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etc.....

D’après ce qu’on vient de voir , les racines n me ‘ réelles ou imaginaires de chacune des quantités — i , •+■ . sont en nombre égal à n . D’ailleurs , pour obtenir toutes les valeurs de x que donne la formule (i3) ou (.5) il suffit de multiplier successivement l'une de ces valeurs , par exemple ,

te ou t

e (X ±nw-,

par les diverses racines de l’unité du degré n , ou bien encore de multiplie. la seule expression

par les racines n me ‘ de l’unité , si a est positif, et par les racines n"" de — i , si a est négatif. Ajoutons que , dans le premier cas , l’expression (a3) sera précisément une des racines «"•" de a -t- b i/-Tï , c’est-à-dire une valeur particulière de r propre & vérifier l’équation ( 7 ). Cette valeur particulière est celle que nous désignerons par la notation

dont nons ne ferons usage qu’autant que la partie réelle de l'expression imaginaire renfermée entre les parenthèses sera positive. Cela posé , en admettant que f et £ soient déterminés par les formules ( 9 ) , on aura , pour des valeurs positives de a ,

et pour des valeurs négatives de a ,

Par suite on tirera des formules ( 1 3) , ( « 5) t.» pour des valeurs positives de a

i ktt

a.° pour des valeurs négatives de a

(»A -+-tl*r ,

et l’on pourra énoncer la proposition suivante :

i. w Théorème. Le nombre des racines distinctes de l’équation binôme

est égal au degré n de celte équation. Ces racines ont un module commun équivalent à la puissance — du module de a -s- b . Elles sont représentées , pour des va-

leurs paires de a , par les seconds membres des formules (i 3) ou ( 17 ), pour des valeurs impaires de a , par les seconds membres des formules (i5) ou ( 18 ) ; et, pour les obtenir toutes, il suffit de multiplier successivement l'une d’entre elles par les diverses racines n"*' de l’unité , c'est-à-dire par les diverses valeurs de V expression

Les racines n me ’ de a a- b étant représentées par les seconds membres des équa lions (i3) ou (i5), les puissances m' n " de ces racines ( m étant un nombre entier pre' mut b n ) , ou, en d’autres termes, les diverses valeurs de la puissance de as- b vC ”

du degré seront évidemment comprises , si a est positif , dans la formule

m m „ , a Arm *

nn n

et si a est négatif , dans la formule

m m „ __ (il + i)mt

— — tv—l ± — — v — ,

Dans le premier cas seulement, l’une de ces valeurs sera de 1a forme

Cette valeur qu'on obtiendra , en posant dans la formule (3o) k se o , est celle que nous désignerons par la notation

de sorte qu'en supposant les quantités f> , 'Ç déterminées par les équations ( 9 ) , on aura pour des valeurs positives de a

m mï ,

(33) f e = (fl ■+• b )/— 1 )' ,

et pour des valeurs négatives de a

Par suite les diverses valeurs de la puissance de a b i/, du degré ^ peuvent se déduire , pour des valeurs positives de a , de la formule

ikmir

et , pour des valeurs négatives de a , de la formule

(il + i)w* ,

D est bon d’observer que chacun des facteurs

ikmn ,

compris dans les formules (3o) et (3i) , ou (35) et (36) se réduit & l’une des racines n*’ de la quantité i , ou — t . II est d’ailleurs facile de s’assurer qu’on obtiendra successivement toytes les racines , en attribuant successivement au nombre A dans la

formule ( 37 ) les valeurs entières comprises entre les limites o , — et dans la formule

(38) les valeurs entières comprises entre les limites o, — - — ; pourvu que, suivant

l'hypothèse admise , le nombre m soit premier il n.

Observons encore qu’en vertu des formules (a5) et (3a) on aura généralement pour des valeurs positives de a

Si l’on divise l’unité par la puissance de a-*-b\/—i du degré — , c’est-à-dire, par

le produit (3o) ou (3 ■), on obtiendra la puissance de a-t-b ydT du degré — — . Les diverses valeurs de cette puissance seront comprises , si a est positif , dans la formule

m m v ikmn

et , si a est négatif , dans la formule

m m . (ii + i)mi

Dans le premier cas seulement , l’une de ces valeurs sera de la forme

Cette valeur qu’on obtiendra , en posant dans la formule (4o) A = o , est celle que nous désignerons par la notation

de sorte qu'en supposant les quantités p et £ déterminées par les équations ( 9 ) , on aura . pour des valeurs positives de a ,

l yTTi

(44) ce = (a b ) * ,

et , pour des valeurs négatives de a ,

Eu général m et n étant des nombres entiers quelconques , les deux notations

( 46 ) (a +• 6 »/ — 1 * , ( a -t- i pCTT) »

seront comme la notation

uniquement employées dans le cas où l’expression imaginaire renfermée entre les parenthèses offrira une partie réelle positive , à moins que la fraction — ne se réduise à un nombre entier.

Si la fraction — se réduit à un nombre entier m , alors les notations (46) pourront être employées , quelque soit le signe de la quantité a , et de la formule

on déduira immédiatement les deux suivantes

Si au

contraire

, .m m mdv—i , m — m — mdv —

fl = ± T’

tic se réduit pas à un nombre cutier, alors, en posant pour abréger ,

on tirera des formules (33) et ( 44 ) > mais seulement pour des valeurs positives de a ,

L’équation (49) subsistant pour toutes les valeurs entières ou fractionnaires de la quantité positive ou négative désignée par p , l’analogie nous porte à l'étendre au cas même où la quantité p devient irrationnelle. C'est ce que nous ferons désormais. En conséquence , si p est irrationnel , la notation

{a + OvCT, ) M

sera employée pour désigner le produit

c'est-à-dire la limite vers laquelle converge l’expression

taudis que l’on fait converger la quantité positive ou négative , ± — vers une limite

égale à p .

La résolution de l'équation ( 7 ) entraîne celle d’une équation trinôme de la forme (5o) .r*“ -t- p x" ■+■ q = o .

En effet cette dernière , pouvant s'écrire comme il suit

pourra être remplacée , si — ■ q

nomes comprises dans la formule

est positif, par le système des deux équations bi-

et , si tj- — q est négatif , par le système des deux équations binômes comprises dans la formule

Si n se réduit à l'unité , l’équation (jo) sera réduite à l’équation du second degré

(54) x* •+• p x y zz o,

et admettra deux racines réelles inégales , et comprises dans la formule

deux racines imaginaires inégales comprises dans la formule

si l’on a

enfin deux racines réelles égales et déterminées par la formule

si l’on a

En terminant ce paragraphe nous ferons relativement aux racines n*" de l’unité représentées par les diverses valeurs de l’expression (39) une observation qui n’est pas sans importance.

Si l'on pose , pour abréger ,

et , si l'on nomme l , C deux quantités entières poiitivcs ou négatives, mais tellement choisies que l' — l ne soit pas divisible par n , les expressions

seront deux racines n m " de l’unité , distinctes l'une de l'autre , puisque la différence