TZ
ne peut s’évanouir qu’autant que
est un nombre entier. Donc les expressions (6a) seront deux racines n m " de l’unité distinctes l’une de l'autre , si la différence /' — l est inférieure n , d’où il résulte que pour obtenir toutes les racines de l’unité du degré n , il suffit de prendre n termes consécutifs de la progression géométrique
indéfiniment prolongée dans les deux sens , par exemple , les termes
§ ao. Logarithmes des expressions imaginaires , et logarithmes imaginaires des quantités réelles.
Soit
a + b tT=r,
une expression imaginaire quelconque , a , b désignant deux quantités réelles. Ce qu’on appelle le logarithme de a ■+■ b \/]~- 1 , dans le système dont la base est A , c'est une seconde expression imaginaire a •*- B V — ■ , dans laquelle les quantités a, B sont tellement choisies que l’on ait
(i) A zza b / — i ,
et par conséquent , eu égard à la formule (5) du § 1 5 ,
Ainsi , en particulier un logarithme Népérien de a b d — i sera une expression imaginaire a ■+■ B d — ■ tellement choisie que l'on ait
(3) c st a b y — i.
D’ailleurs , si l'on fait
(4) P = r'a» i* , £ = arctang ~ , . t
et , si l’on désigne par k un nombre entier quelconque, on trouvera , pour des valeurs positives de a ,
«H- bdrr l ^ ? e^ ±%kltW ~ l
et , pour des valeurs négatives de a ,
Cela posé , il est clair qu’on vérifiera la formule (3) , si a est positif , en prenant
et , si a devient négatif , en prenant
(8) a.-*- B = l(p)- 4 -[£±(îA-*- i ) » ] ÿ~.
Il y a plus. On peut aisément s’assurer que la formule (7) ou (8) fournira tous les logarithmes Népériens de l’expression imaginaire a b ÿ , . Car , eu vertu du a.*
théorème du § i 3 , le module e* du premier membre de l’équation ( 3 ) devra se confondre avec le module p de l’expression a -r- b •J — 1 . On aura donc
D'autre part, si, en adoptant la valeur précédente de a, on réduit À h zéro dans la formule ( 5 ) ou (6) , on tirera de cette formule , jointe à l’équation ( 3 ) , 1 .• pour des valeurs positives de a
l\rzr,
e re’ ,
par conséquent
e (Æ £)|/ 1 , f B —Ç = ± 2 A 1 r, â = £ ± a A fr , a.” pour des valeurs négatives de a
Bÿ=; Aï^nW—,
par conséquent
e t^ ' ( ( q __ ( = ± j * „ , £ = (a A 1 ) ir.
On prouvera de même que les voleurs de a •+■ B /— 1 propres & vérifier la formule (1), ou les logarithmes de a -t- b V~i relatifs au système dont la base est A , sont tous compris , pour des valeurs positives de a , dans la formule
et , pour des valeurs négatives de a , dans la formule
(10) * + Bv'— t = \ W * lï±i ^ l) *y-^ = L(p) + (ï±*k, r)/.(e).i/— .
Si l'on suppose en particulier a •*- b t/~ = ± i , par conséquent p — o , \ ss o , les formules (7) , (8), ou (9), (10) donneront pour les logarithmes Népériens de i, non seulement zéro , mais encore toutes les expressions imaginaires de la forme
(11) ±ikn^~t t ou ± a k ir L (e) \/~i j
et , pour les logarithmes Népériens de — i , toutes les expressions imaginaires de la forme
(n) ±(ai-i-i)jr ^ —1 , ou ±(aA-*-i)irZ. (e) v '— « •
Généralement , si a -h b y — 1 se réduit à une quantité réelle a, on pourra, en vertu des formules (7), (8) , ou (9), (10) considérer comme logarithmes de a , i.° si a
est positif, toutes les expressions comprises dans la formule
(i 3 ) 1 (a) ± 1 k 7 ! , ou L (a) ± a k >r L (e) ✓HT j
a.® Si a est négatif , toutes les expressions comprises dans la formule
04 ) 1 ( — a) ± (a À -1- 1) ir \t — 1 , ou L ( — a) ± (a k n -*-1) L (e) |é~i .
Observons d’ailleurs qu'on peut obtenir toutes ces expressions , en ajoutant à l’une quelconque d'entre elles, par exemple, lorsque a est positif au logarithme réel I (a) ou L (<z) les diverses logarithmes imaginaires de l’unité.
Lorsque, b n’étant pas nul, <z est positif, l’un des logarithmes de a -t- b 1/ — , , savoir, celui qui correspond à une valeur nulle de k , est précisément
(. 5 ) Up) + W= r *> ou L(f) + r £(*}/=!,
suivant que l'on prend pour base le nombre e ou le nombre A . C’est ce logarithme que nous désignerons par la notation
(iG) ou L(a b ]/— , )
dont nous ne fer6ns usage , qu’autant que la portion réelle de l'expression imaginaire renfermée entre les parenthèses sera positive. Cela posé , en admettant que p et £ soient détenninés par les formules (4) , on aura , pour des valeurs positives de a ,
1 t f £ yt — « — 1 (<t ■+■ b 1/— » ) ,
L{p)-+-ÇL{e)\/~ = Ha b t/~) ,
et , pour des valeurs négatives de a ,
l L(f)+ÇL(c) v '— = L{ — a — h r^).
Par suite les divers logarithmes de l’expression a -+■ b / — i se déduiront , pour valeurs positives de a , de la formule
( t g) 1 (a -+-éy'^7)±aA)r|/37 , ou L ( a -t- fc y — i ) ± a X it ,£ (e) p' — i ,
et , pour des valeurs négatives de a , de la formule
(îo) l(~rt — t ) ± ( xÀ -t-i) , ou /, (— a — b\! — i ±(ai ■+= i)ir s'~ .
des
{.'inspection de ces diverses formules conduit immédiatement à la proposition suivante.
■ Théorème. Une quantité réelle ou une expression imaginaire quelconque a toujours une infinité de logarithmes imaginaires, dont V un devient réel, lorsque l’expression donnée se réduit à une quantité positive. De plus , pour obtenir tous ces logariliunes , il suffit il’ ajouter d l’un d’entre eux, les divers logarithmes de l’unité compris dans la formule
± î À! r w' — i , ou * a k U L (e) . / — ■ .
Ajoutons qu’en vertu des formules ( 17 ) et de la formule (4g) du § 19 , on aura toujours, en désignant par n une expression imaginaire dont la partie réelle soit positive ,
(ai) L (ar) = = 1 (x). L (e) ,
et
(aa) = A*^ X) .
Soient maintenant ,
(a3) r=s+4é~, r — a ‘ b’ |/“ , s = n” -t- ii’V^ï , etc....,,
plusieurs expressions imaginaires dont les parties réelles
«oient positives. Si , en désignant par
Pt Pt Pt »
leurs modules , on pose
£ = arctang - , J* = aretang — , = arctang — „ ,
on trouvera
04 ) x = rc^~' ) x = . =
et par suite
Si d’ailleurs l’arc
est compris entre les limites — ^ J » ' a Partie réelle du produit t y positive , et l’équation (a5) entraînera les suivantes
\^xf^...)=l^pp'p••...) t-
L (xyz...) =zL(p f’f" — ) ■+■ (J-s-f ■+■ £" ■+■ — ) s
qu’on pourra encore écrire comme il suit:
I H*y* ) = l(x)-4- lCr) •+■ l(s) •+■
| L{xyz ) =L{x) -b L(y) -t-L(z)
Pareillement si a étant positif , et /a désignant une quantité réelle quelconque , le produit ix £ reste compris entre les limites — ~ i , la première des équations («3) donnera non seulement
= {a + b = e fi
mais encore
i(x M )=i(f A ‘) m r »/=r7 = m ci (p) r »
ou , ce qui revient au même ,
Ainsi les formules fa6), (18) qui sont généralement vraies , lorsque x , y , z désignent des quantités réelles positives , en vertu des propriétés fondamentales des logarithmes réels , ne peuvent pas être étendues , sans de notables restrictions , au cas où x, y ,
s , deviennent imaginaires. Dans ce dernier cas , les formules (îG) subsisteront si ,
les valeurs de x, y, s, étant déterminées par les formules (»3), et leurs parties
réelles a, a' , a" , étant positives la somme
(19) arctang — ■+• arctang - •+■ arctang — -t-
reste comprise entre les limites — — ■+• ~ , et les formules (28) si , la quantité a étant positive le produit
/x arctang —
reste compris entre les mêmes limites.
§ ai. Des séries imaginaires doubles ou multiples.
Si l'on suppose que les quantités comprises dans le tableau n." (i) du § 8 se changent en autant d’expressions imaginaires, la série double, dont ces quantités étaient les différents termes, deviendra une série double imaginaire , dont le terme général sera représenté par
Wj» ) m'
m , m étant deux nombres entiers quelconques. Pareillement on peut imaginer une série imaginaire triple dont le terme général
serait une fonction imaginaire des trois indices entiers m, m', m", et finalement une série imaginaire midtiple dont le terme général serait une fonction imaginaire de m indices
chacun de ces indices pouvant recevoir successivement les valeurs entières
Cela posé, nommons r« la somme formée par l’addition d’un nombre fini ou même infini de termes de la série multiple , cette somme étant composée de manière qu’elle renferme au moins tous les termes dans lesquels la somme des indices est inférieure h n, et que jamais elle ne comprenne un ternie correspondant à des indices donnés , sans renfermer en même tcuis tous les termes qu’on en déduit en remplaçant ces mêmes indices ou quelques uns d’entre eux par des indices moindres. Si , toutes les fois que les deux conditions précédentes sont remplies, la somme s„ converge pour des valeurs croissantes de n vers une limite fixe s la série multiple sera dite convergente , et la limite en question s’appelera la somme de la série.
Dans le cas contraire la série imaginaire multiple sera divergente , et n’aura plus de somme. Si , dans le premier cas , on pose
s — Su -t - r. ,
r, sera le reste de la série imaginaire multiple , et ce reste , qui représentera ce qu’on peut nommer la somme de tous les termes non compris dans s„ , deviendra iuliniment petit pour des valeurs infiniment grandes de n . En partant de ces définitions on prouvera sans peine que pour rendre les théorèmes i, i, 3, 4 t 5 du § 6 applicables aux séries imaginaires multiples-, il suffit de substituer dans ces théorèmes les modules des différents termes à leurs valeurs numériques. Ainsi , en particulier , on pourra énoncer les propositions suivantes.
i.* Théorème. Lorsque les modules des divers termes d’une série imaginaire multiple forment une série réelle comvrgente , la série imaginaire est elle-même convergente.
a.' Théorème. Supposons que , pour un module de la variable n inférieur à c ,, la fonction y de x soit développable en une première série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x , et que pour un module de la variable y inférieur à c‘ , la fonction z de y soit développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de y . z sera développable en une nouvelle série convergente ordonnée suivasit les puissances entières et positives de x , toutes les fois que le module de x , étant inferieur à c , produira pour les termes de la première série des modules dont la somme sera inférieure à c ’ .
Pour montrer uoc application du a."“ théorème , supposons que , la valeur de .r étant imagioaire , on prenne
Comme les séries comprises dans les seconds membres des formules (i) et (a) seront convergentes , la première pour tout module de la variable x inférieur à l’unité , la seconde pour toute valeur imaginaire et finie de la variable y , on tirera de ces formules , en attribuant à a: un module r < i ,
Or , en vertu du a."”’ théorème , le second membre de la formule (3) devra se réduire pour fi < i , à la somme d'une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x. D'ailleurs , ce second membre coïncidant pour des valeurs réelles de x , avec le second membre de la formule (4) du § 1 1 , se transformera ,
par cette réduction , en celui que présente la formule (7) du même paragraphe. On aura donc , pour r< 1,
ux
■ etc.,
En d’autres termes , tant que le module de x restera inférieur à l'unité , la fonction y déterminée par La formule (1) vérifiera l’équation .
x* ■+■ — — X* -f- etc,
Si l’on suppose en particulier ju =: 1 , la formule ( 4 ) donnera simplement ( 5 ) «r-i+x.
§ aa. Développements des fractions 1 (i-t-ar) , L(i-t-x), ( t -+- r) **
dans le cas où la variable x devient imaginaire.
Concevons que l'on attribue à In variable x une valeur imaginaire et de la fui me
l/ZTï .
(1) x = r e = r (cos t -4- / — 1 sin /) ,
r désignant un module positif et l un arc réel. Si l’on fait , pour abréger ,
, , r sin t
(a) . s = arctang — ,
et , si l'on désigne par p une quantité réelle , ou trouvera , pour toutes les valeurs
positives de i -+- r cos t , par conséquent pour toutes les valeurs du module f comprises entre les limites o, i ,
-l SV — t
H-r = (!+ircoil + r>) 1 t
l(i-s-x)= — l(.-»-3rcost-s-r*)-s-s V — i ,
• /* - mV-i i*\{i-t-x).
(i-«-x)i =(i + .rcoi( + r*) t = c
D'autre part , en supposant la variable x réelle et comprise entre les limites nous avons trouvé
— etc
etc
J’ajoute maintenant que les formules (6) , (7) subsistent encore pour des valeurs imaginaires de x , lorsque le module r est inférieur & l’unité. C'est ce que l’on démontrera sans peine en opérant comme il suit.
Concevons que , la variable x étant imaginaire , et son module inférieur à l’unité , on pose
ce qui est permis , puisqu’ alors la série comprise dans le second membre de la formule
(8) est convergente. La formule (8) entraînera l’équation
(9) er = 1 x ,
( voyez le § précédent ). Donc y sera l’un des logarithmes imaginaires et Népériens de 1 x . En d’autre termes , on aura
JF*
(10) l(i+ï)=yïiir V—t — x — ^ etc. z.l* ,
k désignant un nombre entier , par conséquent
I fA* !
fn) — lf i 1 /- cos t -*-!■') — r cos t — cos a ( ■+■ — cos 3 t — etc...
et
r sin/
fia) r = arctane zzr sinf — — sin a t -t- — sin 3 / — etc. Tih.
i-t-ir cos/ -+- r* a 3
On tire d’ailleurs de la formule ( 1 1 )
il/ r* , r> \
f 1 3) ± k = ! ( /• sin t — — sin a / -■ - sin 3 / — .... I
a ir (\ a 3 /
• airtang
r sin /
■ a /• cos / -*-r‘
et comme, en vertu du théorème ■/ (§ 6), la somme
r sin 1 soi a / h — — sin 3 / — etc.
sera , pour des valeurs de r comprises entre o et ■ , fonction continue de chacune des variables r et / , il est clair qu'on pourra en dire autant du second membre de l’équation (i3). Donc ce second membre variera par degrés insensibles avec r et l , entre les limites r = o, r = i, t = — se, t = x . Cette condition ne pourrait être remplie si , r et / venant k varier par degrés insensibles , la quantité eutière ■± k changeait brusquement de valeur. Donc , pour toutes les valeurs de r et / comprises entre les limites dont il s’agit , ± k conservera une valeur constante égale à celle que fournit l’équation (ia) pour r =o, c’est-à-dire une valeur nulle, et les formules (lo) , ( 12 ) devront être réduites, la première à la formule (6), la seconde à la suivante
, ,, r sin « . r» . r> .
{ 1 . 1 ) arctana =r sin / sin a / -*- — sin 3 / — etc...
i - 1 - arcost-s-r» a 3
Si l’on suppose en particulier
/ = ^ , l'équation (i4) donnera
mrtaîig r =r j- — etc.
et , comme ccttc dernière ne changer a pas de forme quand on j remplacera r par — r , on en conclura , en écrivant x au lieu de ± r , que l’équation
arctang x — x — — ■+■ — etc.
subsiste pour toutes les valeurs réelles de x comprises entre les limites
Si l’on prend x = i , on aura arctang (i) F j , et par conséquent
(•7) * = 4 — j g- - ) = 3, i4i5ga65
On trouvera encore , en attribuant à x une valeur imaginaire dont le module soit inférieur à l'unité ,
Observons maintenant que, la variable x étant toujours positive et son module inférieur à l'unitc, la formule (8) entraîne non seulement l’équation (g) mais encore celle-ci
x 3 -r- etc-
( ix désignant une quantité positive quelconque). On aura donc encore
x 3 -r- etc... ,
ou , ce qui revient au même ,
( « - xf = , + „x - -K £*£=!M^W«tc..
Donc la formule (6) continue de subsister , dans le cas où x, étant imaginaire, offre un module r < i . Alors en égalant entre elles , dans les deux membres de la formule,
i les parties réelles , a. 0 les quantités qui sont multipliées par \ h Z7, , on obtient les deux équations
— fX ( fM — - 1 )
(i -4- arcosf-*-r») a cos/*s = i-4-prcosf •+• r , cosat — etc. ,
( i •+■ arcos t ■+■ r*) a smp s— ju r sur l -i — r»sina ( ■+■ etc..
Si dans ces dernières jointes à la formule (a) ou pose t =s — on trouvera
s = arctang r ,
r — tang s , (i + ar cos < -t- r* ) * = ( i -4- r*)» = séc s =
et par suite
(ai)
1 — tan 6 %s ~ 3 ' £l4 tan 6 4 5 — etc
. lcos s ,
( u f u — 1 ) ( u — 2 ) \ IM
fM tang ^ — — * tang * s • 4- etc lcos
ou ; ce qui revient au même ,
(aa)
fM
cos /xs= [ i — (m)> tang* s (/u) t tang» s — etc ] cos s,
fM
sin n s = [fi tang s — (ju)j tang 3 s -s- etc J cos si
puis on en conclura
tang (iis
M tang s — ■ (/u) 3 tang 3 s -i- etc
i —(#*)» tang* s -*-(>i) 4 tang*s — etc.
Comme d’ailleurs les équations (aa) , (a3) ne changent pas de forme quand on y remplace s par — s , il est clair qu’elles subsistent , quelle que soit la quantité /j. , pour toutes les valeurs de s comprises entre les limites
(a4) s s — arctang (i) = — y , s = arctang (i) = y .
Lorsque l'exposant n se réduit à un nombre entier m , les équations (aa) , (a3) se réduisent aux équations (a) et (3) du § 16 , et peuvent alors être étendues à des valeurs quelconques dé l’arc s .
.|l| 1 Jl
