SW=T*T*T
, n s n« » , t n(n-t-i)(an-t-i)(3n»-*-3n — 1 )
etc.
et généralement
t m \ mini — i)(m — 2 ) . 1 wi(m— i)(m — a)(m — 3)(m — 4)
■4-»— n-'-r 3 7 "-â - / r r «*- 5 — etc.
Le» deux premières des formules (4) ou (i4) fournissent le moyen de calculer le nombre ■les boulets dont se composent des piles à base carrée ou rectangulaire telles qu'on lus construit dans les arsenaux ; et d’abord , si des boulets sont distribués dans plusieurs
couches superposées de manière à figurer une pyramide a base carrée , le nombre des
boulets compris dans cette pyramide sc trouvera évidemment déterminé par la secondé des formules (i4). De plus, si le carré qui servait de base à la pyramide, et dont chaque
côté renfermait n boulets , sc change çu un rectangle dont les deux côtés renferment
)c premier n , le second n ■*- m boulets , et la pyramide elle -même en un prisme tronqué terminé supérieurement non par un boulet unique , mais par une file de m -t- 1 boulets placés à la suite l’un de l’autre , le nombre total des boulets contenus dans le prisme tronqué sera évidemment
m •+■ i -t- a(m-t-a)-t-3(nt -+■ 3)-t- ..... -t- n (m -s- n) = m S (n) S(n*)=^m *-' j S ( n) ,
ou , ce qui revient au même ,
La formule (16) fournit la règle connue, en vertu de laquelle on obtient le nombre des boulets que contient une pile à base carrée , en multipliant le facteur
c’est-à-dire , le nombre des boulets compris dans l’une des faces obliques et triangulaires de la pile , par la somme
in i
c'est-à-dire par le tiers du nombre des boulets compris dans l'arête qui termine la pile et dans les côtés de la base parallèles à cette arête.
Si, après avoir divisé par n" + * les deux membres de la formule (8), (9) ou (i5), on fait
croître indéfiniment le nombre n , le rapport — et scs diverses puissances s’approchant
alors indéfiniment de la limite zéro , on trouvera
lim
Ainsi , en particulier , si l’on pose successivement m = 1 , m = a , etc. ... on trouvera
Cl 8)
lim
lim
etc.
On peut appliquer les formules (18) et (19) à l'évaluation de la surface d'un triangle ou de la solidité d'une pyramide , en opérant comme il suit.
Considérons d'abord un triangle dont la base soit B et la hauteur //. Divisons cette hauteur II en n parties égales à
(ao)
par n — 1 droites parallèles à la hase B . Les portions de ces droites qui se trouveront renfermées dans le triangle seront respectivement
b , xb , 3 b , ( n — 1 ) b ,
la valeur de b étant
Cela posé , concevons en premier lieu que les deux angles du triangle adjaciculs n la base B soient aigus. L’aire du triangle sera évidemment supérieure & la somme des aires des rctanglcs inscrits qui auraient pour bases les longueurs
et inférieure à la somme des aires des rectangles circonscrits qui auraient pour bases les longueurs
la hauteur de chaque rectangle inscrit ou circonscrit étant la distance h entre deux parallèles consécutives. Donc si l’on prend pour valeur approchée de l'aire du triangle la somme des aires des rectangles circonscrits , savoir ,
(aa)
bh 2 bh
■ nbh
= bkS(n) = ^l BH,
l'erreur commise sera inférieure à l’aire nbh = du plus grand des rectangles cir-
BU
conscrits. Si maintenant on fait croître indéfiniment le nombre n , Teneur commise
décroîtra sans cesse , et la limite de l’expression (ai) , qui sera , en vertu de la formule (18) ,
- BH, a
offrira la véritable valeur de l’aire du triangle proposé.
Si l'un des angles adjacents à la base B devenait obtus , on arriverait encore aux mêmes conclusions en substituant aux rectangles ci-dessus mentionnés des parallélogrammes construits sur les mêmes bases , et dont les côtés pourraient être parallèles à l’un des côtés du triangle donné.
Considérons à présent une pyramide à base triangulaire ou- polygonale. Nommons B la base de cette pyramide , Il sa hauteur , et divisons cette hauteur en n portions égales à
par n — i plans parallèles à celui de la base B. Les sections faites par ces plans dans la pyramide seront semblables à la base B , et les aires de ces sections seront respectivement
la valeur de b étant
Cela posé , le volume de la pyramide sera évidemment supérieur à la somme des volumes des prismes inscrits qui auraient pour bases les sections dont il s'agit , et inférieur à la somme des volumes des prismes circonscrits qui auraient pour bases les mêmes sections et la base de la pyramide , la hauteur de chaque prisme étant la distance h entre les plans de deux sections voisines , et scs côtés étant parallèles à une droite menée de l’un quelconque des points intérieurs de la base B ara sommet de la pyramide. Donc, si l'on prend pour valeur approchée du volume de la pyramide la somme «les volumes des prismes circonscrits , savoir ,
bh ■+■ 4 bh «) bh -t- ..... -+- n»A/i = bh S (n 1 ) = — B H >
l'erreur commise sera inférieur au volume n’ bh = — — du plus grand des prismes circonscrits. Si maintenant on fait croître indéfiniment le nombre n, l’erreur commise
décroîtra sans cesse, et la limite de l’expression (a6), qui sera, en veitu de la formule (ip),
olTrira la véritable valeur du volume de la pyramide proposée.
§ io. Formules pour C évaluation îles logarithmes. Développement du logarithme d'un binôme.
En prenant les logarithmes Népériens des quantités que renferme la formule ( 1 5 ) du 7.' paragraphe , on en conclut
On aura donc , pour des valeurs positives de a ,
et
Ajoutons qu’en vertu de la formule (10} du 5 .' paragraphe chacun des deux rapports qui constituent le premier et le dernier membre de la formule (1) , aura pour limite l’unité, quand a. deviendra infiniment petit.
Soient maintenant x une quantité quelconque, » un nombre entier très* considérable, et
Le binôme 1 -t- x sera le dernier terme de la progression arithmétique
( 5 ) 1, t + s, i + ïs 1 -*- ( r* — «) a , 1 na ,
et l’on aura identiquement
D’autre part, rn étant un nombre entier compris entre les limites o , n y on aura
. 1 ( m ■+• 1 ) a a. 1 + ma
fml | 1 “ | » 1 ,
