f* (rt — I )<x 1 na. f
il est clair que l’erreur commise ne surpassera pas, dans le premier cas, la valeur numérique de la différence
et, dans le second cas, la moitié de cette valeur numérique. Donc cette erreur deviendra infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de n , ou , ce qui revient au meme pour des valeurs infiniment petites de a , et 1 ( i -s- x ) aura exactement pour valeur la limite vers laquelle converge le second membre de la formule (i 3 ), tandisque a s’approche indéfiniment de la limite zéro.
Lorsque la valeur de x est renfermée entre les limites — i ,-+•!, c’est à-dire, lorsqu’on a
alors , en désignant par m un nombre entier inférieur ou tout au plus égal à n , on a généralement
(n) — - — = a. — m -t- m 1 » 3 — m ! a' -t- etc. ... ,
' '' i •+• mu
et par suite la formule (i 3 ) donne
ou , ce qui revient au même ,
,S(nM
etc.
Si maintenant on fait croître indéfiniment le nombre n , alors, en ayant egard aui formules (17), (18) du § 9 , on réduira l’équation (19) à la suivante
etc.
Cette dernière fournit la valeur exacte de 1 ( 1 -t- x ) , toutes les fois que la valeur numérique de x ne surpasse pas l'unité. Alors la série
est nécessairement convergente ; cc qu’on peut démontrer directement , attendu que, le coefficient a* de x, , daus cette série , étant réduit à
la valeur numérique du rapport
sera la fraction
qui , pour des valeurs croissantes de n , s’approche indéfiniment de la limite i . Ajoutons que la «une (il) sera encore convergente pour x = ■ , et qu’on aura par suite
!(*) = . —- + j—--" etc.
mais qu’elle deviendra divergente pour x = — ■ , ce qu’il était facile de prévoir , puisqu’on a
Enfin , si , dan» la formule (ao) , on remplace x par — x , on en tirera
Lorsqu'à l’aide des formules (i3) , ( ■ 4) ou (ao) on aura calculé la valeur exacte ou approchée de 1( i ■+■ x)-, pour en déduire celle de L (i -+• x) , la lettre L indiquant un logarithme pris dans le système dont la hase serait non plus le nombre e , ruais un autre nombre quelconque A , il suffira de recourir à l’équation
l(i ■#•*)” 1(0“ l(^) ~ ke) ~\(A)'
de laquelle ou tire
L(i-*.x) = L(e)l(i-i-x), ou L ( I -f- x) = '
Si dans les formules (ao) et (a5) on remplace x par — elles douueront , pour «les valeurs numériques de x inférieures à celles de a ,
mm —
et
l(« + i)sl[a) +
\a au*
Sa»"* 4a»'*’
etc.
§ ij, Développemcnl d'une puissance quelconque d’un binôme.
Comme on a identiquement (i) i ■+■ x = «•(•+*) ,
on en conclura, en ayant égard à la formule (ao) du § 10, et supposant la valeur numérique de x inférieure à l'unité ,
etc....
On aura donc alors , quelle que soit la valeur positive ou négative de l'exposant fi ,
( ar» .r 5 .T* \
et par suite
... . .p / XX* \ p*x* / xx * \*
(4) (.-x) =, + ■) + TT ( , - r + T -...J +eic„,
ou , ce qui revient au même ,
■">'(£ ~-T (fï ■*■“) * *•-
Or , dans l'hypothèse admise , la somme
etc...
conservera une valeur finie et déterminée quand on remplacera les différents termes dont cette somme se compose par leurs valeurs numériques , et l’on pourra en dire autant
de 5 sommes que renferment les seconds membres des formules ( 4 ) et ( 5 ). Donc a loi s la formule ( 5 ) entraînera la suivante
qui se réduit à
( 7 ) (i-t-x) M =i -s-/ux
, M(M— 00 <— | fx<jx— Ofr*— a) (K— 3 ) xl t etc i . î i.a.j i .a . 3 .4
Pour déterminer immédiatement le coefficient de x" dans le second membre de l'équation (7) , il suffit d’observer qu’en vertu de la formule (4) ce coefficient sera une fonction entière de /x du degré n ; et que le même coefficient , devant se réduire évidemment & zéro pour les valeurs o , t , a , 3 , n — 1 de l’exposant /x , puis h l’unité
pour fi = n , se confondra nécessairement avec le rapport
c’est-à-dire avec la valeur de u que fournit l'équation ( 3 ) du § 5 , quand on y substitue la lettre jx à la lettre x.
Si dans l'équation (7) on remplace x par — .r et fx par — (i , on obtiendra la suivante
-•-JUX •
x* ■+■ , x* etc.
Cette dernière' formule subsiste , comme l'équation {7) , pour des valeurs numériques de x comprises entre les limites
Si l'on considère en particulier le cas où l'on a
les formules (7) et ( 3 ) donneront
(9) (l-t- x)* = I-t--X ;Ï>H '-—r- X 1 — — - X* etc.,
et
(lO) (l X) * St l ~i X H 7 - -, 7-2“ -> 7-2-0
t-x'-*- etc
L'équation (9) fournit le développement en série de la racine carrée du binôme i+x, quand la valeur numérique de x est inférieure & l’unité. De même , en posant successivement ju.= — , fia y , etc... on déduirait de l’équation (7) les développements 3 H
en séries de la racine cubique , de la racine quatrième , etc... de ce même binôme.
Concevons à présent que l’on généralise les notations employées dans le § t , et que l'on désigne par
(M)« et O].
les coefficients de x* dans les développements des binômes
( i ■+• x) M et (1 — x)
suivant les puissances ascendantes et entières de x , /a représentant une quantité quelconque et h une quantité entière, positive nulle ou négative. Alors on aura, pour «>o,
pour n = o , lors même que n deviendrait nul ,
(è*)o = Cl*]» = 1 »
enfin , pour n < 0 ,
et les formules (7) , (8) pourront s’écrire comme il suit
04 ) (i-»-x) M = i-*- (fi)iar-«- (M)»x>-*-etc....,
(• 5 ) («— X) **= 14 [n],x+ [/r]»x*-i- etc
Si, dans l'équation (5), on remplace x par —, on obtiendra la auivante
( xf = S -a- „a ^ ' x + ïiï=lla l ^ » *• - etc.
Cette dernière , qui subsiste pour des valeurs numériques de x inférieures h celles de a , est précisément ce qui devient la formule (3) du § 3 , quand on y remplace m par /x .
§. 13 . Trigonométrie.
Une longueur, comptée sur une ligne droite ou courbe, peut, comme toute espèce de grandeurs , être représentée soit par un nombre , soit par une quantité positive ou négative ; savoir par un nombre lorsqu’on a simplement égard à la mesure de cette longueur, et par une quantité, c’est-à-dire, par un nombre précédé du signe -s- ou — , lorsque l’on considère la longueur dont il s’agit , comme portée à partir d’un point fixe , sur la ligne donnée , dans un sens ou dans un autre, pour servir soit à l’augmentation soit à la diminution d’une autre longueur constante aboutissant à ce point fixe. Le point fixe dont il est ici question , et à partir duquel on doit porter les longueurs variables désignées par des quantités , est ce qu'on appelle /' origine de ces mêmes longueurs. On peut choisir à volonté le sens dans lequel on doit compter les longueurs désignées par des quantités positives -, mais , ce choix une fois fait , il faudra nécessairement compter dans le sens opposé les longueurs qui seront désignées par des quantités négatives.
Dans un cercle dont le plan est supposé vertical, on prend ordinairement pour origine des arcs l'extrémité O du rayon tiré lioruontalcment de gauclie a droite ; et c'est en s’élevant au-dessus de ce point que l’on compte les arcs positifs, c’est-à-dire, ceux que l’on désigne par des quantités positives. Dans le même cercle, lorsque le rayon se réduit à l’unité , la quantité positire ou négative s qui représf nte un arc sert en même temps à représenter l’angle au centre compris entre les rayons menés à l’origine et à l’extrémité de cet arc. Alors , pour obtenir ce qu’on nomme le sinus ou le cosinus de l’are ou de l’angle s , il suffit de projetter ortkogonalement le rayon mené à l’extrémité de l’arc i.° sur le diamètre vertical , 3. 0 sur le diamètre horirontal. Si on prolonge ce même rayon jusqu’à la rencontre des tangentes menées à la circonférence par le point O origine des arcs et par l’extrémité supérieure P du diamètre vertical , les parties de ces tangentes interceptées entre la circonférence et les points de rencontre seront ce qu’on appelle la tangente
et la colangcntc trigonomé triques de l’arc s. Enfin les longueurs comptées sur le rayon prolongé entre le centre du cercle et les points de rencontre seront la sécante et le cosicantc du même arc. Les sinus et cosinus, tangente et cotangcnte , sécante et cosécantc d’un arc ou d’un angle s sont ce qu’on nomme ses lignes trigonométriques. On désigne encore quelque fois sous ce nom deux longueurs appcllées sinus verse et cosinus verse dont la première est comprise entre l’origine de l'arc s et la projection de l’extrémité de cet arc sur le diamètre horizontal , tandisque la seconde est comprise entre l’extrémité supérieure du diamètre vertical et la projection de l’extrémité de l'arc sur le même diamètre.
Si l'on représente suivant l'usage par
le rapport de la circonférence au diamètre, la circonférence entière, dans le cercle qui a pour rayon l'unité , sera exprimée par îir, la moitié de la circonférence par n , et
le quart par ^ . Cela posé , il est clair que, pour obtenir l’extrémité de l’arc
s -s- 1 nn ou s — 2 nn
[ n étant un nombre entier ] , il faudra porter sur la circonférence à partir de l’extrémité de l'arc s , dans le sens des arcs positifs , ou dans le sens des arcs négatifs , une longueur égale h a nn , c’est-h-dirc , parcourir n fois la circonférence entière dans un sens ou dans l'autre , ce qui ramènera nécessairement au point d'où l’on était parti. 11 eu résulte que l'extrémité de l’arc
s ± a nn
coïncide toujours arec celle de l'arc s , et que ces deux arcs ont précisément les mêmes lignes trigonométriques.
D’après ce qui a été dit ci-dessus , le sinus et le cosinus verse d’un arc se mesurent sur le diamètre vertical , le cosinus et le sinus verse sur le diamètre horizontal , la tangente trigonométrique et la cotangente sur les tangentes menées à la circonférence par l'origine des arcs et par l’extrémité supérieure du diamètre vertical, enfin la sécante et la cosécantc sur le diamètre mobile qui passe par l’extrémité de l’arc. De plus le sinus, le cosinus , la sécante et la cosécante ont pour origine commune le centre C du cercle , tandisque l’origine O des tangentes et des sinus verses se confond avec l’origine des arcs, l’origine P des cotangentes et des cosinus verses étant l'extrémité supérieure du diamètre vertical. Enfin on est généralement convenu de représenter par des quantités positives les lignes trigonométriques de l'arc s dans le cas où cet arc est positif , et moindre qu’un quart de circonférence ; d’où il suit que l’on doit compter positivement le sinus
et la tangente de bas en haut , le cosinus verse de haut en bas , le coaiuus et la cotangente de gaucbc à droite , le sinus verse de droite fi gauche , enfin la sécante et la cosécante dans le sens du rayon mené à l’extrémité de l'arc s.
En partant des principes que nous venons d'adopter , on reconnaîtra immédiatement qne le sinus verse et le cosinus verse sont toujours positifs , et de plus on déterminera sans peine les signes qui doivent affecter les autres lignes tnigonométriques d'un arc dont l’extrémité est donnée. Pour rendre cette détermination plus facile , on conçoit le cercle divisé en quatre parties égales par les diamètres horizontal et vertical ; et ces quatre parties sont respectivement désignées sous le nom de premier, second, troisième et quatrième quarts du cercle. Les deux premiers quarts de cercle sont situés au-dessus du diamètre horizontal , savoir le premier à droite et le second à gauche. Les deux derniers sont situés au-dessous du même diamètre , savoir le troisième à gauche et le quatrième à droite. Cela posé, si l’on cherche les signes qui doivent être attribués aux diverses lignes trigonométriques d’un arc autres que le sinus verse et le cosinus verse , suivant que l’extrémité de cet arc tombe dans uu quart de cercle ou dans un autre , ou trouvera que ces signes sont respectivement
pour le sinus et la cosécante
pour le cosinus et la sécante
pour la tangente et la cotangentc
dans le i. Pr quart de cercle, dam Je a.*' , drus le 3.‘‘
dam le $.*
On peut remarquer à ce sujet que le signe de la tangente et de la cotangentc est toujours le produit du signe du sinus par le signe de cosinus.
Deux arcs représentés par deux quantités s, ( sont appelles suppléments l’un de l’autre, lorsqu'on a
(i) s t = ts .
Ils seront compléments l'un de l’autre , si l’on a
s -h t ex
Alors on se trouvera évidemment ramené tt l’extrémité de l'arc
si l'on porte son complément l , dans le sens où l’on comptait primitivement les arcs négatifs , non plus à partir (le l’origine commune O des aies et des tangentes , mais à
partir de l’origine P des cotangcntcs qui coïncide avec l’extrémité de l’arc ^ , Donc à
la place d’un arc s on obtiendra son complément l , si , l’extrémité de l'arc restant la même , on transporte- l'origine de cet arc de O en P , et si l'on convient en même temps de compter les arcs positifs non plus dans le sens OP, mais dans le sens PO. D'ailleurs en opérant ainsi, on écliangera évidemment le rayon CO mené n l’origine des tangentes et sur lequel sc mesuraient les cosinus positifs contre le rayon CO mené à l’origine des cotangcntcs et sur lequel sc mesuraient les sinus positifs. Donc le cosinus, la cotangente et la cosécantc de l’arc s se confondront avec le sinus , la tangente et la sécante de sou complément l , en sorte qu’on aura généralement
cot s
coséc s = sec
Comme , dans le triangle rectangle qui a pour liypotliénuse le rayon , et pour second côté le cosinus ou le sinus, le troisième côté est évidemment égal au sinus ou au cosinus, on peut affirmer que le sinus et le cosinus d’un même arc s sont liés entre eux par l'équation
(5) sin * s cos* j = i .
De même, en considérant le triangle rectangle qui a pour côtés la sécante, la tangente, et le rayon mené au point O , ou la cosécante , la cotangente , et le rayon mené au point P, on trouvera
séc * s = i tang * s ,
OU
COséc‘f = 1 -h cot* S.
Ajoutons que , ces triangles rectangles étant semblables entre eux , les côtés du premier ou les valeurs numériques de
cos s , sin s , t
seront proportionnels aux côtés du second , c’est-à-dire aux valeurs numériques de
i, tang s, séc s,
et aux côtés du troisième , c'est-à-dire , aux valeurs numériques de
cot s , i , coséc t
cpst'c s
Donc le* valeurs numériques des lignes trigonométriques
tang s , séc s , cot s ,
seront respectivement égales aux valeurs numériques des rapports
sin s i cos s i
cos s ’ cos s ’ sin s * sin s ’
et comme elles seront positives ou négatives en même temps que ces rapports, [ voyez ci-dessus le tableau relatif aux signes ] , on aura nécessairement
sin s , i cos s , i
tang s = , sec s = , cot s = — — , cosec s = t — .
cos i cos s sin r sut s
Enfin siv s et cosiv s, c'est-à-dire, le sinus verse et le cosinus verse de l’arc s seront évidemment déterminés par les formules
(9) siv s ss i — cos s , cosiv s = 1 — sin s .
Donc toutes les lignes trigonoinétriqucs d'un arc a peuvent être facilement exprimées a l'aide du sinus et du cosinus de cet arc.
Les extrémités du cosinus et du sinus d'un arc étant précisément les projections de l’extrémité de l’arc i." sur le diamètre horizontal , a. 0 sur le diamètre vertical , il est aisé de voir que les arcs
t et — .1
ont le même cosinus , mais des sinus égaux et des signes contraires. Donc
(10) eos ( — s) = cos s , sin (— s) =z — sin s.
On trouvera de même
(11) cos (ir -t- s) = — -cosr , sin (w s) = — sin s ,
et généralement , en désignant par a A -t- 1 un nombre impair quelconque , («a) co* [s ± (aA 1) »] = — cos s, sin[s±(aA-t- 1 ) *] = — sin s . On aurait au contraire , en désignant par a A un nombre pair,
(1 3 ) cos ( s ± 2 Av) ss cos s , *in ( s ± aA* ) = sin s.
Enfin s» l’on remplace s par — s dans les formules (u) et dans le* suivantes
cos ^ ^ — s ^ = sin s , sin ^ ^ — s ^ = cos s ,
co> ( TT — v ) — — cos s , sin ( i r — t ) = sin s ,
