SS

Or il ne résulte pas de la formule (43) que la fonction

soit développable , pour toutes les valeurs positives de x , en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x , et que l’on ait par suite , en prenant x > o ,

xs — etc.

ou , ce qui revient au meme ,

SS I + — X -t- —

— etc. ,

Mais , en vertu du théorème 5 , la formule (4a) ou (43) entraînera l’équation (46) si la valeur positive ou négative de x est comprise entre les limites

puisque alors les valeurs numériques des termes de la série comprise dans le second membre de la formule (4o) fourniront une somme inférieure à l'unité.

En calculant les coefficients des diverses puissances de x dans le second membre de la formule (45) , on s’assure facilement que ceux de la troisième et de la cinquième puissance se réduisent à zéro. Or on peut démontrer qu’il doit en être de meme des coefficients de toutes les puissances de degré impair supérieures à la première, c’est-à-dire , que la différence

développée suivant les puissances entières et positives de x doit uniquement renfermer des puissances de degré pair. En effet cette différence pouvant s’écrire comme il suit

(eWf)

ne change pas de valeur, quand on y change le signe de x . Son développement, devant jouir de la même propriété , ne saurait renfermer les puissances impaires de la variable x. Observons encore que l’expression

etc.

xs

• etc.

pouvant être présentée sous la forme

âT5 a . 3 . 4 • 5 \ 2 T 3

etc.

pour toute valeur numérique de x inférieure au nombre 1,179 ••• c'est-à-dire à la racine positive de l’équation

etc..

sera dans ce cas , en vertu du théorème 5 , développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x. Donc la fonction

que l'on déduit de l’expression ( 4 g) , en remplaçant x par — , et par suite l’expression ( 48 ) seront développables en séries convergentes ordonnées scion les puissances entières et positives de la variable x pour toute valeur numérique de cette variable inférieure au nombre 4.35 ... = a ( 3,179 ••• )• Donc la formule ( 46 ) subsistera, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites

il y a plus. Comme , pour de telles râleurs de x , le produit de la somme

i ij - * i

x b i . x jo

— etc.

par la différence savoir ,

1 — e~ r à laquelle on peut toujours substituer son développement ,

se réduira identiquement à x, en vertu de la formule (.{6), on peut affirmer que cette formule subsistera pour toute valeur de x inférieure au nombre c , si ce nombre est tel que la série

etc.

reste convergente entre les limites x = — e, x 3: c . Donc , par suite , la formule

e J -v tr* 1 2* x* 1 2* xt 1 2 6 x 6

3 ' X e x — e-x ~ ' 3 t.2 3o 1 . 2 . 3 . 4 4 2 1 ■ a • 3 • 4 • 5 . 6 Cf ’

que l'on déduit de l'équation (46), en y remplaçant x par- 2x, subsistera pour toutes

les valeurs de x comprises entre les limites x = — 2 c , x = 2 c . Nous prouverons plus

tard que le nombre c , dont il s'agit ici , est précisément égal & * .

Quant aux facteurs nutaériques

6 ’ 3Ïî’

qui , dans les seconds membres des formules (46) et (5i), se trouvent pris tantôt avec le signe tantôt avec le signe —, et multipliés par les divers termes des développements des fonctions

ils sont ce qu’on appelle les nombres de Bernoulli.

§. g. Sommation des puissances entières des nombres naturels.

Volume d’une pyramide à base quelconque.

A l’aide de» principes établis dans les paragraphes précédents , on peut aisément déterminer la somme des m m, ‘ puissances des nombres naturels

En effet , comme ou a

/i(n-*-i) = n» -t- n , n (n i) (ns-2) =n ! -t- 3n‘ -t- an ,

n(/i -*- 1 ) (n-*-a) (n ■+• 3)=n< -t-Gn*-s - 1 1 n‘ -t-6/i ,

les formules (i5) du § i. w donneront

S (n*) S(n) = ,,(,t - Kl ^ , - KJ? ,

S(n J )-t- 3S(n*)-*- aS(n) = ^ÛS^Jl^T . 3 ) . ,

c, „ c, an, s n(n+- i)(n-*-a)(n-t-3)(n-r-4)

S(n«) •+■ 6S(n 3 )-t - 1 1 S(n») -t-bS(n) = — ! — — — ,

et par conséquent

e n(«-s-i)(n -*• 2 ) n(n-t-i) »(n + i)(jn + i)

ou , cc qui revient au même ,

n‘ zz

n(n ■+• i](în + i ) (3n* 3 n — i)

i •+■ iG - 4 - 8i -t-

etc

11 est bon d’observer qu’en vertu des formules ( 4 ) on aura

Ainsi , en particulier , on trouvera

On pourrait facilement déduire les formules (3) ou (4) de l’équation ( 1 4) ou ('5) du § 5. Effectivement , si l’on pose x = n dans l’équation (i5) du § 5 , on en tirera

et par suite

S (n**) = S[n(n-4-i) ... (n -*-m— 1 )] - — Ll S [n (n ■+■ 1 ) ...(n-s- m— 2 )]-*- .

■Im • * om < » __ 1

puis on conclura de cette dernière combinée avec les formules (i5) du § i. IT

n (n 1 ) («+m-ij -+•

3 ™-' — 2 m -*-i n(n -*-i) {n -t- a)(n -t-3) 2 1 "”' — in(n + i)(n+î) n(n - t-i) ■ ~ 11 .

En opérant de la meme manière , on tirera de la formule ( 1 4) du § 5

î”"' — (n -t-Onfn— i)(n— al a"* - '** i (n ■+■ i)n!n— i) (n+- 1 )n

Si , dans l'une des formules (8) , (g) , on pose successivement

m — i , m = a , m = 3 , etc. ......

on retrouvera précisément les formules (3) ou (.{).

Ou pourrait encore faire servir les nombres de Bernoulli au calcul de la somme S(n m ). En effet cette somme est évidemment le coefficient de

dans le développement du polynôme

(io)

suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x. On a d'ailleurs , quel que soit x ,

(n) c** — i —nx -t -+• ■+■ etc. =x(n+ - -t- 1,

et , pour des valeurs numériques de x inférieures à i ,a5o ..... ( voyez le § précédent )

, , x I IX* i x*

(la) = i+— i +7

les coefficients

t-tt- — etc,

que renferment le troisième terme et les suivants , étant précisément les nombres de liernoulli. Cela posé on tirera de la formule ( 10 ), pour des valeurs numériques de x inférieures à i,a5o ,

-xS(n)-

S(nM-

■ S(n m )-*- etc.

puis , en développant le second membre de la formule ( 1 3) suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x , et égalant entre eux les coefficients des puissances de même degré renfermées dans les deux membres, on trouvera

, n 3 n* n n (n ■+■ 1 ) (an ■+■ 1 1

S(».) = T » T -5=-i Jij