Ciceronis, Epist. ad Atticum, lib. )l, cp

Par exemple, pour la résolution de l'équation générale du second degré, ils n'ont pu s'inspirer, ni de leur propre Géométrie, ni de celle d'Euclide. L'une était trop imparfaite, et l'autre ne leur était pas connue.

Ont ils fait disparaître le second terme de l'équation comme le fit Viète plus tard, ou l)ien ont-ils rendu le premier membre carré parfait, suivant la méthode actuelle ?

Ces deux hypothèses sont probables, mais peut-être s'écartent-elles également de la vérité. Vu la bizarrerie de leur manière de penser, dont ils ont donné tant de preuves, les Hindous paraissent avoir suivi une marche moins régulière.

On les voit trop souvent procéder par des artifices de calcul bien singuliers, vraies chinoiseries, casse-tête ou jeux de patience.

Des combinaisons de ce genre, plus ou moins ingénieuses, furent reproduites, plusieurs siècles après, par les Arabes dans leur Algèbre. Or, ceux-ci se sont incontestablement inspirés beaucoup plus des Hindous que des Grecs.

Comment, du reste, les Arabes connaissant Euclide et peu embarrassés pour effectuer le produit de deux binômes, n'auraient-ils pas tiré de ces divers éléments une méthode rationnelle pour Isf solution de l'équation du second degré, s'ils n'avaient été retenus par la crainte d'aller à rencontre de traditions vénérables ayant, depuis longtemps, en Algèbre, acquis droit de cité ?

A quoi 86 réduisent les écrits algébriques des Hindous.

Les principaux algébristes indiens dont le nom est resté, sont Aryabhata au \i^ siècle, et Brahma-Gupta,

né un demi-siècle après. On trouve dans leurs ouvrages, entre autres formules, celles de la somme des carrés et des cubes de la série des nombres entiers, et quelques autres relatives aux segments des côtés d'un triangle.

Mais tout cela y est bien obscur, et quelquefois inintelligible.

Dans le courant du xii« siècle, vivait un autre mathématicien hindou; c'était Baskara, né en 1114. Quoique postérieur de six cents ans à Aryabhata et à son copiste Brahma-Gupta, il ne possédait pas en Algèbre des connaissances plus étendues.

La seule innovation dont on doive lui faire honneur, est l'introduction de commentaires en prose pour expliquer un peu les sentences apocalyptiques de la science indienne, exprimées jusqu'alors en strophes versifiées.

Malgré leur habileté à transformer les expressions algébriques, les Hindous ont eu le tort dans les problèmes indéterminés de se confiner dans les solutions entières ou rationnelles. Dans l'étude des phénomènes ils considéraient seulement les points particuliers où les variables ont des valeurs commensurables.

Cette préoccupation trop exclusive les empocha de s'élever jusqu'à la connaissance des lois.

En outre, ils avaient la commune tendance à poser des questions trop futiles; ils les étudiaient de préférence à celles dont l'utilité était plus grande, au double point de vue théorique et pratique.

Toutes choses équitablement pesées, on peut donc les juger comme de beaucoup inférieurs aux Grecs. Leur petite supériorité en Algèbre ne compense pas leur nullité en GéomOtrie.

Chez les Arabes.

Origine du mot Algèbre.

Rapport entre cette Science et la Chirurgie.

Le premier Traité d'Algèbre, composé parmi les disciples du Prophète, est celui de Mohammed-Ben-Musa, surnommé Al-Karizmi, du lieu de sa naissance. Ce géomètre vivait dans le courant du ix« siècle, sous le calife Al- Mamoun.

D'après plusieurs auteurs, de son nom se serait formé le mot algorithme, écrit auparavant algoritme ou algorisme.

Il eut l'honneur de donner à la Science des généralités mathématiques le nom sous lequel elle est encore désignée.

En arabe, comme en espagnol, en portugais et dans les anciennes langues romanes, unalgébristee^i un chirurgien, chargé de raccommoder les membres cassés et de i^ésoiidre les fractures.

Or, dans l'ancienne Algèbre, la première opération effectuée consistait à résoudre les fractions. Les Indiens commençaient, en effet, toujours par chasser les dénominateurs, afin de donner aux équations une forme entière.

Le procédé fut donc appelé Al-Jèbr (résolution des fractures ou des fractions.)

Cette opinion est confirmée par un ouvrage de Chirurgie composé par Guillaume de Saliceto, de Plaisance, médecin italien du xiii® siècle. Le troisième livre est ainsi inti-

tulé : Liber tertiiis de Algehra, id est^ restauratione convenienti circà fracturam et dissoliUionem ossium ^

Gui de Chauliac, médecin des Papes d'Avignon et surnommé le Père de la Chirurgie française, Lanfranc de Milan et plusieurs autres, donnent au mot algèbre la même signification. Pour eux encore Péquation est une opération chirurgicale.

Le mot algèbre indiquait aussi le rétablissement d'une quantité qui de négative devenait positive. Les Arabes avaient, en effet, Thabitude de n'écrire les termes que dans les membres où ils étaient positifs; ils n'égalaient jamais à zéro l'un des membres de l'équation.

L'opération par laquelle un terme, passant d'un membre dans l'autre, devenait positif, était donc une véritable restauration ou rétablissement. N'appelait-on pas défaillantes les quantités négatives? Il n'est donc pas étonnant que le mot algèbre ait été fréquemment employé au moyen âge par les chirurgiens et les médecins.

Ecrits algébriques des Arabes.

L'ouvrage de Mohammed-Ben-Musa se divise en quatre parties extrêmement disparates. Aussi les érudits se sont-ils demandé si elles sont bien toutes les quatre de lui. C'est assurément fort douteux.

La première renferme les règles concernant la résolution de l'équation du second degré, mais sans démonstration toutefois : c'est un simple énoncé. La découverte de cette théorie, trouvée douze cents ans après Euclide, dans la Géométrie duquel elle est implicitement conte-

\, Guglielmi de Salicelo PlaccnliDi Chirurgia. Venetiis, i5i6. In fàiio, p. 341.

LES âLGÉBRISTES DU MOYEN AGE 301

nue, n'est pas un trait de génie de la part des Arabes, possesseurs de la Géométrie euclidienne.

Mais voici qui est très curieux. Dans la seconde partie de l'ouvrage de Mohammed, la partie pratique, si l'on peut ainsi dire, les équations du second degré sont résolues par une méthode absolument différente des principes exposés dans la première partie. Elle n'a rien d'algébrique. C'est l'antique méthode indienne, indirecte et très imparfaite, procédant par chemins détournés, par artifices de calcul, par combinaisons imprévues et irrégulières, véritables casse-tête chinois.

La troisième partie donne les moyens de vérifier les résultats par une contre-épreuve, et enseigne à faire la multiplication de binômes ayant la forme x+ a etx — b. C'est bien peu : les Hindous savaient cela depuis longtemps.

Quant à la quatrième partie, elle est presque aussi bizarre que la seconde. Elle consiste en règles puériles pour obtenir des sommes ou des différences ne présentant aucune difficulté. On y voit aussi ébauchées quelques-unes des règles sur le calcul des radicaux du second degré, et correspondant à nos expressions.

Si Mohammed a bien compris la théorie exposée dans la première partie, pourquoi semble-t-il l'oublier dans la seconde, et ne l'applique-t-il pas? Et si cette solution par casse-tete n'est pas de lui, pourquoi la donne-t-il à l'exclusion de toute autre? Elle est si compliquée, si bizarre!... et le procédé régulier est si simple et si rationnel!

N'est-ce pas une preuve que Mohammed, comme Brahma-Gupta, Aryabhata et les autres Hindous dont il s'est inspiré, ont été moins éclairés qu'on s'est plu à le redire sans preuves suffisantes à l'appui?

Dans un appendice de son ouvrage, Mohammed-Ben- Musa se pose plusieurs problèmes; mais ils sont tous sans grandes difficultés.

Là encore, toujours avide de solutions singulières et ridicules, il paraît, comme Diophante, ignorer les rapports élémentaires.

Il n'y fait jamais la moindre allusion dans les cas nombreux où il aurait naturellement l'occasion de s'en servir. Toujours aussi il ne recherche que des réponses réelles, évitant les racines négatives et imaginaires.

Les Arabes ont tout reçu des Hindous, mais ils ne les ont pas dépassés. L'Algèbre resta chez eux dans le même état, depuis l'époque où ils y furent initiés jusqu'à leurs derniers écrivains en ce genre, au xi** siècle. Elle ne leur est donc redevable d'aucun développement ou perfectionnement. Il en fut ainsi, d'ailleurs, pour les autres Sciences physiques et naturelles. Dans leurs mains aucune ne progressa.

D'après un manuscrit attribué à l'un de leurs astronomes de la fin du xi« siècle, Omar Alkheyamj', on a supposé qu'ils avaient su résoudre les équations du troisième degré.

Mais dans ce manuscrit, les équations ne sont même pas ordonnées suivant les puissances de l'inconnue, et jamais une équation du troisième degré n'y est résolue algébriquement.

On y trouve, il est vrai, parfois, la construction géométrique de ces équations et leur représentation par des courbes, suivant la méthode employée déjà par les Grecs. Mais représenter géométriquement une équation d'un degré supérieur, et savoir algébriquement la résoudre, sont deux choses absolument différentes.

Il fallut attendre encore quatre ou cinq cents ans, jusqu'au xvi« siècle, la découverte du procédé apte à résoudre l'équation du troisième degré. Cette gloire était réservée à Tartaglia et à Cardan.

Quant aux Arabes, probablement ils ne connurent

môme pas la formule générale de résolution pour les équations du second degré. Ils y distinguaient plusieurs catégories, suivant la forme sous laquelle se présentaient les équations, vu leur manie de n'écrire les termes que dans les membres où ils sont positifs.

Pour chacune de ces catégories il y avait une méthode spéciale. Ils ne soupçonnèrent donc pas l'existence d'une formule unique, capable, par un simple changement de signe, de s'adapter aux cas les plus divers.

Chez les Chrétiens,

Leurs écrits.

A l'origine du moyen âge, les Chrétiens ne paraissent pas s'être occupés beaucoup d'Algèbre. Nous en avons déjà expliqué la raison, et il n'y a rien là de bien étonnant.

Un des premiers algébristes chrétiens, dont les œuvres nous soient parvenues, est Jean de Séville (Joannes Hispalensis.) Il précéda Léonard de Pise, et vécut au xii® siècle. C'était un ancien rabbin juif converti au christianisme.

Dans son Traité d'Algorisme, il parle assez en détail de l'Algèbre. Après avoir enseigné à calculer les racines carrées, même avec des parties décimales, il résout les divers cas de l'équation complète du second degré.

Cette méthode fut répandue, un peu après, en Italie, par Léonard de Pise (Fibonacci.) Il avait séjourné longtemps en Orient. A son retour, il publia son Traité d'Algèbre, dont l'influence en Europe fut très grande, même pendant les siècles suivants.

SAVtNTS ET CURËTIENS

n seulement, en ofTet, les équations du second degré lies qui s'y ramènent sont franchement abordées, mais

sont résolues algébriquement, à l'aide de formules raies.

us ce rapport, Fil)onacci est de beaucoup supérieur Arabes, aux Hindous et aux Grecs de l'école de Diote.

tre son Aàacus dans lequel est renfermé son Traité éArtf, Fibonacci avait aussi composé sur l'Analyse in- ■rainée des deux premiers degrés un ouvrage cité jiar s de Hurgo et par Cardan, sous le nom tle Traité des Wex carrés. Longtemps on l'avait cru perdu ; il a été uvé récemment et publié dans le milieu de ce siècle. irès avoir Indiqué le moyen d'évaluer la somme de la

des carrés, il y traite des problèmes difficiles, par \\)\e : Trouver un carré tel que par l'addition ou lu ;raction d'un ntnubre donné, il égale toujours un :. Fibonacci résolvait l'équation x^ -\- i/' =^ M; et il ait à trouver pour x et y des formules exactes. i xiii* siècle, vivait Jordanus Neraorarius. Sou Algèbre.ée en quatre livres, dtnine la solution de 113 problèdu premier et du second degré. Sa méthode est fort rquable,et tous ses raisonnements sont faits sur des

la même époque, Jean de Mûris, chanoine de Paris, rait une grande renommée pur ses connaissances maatiques. H écrivit, outre divers ouvrages sur l'Astroe, l'Arithmétique et la Géométrie, un Traité d'Algèbre .lié Quadriparttlum numerorum. Régiomontanus en it comme d'une ti'uvre fort remarquable, opiis insigne. xnude. moine grec, envoyé à Venise par l'empereur Jiistantinople, AndronicII, publiait en même temps inimentaire sur Diophunte.

! émule de Planude, le moine Bjirlaam, religieux de Basile et envoyé à Avignon par l'empereur grec, :1e négocier l'alliiire de la réunion des églises, comsurl'Algùbrc un Traité portant le titre de Ac^i^tixtu. gioraontanus, dont nous avons raconté ailleurs les

immenses travaux sur TAstronomie et la Trigonométrie, s'occupa également beaucoup de l'Algèbre. Il avait retrouvé, comme nous l'avons dit, les six premiers livres de celle de Diophante dans la bibliothèque du Vatican.

Le moine franciscain, Lucas de Burgo, dans sa Summa de Arilhmetica, traita fort au long de l'Algèbre : il l'appelait Varie maggiore. Les développements avec lesquels il ne expose les règles et les diverses applications, sont d'une grande importance. Dans ses ouvrages scientifiques, il résout le plus souvent par l'Algèbre les problèmes de Géométrie.

Son Traité d'Algèbre est le premier qui ait été imi primé. C'était pour l'époque un ouvrage complet sur la matière.

Il y montre, comme Fibonacci, une connaissance très nette de la conformité des résultats obtenus par la Géométrie et par l'Algèbre. Cette convergence des deux méthodes, ignorée des anciens Grecs et à peine soupçonnée par Diophante, par les Arabes et les Hindous, se fait jour, de plus en plus, dans les écrits des mathématiciens chrétiens.

Après Lucas de Burgo, dans le courant du xiv® et du xv® siècles, de nombreux Traités d'Algèbre furent publiés en Italie, en France, et ailleurs. Il serait trop long de les citer tous. Ils comprenaient la théorie complète des deux premiers degrés, et, comme appendice ou complément, quelques questions de maxima.

Les équations du troisième degré et des degrés supérieurs commencent à v être étudiées. La solution véritable de l'équation du troisième degré, devait cependant se faire attendre encore une centaine d'années environ.

Notations algébriques en usage au moyen Âge.

Nous ne terminerons pas ce rapide aperçu historique, sans dire quelques mots de la notation alors employée.

Dans l'Algèbre de Nicolas Chuquet, médecin H mathématicien de Paris, au xv« siècle, on voit les abréviations p,.m et R surmonté d'un indice, pour indiquer l'addition, la soustraction et l'extraction des racines. On ne trouve pas encore néanmoins les signes +, —, v^~- Us furent d'une invention plus récente.

Les auteurs précédents, Lucas de Burgo, Fibonacci, etc., avaient généralement indiqué l'inconnue par le mot radix, racine, ou res, chose, cosa. Aussi l'Algèbre fut-elle appelée primitivement chez les Italiens l'ar/e délia cosa, et chez les Allemands die coss.

]je carré de l'inconnue était le census.

Avec Fibonacci, les lettres s'introduisent en Algèbre, non seulement pour représenter les inconnues à chercher, mais aussi pour désigner les quantités connues servant de données aux problèmes.

En cela, Fibonacci imitait Gerbert, qui, dans sa Géométrie, désigne les lignes, soit par deux lettres placées aux deux extrémités, soit par une seule placée au milieu. Pacciolo suivit ensuite le même procédé.

On aurait donc tort d'attribuer à Yiète l'honneur d'avoir représenté, le premier, par des lettres, les quantités indéterminées. Il a sans doute perfectionné le système, mais d'autres l'avaient précédé dans son application.

A cette époque, les vrais signes algébriques sont encore à créer. On n'y trouve encore ni celui de la multiplication a X b; ni le symbole de la proportion a : b : : c : d, imaginé plus tard par Yallis; ni celui de l'égalité =, qui fut

longtemps exprimée par une sorte de huit renversé oo, pour œ^ abréviation de aequalis; ni celui des inégalités > <.

Le langage algébrique n'était donc pas encore réellement fondé. Il était ébauché à peine. On était obligé de recourir à des périphrases plus ou moins longues pour faire connaître la série des opérations à effectuer.

Le mot binôme y était quelquefois emploj^é; mais celui adéquation ne s'y rencontre pas.