, chacune des fonctions

a -t- x , a — x , ax , — , x A* , L ( x )

sera continue dans le voisinage d’une valeur finie attribuée à la variable x, si cette valeur se trouve comprise , pour les fonctions

a -r- x, a — x, ax, A e ,

entre les limites x = — oc , x = » ; pour la fonction

entre les limites x = — • » , x = o , ou bien entre les limites x — o , X = æ ; enfin pour Les fondions

entre les limites x = o , x = <*> . La fonction devient discontinue pour x = o .

Il semble qu’on devrait nommer fonctions algébriques toutes celles que fournissent les opérations de l’algèbre. Mais on a réservé particulièrement ce nom à celles que l’on forme en n’employant que les premiers opérations algébriques , savoir , l’addition et la soustraction, la multiplication et la division, enfin l’élévation à des puissances fixes-, et, dès qu’une fonction renferme des exposants variables ou des logarithmes, elle prend le nom de fonction exponentielle ou logarithmique.

Les fonctions que l’on nomme algébriques se divisent en fonctions rationnelles et fonctions irrationnelles. Les fonctions rationnelles sont celles dans lesquelles la variable ne se trouve élevée qu’à des puissances entières. On appelle en particulier fonction entière tout polynôme qui ne renferme que des puissances entières de la variable et fonction fractionnaire ou fraction rationnelle le quotient de deux semblables polynômes. Le degré d'une fonction entière est l’exposant de la plus haute puissance de x dans cette même fonction. La fonction entière du premier degré s’appelle aussi fonction linéaire , parccque

dans l'application à la géométrie on s’en sert pour représenter l’ordonnée d’une ligne droite. Toute fonction entière ou fractionnaire est par cela même rationnelle, et toute autre espèce de fonctions algébriques est irrationnelle.

Les définitions précédentes étant admises , considérons une fonction entière de x du degré m, c'est-à-dire un polynôme de la forme

Si, dans ce polynôme, on pose x=a-b z, il se changera en une fonction entière dez, ' de sorte qu’on aura , quel que soit z ,

AoX™ A, x m ~‘ A, x m ~* A m . , x A m

— C a Z m + C, Z m ~ ' •+■ C% Z m ” 1 + + Cm .i! + Cm ,

et par conséquent, quel que soit x ,

i A„ x m -+• A, x n ~ ' Ai x m + 4.,r ■+■ A m

le coefficient C„ étant précisément égal & A „ . Donc , tout polynôme ordonné , suivant les puissances descendantes et entières de x peut être transformé en un autre polynôme ordonné suivant les puissances descendantes et entières de x — a .

Lorsque le polynôme ( i ) est algébriquement divisible par un facteur du premier degré et de la forme x— a , c’est-à-dire lorsqu’on a

P = Ao X m -b A, X"' - 1 •+- ... Am-, X -b A m = ( X <2 ) Q ,

Q désignant une nouvelle fonction entière du degré m — 1 , il est clair que ce polvnome s’évanouit pour x — a -, en d’autres termes x = a est une racine de l'équation

Réciproquement, lorsque a est une racine de l'équation (3), C m se réduit nécessairement à zéro dans le second membre de la formule (a) , et cette formule donne

! A„X m -b A, X m " 1 -b ... -b Am-, X -b Am

= (x — a) [C q (x — «)"*-> -b C, ( x — a )**“» -b ... -b C m -, ] ; donc alors le polvnome (i) est divisible par x — a , ou de la forme (5) P = ( x - a ) Q .

Si b désigne une seconde racine de l’équation (3), b étant différent de a , alors en posant x— b on fera évanouir le produit P = (x—a)Q et par conséquent le polynôme Q, puisque x — a ne s’évanouira pas pour x se b. On aura donc encore

et par suite

Q={x-b)R, Ps(x — a)(x~b)R,

R désignant un polynôme du degré m—i, etc. ... En continuant ainsi on prouvera que, si l’équation (3) admet m racines distinctes

le polynôme P sera le produit des facteurs

par une fonction entière du degré xéro, c'est-à-dire par un coefficient constant qui ne pourra différer de //„ ; en sorte qu’on aura

( 6 ) PssA 0 (x — a ) (x — b ) (x — c ) .....

Donc alors l’équation (3) pourra- être présenté^ sous la forme

Le premier membre de l’équation ( 7 ) ne pouvant s’évanouir qu’avec l’un des facteurs x—a, x — b, x—c,

il en résulte que l’équation (3) du degré m ne saurait admettre plus de m racines distinctes. Soit maintenant

une nouvelle fonction entière de x d’un degré ou égal ou inférieur à m , B 0 pouvant être nul. Si cette nouvelle fonction devient égale à la première pour plus de m valeurs distinctes de x, on aura nécessairement

Bq — A 0 y B t “ A, y ..... B m — A m • (

Car dans le cas contraire, la différence entre les fonctions (t) et ( 8 ) se réduisant à zéro, pour plus de m valeurs distinctes de x, l’équation

{Aq — Bq) x m ■+• (A,— B, ) x**-< ..... •+■ A m .y — B„-, = o

Ki ait une équation du degré m qui admettrait plus de m racines ; ee qui est absurde» On peut doue énoncer la proposition suivante.

i." Théorème. Si deux fonctions entières de la variable x deviennent égales pour un nombre de valeurs de cette variable supérieur au degré de chacune de ces fonctions , les coefficients des puissances semblables de x seront les mêmes dans les deux fonctions dont il s’agit. •

Ou en déduit comme corollaires ces autres théorèmes.

a.* Théorème. Dans deux fonctions entières de x , les coefficients des puissances semblables de x sont les mêmes , lorsque ces deux fonctions sont égales , quel que soit x.

3 . c Théorème. Dans deux fonctions entières de x , les coefficients des puissances semblables de x sont les mêmes , lorsque ces fonctions deviennent égales pour toutes les valeurs entières de la variable x, ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

4 -* Théorème. Dans deux fonctions entières de plusieurs variables x , y , z , les

coefficients des produits des puissances semblables de x, y, z, sont Us mêmes, lorsque

ccs fonctions deviennent égales pour des valeurs quelconques des variables.

5 .® Théorème. Si deux fonctions entières de plusieurs variables x, y, z, ..... deviennent

ègaUs pour des vatiurs entières quelconques de x, y , z , ou même pour toutes les

valeurs entières qui surpassent des limites données , Us produits des puissances scmblabUs

de x , y , z, offriront Us mêmes coefficients dans ces deux fonctions qui par suite

seront identiquement égaUs , quelles que soUnt Us vaUurs attribuées à x , y , z ,

Pour montrer une application de ces théorèmes , multiplions l’une par l’autre les deux fonctions entières

k , l étant deux nombres entiers quelconques. On trouvera pour produit, en faisant, pour abréger, k l = n ,

(9) ( 1 •+• x )" as 1 -t- A, x -*■ x' ..... -*■ X* ,

le coefficient de .t” étant, dans le second membre de la formule (9) ,

( I o) A m = \k)m “*■ ( k )m - , (/)> ■+■ {k)m -% (0. ■*“ [k)i [l)rn - 1 (i )m .

L’aillcurs on aura encore

te coefficient de x m , dan» le second membre de la formule (it)» étant

et pni»<{u'en vertu du théorème a , les coefficients de x m dans les seconds membres des formules (g} et ( 1 1 ) devront être égaux entre eux, on aura nécessairement

ou , ce qui revient au même ,

k(k — r)..(A — m -t- 1 ) A(A— s).,(A — m -t-a) l k(k — i)..(A— ni -r-3) /(/ — r)

t . a ... m i . a ... (ni — i) . i i.a... (m — 3) i .a

^ A(A— i) /(/-—!)..(/— nt-*-3) A ((f— 1 )..(/— m -r-a) ^f(f— i)..(f— nt-*-i) r . a r . a ... (m — a) i i . a ... (m — i) i . a ... n»

Enfin , cette dernière formule, devant subsister pour toutes les valeurs entières de k et de l qui surpassent le nombre m , continuera de subsister, en vertu du théorème 5, quand on y remplacera les nombres entiers k , l par des quantités quelconques x , y. On aura donc , quels que soient x et y

ar(ar — Q..(x — m-r-r) ^ x(x — i)..(.r — m -r-a) y | x(x — i)..(x — m+$)y{y — i) i . a ... ns r . a ... (ns— • i) i r . a ... (ns — 3) r . a

, x(x — i)y[y— nt-s-3) f x y{y— m -t-a) ^ y (y — t)..(y — wi-r-i)

Si, dans la formule (i4)> on remplace x par —x et y par — y , ou bien encore y par — y , sans remplacer en meme temps x par — x , on obtiendra les suivantes

| 3 ),. J J '(y-*-t)~(yt-m—ï ) t y{y-*-i)..{y+m— i )

i . a 1 . a. ..(//» — i) t -t . a ... (ro — i) » . a ... ns

I ,2 ni

^ + a) ^ ^Çy-n )»(r a >

Si maintenant on pose , dans la formule ( 1 6 ) , x — m, elle donnera

'-my+— — etc -

m(m— 0 Ky-0-C r-*- w — 3) - J-Cr-f Q..(r-»-m— a) + y[y+\)..<jr+m — ;0 i.a i.a... (»*-— a) i . a ... (m — i ) « . a ... m

puis on conclura de cette dernière i.° en prenant pour y un nombre entier n qui fasse partie de la suite I , a , 3 , m ,

1 ■— Ttl (fl)i — (« -+- I J»

ou , ce qui revient au même ,

a. 0 en posant y—m ■+■ i ,

(ao) {

, , m (ni — i) . . .

: m — ( 2m — 2 ) m - m (a m — ± (an»)<n — *

§. 4- Résolution de plusieurs équations simultanées du premier degré. Soient données entre n inconnues

n équations du premier degré et de ia forme

a,x b, y •+■ Ci* g, u •+■ h,v ss k, ,

a, x ■+■ b, y •+• c,z - 4 - •+■ g, u h t v ss k, ,

etc

et o j tti f ••• a h — s y b o , fri ) i * — i > etc* • ». h, , &■ ^ ••• . 1 s et ko , k$ y •■> * t j

étant des quantités quelconques. Si l’on combine entre elles, par voie d’addition , les formules (i) respectivement multipliées par les facteurs

on en conclura et par suite

.'l H — I , -I , **••• lf| , ifç ,

Px = .Y ,

pourvu qu'après avoir choisi ces facteurs de manière à vérifier les conditions

etc

, -t- A, go.,

i AçHn —

• -4- Ao-, h, An -, h 0 = o ,

on pose

do a..,

-f* A m ~% ci i A n - , a 0 — P ,

et

4* + Ah » i A‘o — sY«

Considérons en particulier le cas où les équations (i) deviendraient

ax -b by -b cz -b ...... -t- gu -b hv = k ,

aïx •bb'y-b c'z -+• •b g *« •+• Ipv si' ,

c'est-à-dire le cas où les divers coefficients de chaque inconnue seraient , ainsi que les seconds membres des équations données , les différents termes d’une progression géométrique , le premier tenue de chaque progression étant l’unité. Dans ce cas particulier , les conditions (4) réduites aux suivantes

A a fc"* 1 + + /A*-» b + — o |

AoC*“' -b A, c" "* -t- ........ -s- An » c -s- A„ = o ,

etc

Ag*‘ , + Ag"-*+ -t - A-ij + A-,=o,

Aoh”-' ■+■ A,h»-< -+- A n —\h ~b A n -i = Oj

exprimeront seulement que

sont racines de l’équation

Elles seront donc satisfaites , si l’on détermine les facteurs

Aq I Al y ..... An - 1 | An — | | de manière que l’on ait , quel que soit x ,

(io) AqX u ~' -b A,x*-*‘bi..~bAn^ t x~bA n ,=Aq(x— &)<:r— c) ... (x — g) (x — A) , c’est-à-dire , si , après avoir choisi arbitrairement la valeur de <U , on prend

A, JE — A„ {b + e •¥■ ..... + g h) ,

A > as A t (bc ... bg + bh ’+gh) >

| etc. .....

[ A„-, z:±A a bc .... gh .

Alors les équations (5) ,• (6) donneront

et par suite la formule (3) deviendra

S-r- r- . On trouvera de meme

etc.

Ainsi , par exemple , les valeurs de x , y , z propres k résoudre les trois équations

/ ax by ex = A ,

r — (a — b) (a — c) * * ~ {b — c) (6 — o) ’ * ~ (c — a) (c — fc) '

Dans les formules 04) j le dénominateur de la fraction qui représente la valeur d’une

inconnue est le produit de toutes les différences qu’on obtient lorsque du coefficient de

cette inconnue pris dans la seconde des équations ( 7 ) on retranche successivement les coefficients de toutes les autres inconnues. Pour trouver le numérateur de la même fraction il suffit de substituer dans le dénominateur la lettre A au coefficient de l'inconnue que l'on considère.

seront

Si l’on veut réduire nu même dénominateur let fractions qui représentent les valeurs des diverses inconnues , on pourra prendre évidemment pour dénominateur commun le produit des binômes

(17) Ji — a-, c — a,c — b\ h— a, h — b, ... h — g-,

c'est-à-dire le produit de toutes les différences qu’on obtient quand , après avoir disposé les lettres

dans un ordre quelconque , par exemple , dans l’ordre alphabétique , on retranche successivement de chaque lettre toutes celles qui la suivent. Effectivement si l'on choisit A „ de manière que la formule (1a) se réduise à

les équations (i4) pourront s’écrire comme il suit

les quantités X , Y , ... V étant ce que devient le produit P quand on y remplace successivement la lettre A- par chacune des lettres a , b , , h .

Le produit P , déterminé par l’équation (18) , jouit d’une propriété digne de remarque, à l’aide de laquelle on peut établir directement les formules (19). C’est qu’il se change

toujours en — P , quand on échange entre elles deux quelconques des lettres

Alors en effet le binôme qui renferme les deux lettres échangées entre elles , changera évidemment de signe -, et de plus le produit des deux binômes , qui renferment ces deux lettres avec une troisième , se confondant nécessairement soit avec le produit des différences qu'on obtient quand on retranche la troisième lettre des deux premières , soit avec ce dernier produit pris en signe contraire , ne changera ni de valeur ni de signe après l’échange dont il s’agit. Ajoutons que , si l’on développe le produit P , en multipliant les uns par les autres les binômes (17) , le développement ainsi obtenu se composera de divers produits partiels affectés les uns du signe -r- , les autres du signe — , et dans chacun desquels la somme des exposants des lettres

sera équivalente au nombre des binômes (17), c’est-à-dire à

, , , nfit— 1)

(ao) 1 + s + 3 + •* + (s — 1 ) — •

Le premier de ces produits partiels , formé par la multiplication des premiers termes des divers binômes se réduira simplement à

(ai) a°b<C g*~* h*-‘ .

Si l'on suppose en particulier n = a , on trouvera

ou , ce qui revient au même ,

(аа) P ss a» b' — a' b 0 .

Si l'on suppose au contraire n - :3 , on aura

Donc alors , dans chacun des produits partiels que renfermera le développement de P , les exposants des lettres <z , b ou a , b , c seront respectivement égaux aux deux ou trois premiers termes de la suite des nombres naturels

(» 4 ) o , 1 , a , 3 , etc

et tous ces produits partiels se déduiront les uns des autres par des échanges opérés entre les exposants dont il s'agit. Or on peut affirmer qu’il en sera généralement ainsi, et que tous les produits partiels dont se composera le développement de P seront semblables au produit (11), et se déduiront de celui-ci par de simples échanges opérés entre les indices

Effectivement soit

(a 5 ) aPbiC ..... g’ h‘

l'un quelconque des produits partiels, de ceux, par exemple, qui sont affectés du signe -t-, en sorte qu'on ait

(аб) ' PzzaPbic g‘h‘ •+■ etc.

On tirera de la formule (a6) , en échangeant entre elles les deux lettres a et b ,

— P — al b Pc r ..... g’h< etc.

ou , ce qui revient au même ,

(17) P = — ai bP c r ..... g 1 h 1 — etc

Donc , le développement de P ne peut renfermer un terme affecté du signe ■+• et de la forma

aPbl c r .... g* A'

sans renfermer en même temps un terme affecté du signe — et de la forme

— athée' ..... g' h ' ,

c’est-à-dire, un second terme qui se déduise du premier par un échange opéré entre les exposants des deux lettres a , b , mais qui soit affecté d’un signe contraire. On arriverait encore à une conclusion toute semblable , si le premier terme était l’un de ceux qui sont affectés du signe — . Donc les différents termes, contenus dans le développement de P , étant réunis deux à deux , produiront des expressions de la forme

afbtc r g‘h' — at bpc r ..... g' A'

= {aPbt-—atbP)c r ..... g‘h‘,

P — ( aebt —a.tbp)c r g* A* •+■ etc

Or le binôme (18) s’évanouit toutes les fois que les exposants p , q deviennent égaux. 11 en résulte qu’on verra disparaître , dans le développement de P , tous les termes où deux lettres diverses a , b seraient élevées à la même puissance. Donc , si le produit (a 5 ) est un de ceux qui ne disparaissent pas , les exposants

des différentes lettres y seront tous distincts les uns des autres ; et , comme l’exposant de chaque lettre ne pourra surpasser le nombre de celles des différences

qui la renferment , c’est-à-dire le nombre a — 1 , les exposants %

ne pourront être évidemment que les nombres

D, I, ] »... , rt— I .

en sorte qu’on aura

Donc en définitive dan» le développement de la fonction

(30) Pz=a°b'c* ..... g»-» A»-' — etc.

tous les termes se déduiront du premier par des échanges opérés entre les exposants des différentes lettres , et deux termes , dont l’un se déduira de l'autre par un seul échange opéré entre deux exposants , seront toujours affectés de signes contraires.

Si l'on élève les quantités

à des puissances dont les degrés soient respectivement égaux aux nombres

rangés dans un ordre quelconque , le produit de ces puissances sera toujours l’un des termes affectés du signe ■+■ ou du signe — dans le second membre de la formule (3o). En effet , pour déduire ce produit du premier terme

il suffira d’opérer des échanges successifs i.° entre l’exposant o et celui que portera la lettre a dans le nouveau produit; a. 0 entre l'exposant 1 et celui que portera la lettre b dans le nouvead produit ; etc Cela posé , représentons par la notation

la somme qu’on obtient quand au produit

pris avec le signe , on ajoute tous ceux qu’on peut en déduire à l’aide d’échanges opérés entre les exposants

O f J y 1 y /I j fl • I i

chacun des nouveaux produits étant pris avec le signe -f- ou le signe —, suivant qu’on le déduit du premier à l'aide d’un nombre pair ou d’un nombre impair d’échanges successifs. On aura

et les formules (ai), qui fournissent les valeurs de x, y, * u , v propres à vérifier

les équations (i) , pourront s’écrire comme il suit

i etc.

Concevons maintenant que, dans le développement de P, on remplace les exposants des différentes lettres a , b , c ..... , g , h par des indices. Alors, au lieu de l’équation ( 39 ), on obtiendra la suivante

(34) P = (o P b 1 — d q b,)c r g, h, etc

Or cette dernière valeur de P pourra être présentée sous la forme

(35) P — A 0 d, n 1 + /f, ûn -I mni *♦“ A a -» di + Am — I do ,

A A, , Am-» , A m -, étant des sommes de produits formés avec les coefficients

bo , b, ... | b m - , i C, , C, ... , Cm — , i ••• go y g, • •• y gm — l \ A 0 , h, ... hm — i j

et , comme elle s’évanouira , en vertu de l’équation (34) , si l’on suppose

do — bo y d, — 6 , ..... , dm - I = bm - I ,

on peut affirmer que les quantités

renfermées dans l’équation (35), vérifieront la première des conditions ( 6 ). On prouverait

de même que les quantités dont il s'agit vérifieront la seconde , la troisième , etc

enfin la dernière des conditions (d). Donc ces quantités pourront servir à l’élimination

des inconnues .y , z h , v entre les équations ( 1 ) , et la valeur de x sera donnée par

la formule (3) , pourvu qu’on détermine A par la formule ( 6 ) , ou , ce qui revient au même , pourvu qu’on appelle A ce que devient l’expression (5) quand on j remplace la lettre a par la lettre A. Donc , en definitive , les valeurs des inconnues

propres à vérifier les équations (i) seront des tractions, dont on obtiendra le commun dénominateur P en remplaçant les exposants des lettres a , b , c g, h par des in-

dices dans le développement du produit qui compose le second nombre de l'équation ( 18 ). Quant au numérateur de chaque traction , on le déduira immédiatement du dénominateur , en remplaçant les quantités , qui dans les équations ( i ) servent de coefficients à l'inconnue que l’en considère , par les seconds membres de ces mêmes équations.

Si , pour plus de commodité , on représente par la notation

(36) 3 (iSoôi'c, ..... g*-»/!..-,) la somme qu’on obtient quand au produit

û 0 bgCt ••••• g» « » h n — ,

pris avec le signe on ajoute tous ceux qu’on peut en déduire à l'aide d’échanges opérés entre les indices

chacun des nouveaux produits étant pris avec le signe •*- ou le signe — , suivant qu’on le déduit du premier à l’aide d’un nombre pair ou d’un nombre impair d’échanges successifs ; on aura

et les valeurs de x , y , z , u , v , propres à vérifier les équations (i) , se présen-

teront soûl la forme

^ S( + l 0 èif, ..... gn-ifcii-t)

S(i SoèjC, ..... g/ i-ili.i) *

^S( — û 0^tC% ...a* g„ I h„ — , )

y ~ S(± floôiC, g,-. A,-,) ’

etc.

v a ° b>c * g«-»ft»-i)

Si , pour fixer les idées , on réduit les équations (i) à

a e x -t- boy -t- c„z s k 0 , a,x b, y -»• c,z = k, ,

a ê x b,y •+• c, z ss k, ,

on trouvera

S(± k 0 b t Ci) ê 0 6, c» — *■ k 0 b,c, -+• k t b t c 0 — k t b 0 c$ 4- A|4oCi — kibtCo

&( 3;a 0 (i,c,) a a b,Ci — a 0 b t c, - 4 - a, b,c 0 — a, 4 0 c, -+- a^b^c, — a, b, c 0 '

On arriverait au même résultat , en présentant la première de* équations ( 1 6 ) sous la forme

puis développant les deux produits

et remplaçant dans les développements les exposants des lettres par des indices. Sous ces conditions, la formule (4 > ) peut être censée fournir la valeur delà première des in* connues que renferment les équations ( 39 ). Cette valeur, qui prise 4 la lettre serait inexacte, et ne peut devenir exacte que par suite des modifications énoncées , est ce qu'on nomme une valeur symbolique de l'inconnue dont U s’agit. L’équation (40 > considérée sous ce point de vue , est eUc*même une équation symbolique.

Concevons à présent que m 1 inconnues, représentées par

soient déterminées par m t équations du premier degré et de la forme

Xo — - kç ,

etc

mlm—i) ,

x. mx, h x» -4- x„ = k m .

On tirera successivement de ces équations

x 0 = A 0 , x, = k, — k, , x, = k, — aA, -¥■ k 0 , etc

et généralement, si l’on désigne n un quelconque des nombres entiers renfermés entre les limites o , m , on obtiendra pour valeur de x. une fonction linéaire des quantités

ko j ki , ko ..... , k» ■

Soit en conséquence

(43) x, — Aok n + A. A„, + Aiko-i -t- ... 4- An-iki *4* A n k 0 .

Dans le cas particulier où les quantités

(44) 1») A, > li

se réduiront aux différents termes d’une progression géométrique de la forme

on aura simplement

D’autre part , il est clair, que, dans ce cas, on vérifiera les équations (4>) , en posant

et

*+isl, x = A — i ,

ou , ce qui revient au même,

(47) x. = k" — n k*-‘ ■+■ A*-* — * nk± i .

Les formules (46) , (47) devant s’accorder entre elles, il en résulte qu'on aura, quel que soit k ,

(48) A a k* ■+■ A,k*~' Aik’-‘-t- ...■*■ A„.,k-^A„ — k’' — ' • *«-> — ... *nk± i ,

et par suite

Donc la valeur générale de x, , déterminée par la formule (46) , sera

(5o) x. — k. — nk K ., ■+■ — *nk,± k„.

Au reste , on peut arriver directement h l’équation (5o), en combinant entre elles par voie d’addition les n premières des formules ( 4 a) respectivement multipliées par les coefficients

i , — n , 1 ■ 1 , »» Tl, *1,

puis ayant égard aux formules ( 19 ) et (ao) du § 3 , ou plutôt à celles qu’on en déduit quand on échange entre elles les lettres m et n. Donc en définitive les valeurs de

propres à vérifier les équations (4*) seront

Xi *o 1

X, — II, “■ l e i

jt* s Ai a A, *4* A g ,

etc.

Si, dans les formules (4a) et (5i), on remplace simultanément les quantités Tg , X g , Jg , Xm i Ao , A, , Ai ••••• , A„

par les rapports

on en conclura que les valeurs des inconnues

propres a vérifier les équations

X o — Ai ,

.r, ax 0 = A, , j, -r- lax, -4- a*x , = A, ,

etc

x„ - 4 - maxm-, -t- ... t ma"- x, tn. = A„,

sont respectivement

X o — Ai ■

x t — Ag — aA 0 ,

Xi = A, — aaA, -t- a* A, , etc

x„ = A„ — rnalm-, u*A»,.i

— ma" -1 Ai ± a m A,

Si l’on suppose en particulier a ss — 1 , les formules (5a) deviendront

X m —mXm-,

X o — k o j Xi ““ Xq — 1 1 ,

r, — ar, + x, = 1, ,

etc

mlm — i)

x„-, x mx m ± x , = ,

et l’on en tirera

Xg ~ A i A» ,

x, = k, ik, k a ,

etc

•T*/«i — n«i ■+■ fnk m j „ r ftIKi ■f 1 "a •

§ 5. Formules d'interpolation.

h' interpolation consiste à déterminer la valeur exacte ou approchée d’une fonction d’après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues.

Considérons spécialement une fonction entière u de la variable x. D’après ce qui a été dit dans le § 3 , cette fonction sera complètement déterminée , si elle est du degré m , et si l’on en connaît m -t~ i valeurs particulières. Soient

res m -f- i valeurs particulières correspondantes aux valeurs

<le la variable x . Si l’on suppose d’abord que les valeurs particulières de u se réduisent toutes à zéro , à l’exception de la première u, , la fonction u , devant alors s'évanouir pour x = x, , pour x = x» , enfin pour x =r x„ , sera divisible par le produit

et sera par conséquent de la (orme • - . ' ....

a tie pouvant être qu’une quantité constante. De plus , u devant se réduire à «„ pour x = x a , on en conclura

et par suite

De mcine , si les valeurs particulières de u se réduisent toutes à xéro , à l’exception de la seconde u, , on trouvera

etc Enfin , si elles se réduisent toutes à zéro , à l'exception de la dernière it m , on

trouvera

U U/Fl . ï f . •

(Xm — X 0 ) (Xm — Xj) (Zia^Xn-i)

Uo “ ü(r g ™ X.) (x o X*) aM.i (Xo ™ X/n) j

" ~ U ° (Xo X.) (x g X.) (Xo X m ) '

En réunissant les diverses valeurs de u correspondantes aux diverses hypothèses qu'on vient de faire , on obtiendra pour somme un poljnome en x du degré m , qui aura évidemment la propriété de se réduire à u„ pour x =s x„ , & », pour x = x, à u„

pour x — — Xm ■ Ce polynôme sera donc la valeur générale de u qui résout la question proposée , en sorte que cette valeur générale se trouvera déterminée par la formule

"(Xo — X,) (Xo— X,)..(X« Xrn) "" "(Xm Xo) (X m X,)..(x m X m , ) ’

qui est la formule d’interpolation de Lagrange.

En vertu de la formule (i), si la fonction u du degré m doit s’évanouir pour les valeurs particulières

de la variable x , et se réduire à l'unité pour x = m , on aura

Lorsque les valeurs particulières de x représentées par

se réduisent aux différents termes de la suite

alors , pour obtenir la valeur générale de u , il suffit évidemment de supposer

1*2 1 . 2 '*«••• fït

et de choisir les coefficients de manière à vérifier les équations

a» — tio , • .

(5) 1 a„ a- in, v Si = u a ,

etc

a, ma, ■+■ a, a m = u m ,

Or , on vérifiera ces dernières [ voyez le § 4 ] en prenant a» = n„ ,

IJ, = U, — ll„,

(g) ^ o, = u, — au, ■+• «o,

etc

mfm — r)

a m sz n m — rnu m -, -s m m . t x mu, ± u 0 .

Donc la valeur générale de u sera

( n = u 0 (u, — il») x (u, — au, u„) Jt '^ X ~l ii -4-

f .. ■+- (u„— mu„, -v «m ± II„ — J 1

Si l'on suppose en particulier on aura

I‘m-, as (m — 1 )" , n„ = m m ,

et le» formules ( 6 ) , ( 7 ) donneront fl. ss o , fl i = i, a, = a" — a , ai = 3"* — 3 . a" -s- 3 , etc.

fl*-, = (m — i)- — (m — «) (m — . a)" ■+• ± (m — y) ,

fl" = m" — m (m — i )" m -

(io)

x- =x •+• (a" — a) h- (3- - 3.a- * etc.

\ 4 ' i.a /i.a ..... ni

D’autre part , comme , dans le cas dont il s’agit , on aura quelque soit x

xfx— O j(^-i]..(Mn+a) . . x(x— i)..(x-—m-+-i)

' 1.2 1.2... v iw — I J

on en conclura

fl*

ou , ce qui revient au même ,

(ia) { fl*., = i .a Jm — j)[i-»-a-*- -»• (m — s ) J = i.a...(m — i) .

etc.

Ou aura doue encore

' ( m — iy» — (m — i) {m — a}" ■+■ .... * (ni — i) = i . a . 3 ... (»» — l) ,

etc.

et la formule (io) pourra être réduite à

Si , dans cette dernièrq., on change x en — x , elle donnera

3«“! 2 m 4* | jW -1 __ |

Lorsque m est de la forme

p désignant un nombre premier impair , la première des équations (i3) se réduit à

et, comme alors, en vertu du théorème de Fermât sur les nombres premiers, les puissances

m m , (ni — i)"* , (m — a)** , etc

divisées par p donneront l'unité pour reste, il est clair que le second membre de l’équation (<6) , divisé par p , fournira le même reste que la somme

i — m — etc.

Donc , lorsque p — m +■ i est un nombre premier impair , le produit

divisé par p, donne pour reste — r , ou en d'autres termes ce produit , augmenté de l’unité , devient divisible par p. C'est en cela que consiste le théorème de Wilson , qui s'étend au cas même où l’on pose p ss a = 1 •+• 1 . D’ailleurs il est clair que ce théorème subsiste uniquement pour les nombres premiers. Car , si le nombre m 1 admet d’autres diviseurs que lui-même et l’unité , chacun de ces diviseurs , se confondant nécessairement avec l’un des nombres a , 3 , m , divisera le produit

d’où l’on doit conclure qu’il ne saurait diviser la somme

Si les valeurs particulières de x représentées par r, , x, , ... x m se réduisaient aux différents termes de la progression géométrique

» > r t rm »

alors , en posant

on aurait, pour déterminer les facteurs inconnus <i„ , a,, ... a m , des équations linéaires dont les premiers membres seraient semblables aux premiers membres des formules (7) du § 4 i el P ar suite on obtiendrait les valeurs de a„, a, , etc. ... a m , en ajoutant les équations dont il s’agit , après les avoir respectivement multipliées par les coefficients des diverses puissances de x dans les développements des produits

(x— r) (x — r»)...(x — r”), (x — 1) (x — r«) ,..(x— r m ), etc., (x — i)(x~r)...(x— r** 1 ).

On trouverait ainsi

(18) n ss

u m — (r+r 1 -*- ..-t-r™ )!!„, -t- ... Ttrr*.. r*" u, ^ u„ — ( r-t* r.. -r- r~ )n M •*■... ± 1 . r.. r*» - 1 n.

Observons enfin que des formules (7) et (18) on déduira facilement celles qui seraient relatives au cas où les valeurs particulières de x coïncideraient avec les différents termes d'une progression quelconque soit arithmétique , soit géométrique.

§ 6. Des séries convergentes et divergentes , et en particulier de celles qui représentent les développements des puissances entières et négatives d’un binôme.

On appelle série une suite indéfinie de quantités

(l) Uq y Ug y l il • M. )

qui dérivent les unes des autres suivant une loi connue. Ces quantités elles-mêmes sont les différents termes de la série que l’on considère. Soit

la somme des n premiers termes , n désignant un nombre entier quelconque. Si, pour des valeurs de n toujours croissantes , la somme s m s’approche indéfiniment d’une limite finie s , la série sera dite convergente, et la limite en question s’appellera la somme de la série. Au contraire , si , tandisque x croît indéfiniment , la somme s„ ne s’approche d’aucune limite fixe , la série sera divergente et n’aura plus de somme. Dans l'un et l’autre cas , lé terme qui correspond à l’indice n , savoir 1 1 „ , sera ce qu’on nomme le terme général. Il suffit que l’on donne ce terme général en fonction de l'indice n pour que la série soit complètement déterminée. Si , dans le cas où la série est convergente, on pose

r„ sera ce qu’on appelle le reste de la série prolongée jusqu’au n mt terme.

L’une des séries les plus simples est la progression géométrique

(4) », * , x» , * 3 , etc

qui a pour terme général x" . En la substituant à la série (i) , on aura

et par suite

On peut mettre cette valeur de s, sous la forme

et , comme , pour des valeurs croissantes de n , la valeur numérique de la fraction

converge vers la limite zéro ou croit au-delà de toute limite , suivant qu’on suppose la valeur numérique de x inférieure ou supérieure à l’unité, on doit conclure que dans la première hypothèse la progression (4) est une série convergente qui a pour somme

tandisque , dans la seconde hypothèse , la même progression est une série divergente qui n’a plus de somme. Si , dans la première hypothèse, on prend s, pour valeur approchée de s , l’erreur commise sera mesurée par la valeur numérique du reste

On indique généralement la somme d'une série convergente par la somme de ses premiers termes suivie de points ou d’un etc. Ainsi , lorsque la série (i) sera convergente , on aura

s = u 0 ■+■ u, -t- u, -+■ «j ■+■ etc ;

et , l’équation (7) donnera , si la valeur numérique de x ne surpasse pas l'unité ,

Il résulte de cette dernière formule que la progression géométrique

a pour somme la première des puissances négatives entières du binôme 1 — x.

En vertu des définitions ci-dessus adoptées , pour que la série (i) soit convergente , il est nécessaire , et il suffit que des valeurs croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme s m vers une limite fixe : en d’autres termes, il est nécessaire et il suffit que , pour des valeurs infiniment grandes de n , les sommes

** ) Wl |

différent de la limite s et par conséquent entre elles de quantités infiniment petites. D’ailleurs les différences respectives entre la première somme s. et les suivantes sont respectivement

*n-f J — U# 4* Ujt+i 4* H n + i,

CtC

Donc, pour que la série (i) soit convergente, il est d’abord nécessaire que le terme général u. décroisse indéfiniment , tandisque n augmente. Mais cette condition ne suffit pas, et il faut encore que , pour des valeurs croissantes de n , les différentes sommes