CHAPITRE QUATRIÈME
Résume des considérations faites, au sujet de t Algèbre^
dans la première Partie,
Les anciens, nous Tavons démontré plus haut, avaient connu l'Algèbre. Par eux cette Science fut fondée et conduite à une réelle perfection. Elle fut, en outre, dans leurs mains un instrument précieux. Privés de son secours, comment auraient-ils été auteurs des surprenantes découvertes rapportées dans les œuvres d'Archimède et d'Apollonius?
Leur méthode, toutefois, consistait presque uniquement dans l'usage des règles de Calcul relatives aux transformations que Ton peut faire subir aux termes des proportions. Ainsi, en substituant les grandeurs, les unes aux autfes, opéraient-ils une foule de combinaisons.
Néanmoins, et comme conséquence naturelle de leur point de départ, leurs procédés analytiques tenaient, plus que les nôtres, de la Géométrie.
De plus, ils gardèrent la fâcheuse habitude de noter leurs formules en langage ordinaire.
Sans doute, il re fuut pas confondre l'Algèbre, Science des généralisations, avec les signes abréviatifs, imaginés, depuis, en si grand nombre.
Mais ces caractères, plus ou moins cabalistiques et bizarres,' sont très utiles. La lecture des équatior^s les plus
complexes est, grâce à eux, extrêmement facilitée. On suit, dès lors, sans trop de peine, sous les apparences changeantes, la marche des diverses valeurs, au cours des opérations parfois bien longues et bien compliquées.
Les chances d'erreurs, engendrées par les confusions regrettables, sont ainsi écartées pour la plupart. Au chaos succède la clarté.
Pourquoi donc les anciens géomètres, si habiles par ailleurs, n'ont-ils pas créé des symboles analoj^ues aux nôtres? Et s'ils les ont inventés, pourquoi les ont-ils gardés pour eux seuls, en ne les insérant pas dans leurs ouvrages? Leurs raisonnements, d'une étendue presque toujours démesurée, en auraient été moins diffus et moins embrouillés.
Peut-être, l'invention des signes abréviatifs répugnaitelle au génie grec toujours un peu prolixe; peut-être aussi, chaque géomètre avait-il les siens pour son usage personnel ; et aucun n'a-t-il réussi à imposer aux autres sa propre notation.
Quoi qu'il en soit, ne possédant pas le langage algébrique, ils avaient néanmoins l'Algèbre véritable, l'Algèbre littérale, celle des grandeurs indéterminées, la Science des raisonnements mathématiques envisagés dans leurs généralités les plus fécondes et dans les plus sublimes abstractions.
Leur tort fut de ne pas recueillir en corps de doctrine les procédés dont ils se servaient. Us ne crurent pas devoir en faire l'objet d'une Science à part, et n'écrivirent pas sur ce sujet des Traités spéciaux.
Loin de se perfectionner, leur Algèbre disparut donc avec eux. Leurs successeurs ne l'aperçurent pas dans leurs ouvrages, où elle était pourtant implicitement contenue. Incapables de découvrir, eux-mêmes, des procédés analj'tiques de cette valeur, ils auraient, du moins, profité de ceux de leurs devanciers.
Pendant plusieurs siècles, l'Algèbre resta donc comme assoupie. Quand elle se réveilla, c'était à l'époque où la grande Géométrie, négligée à son tour, avait fait p?ace aux
stériles spéculations des néo-platoniciens sur la vaine philosophie des nombres.
Dès son début, elle fut donc numérique^ au lieu d'être littérale. Elle employait des chiffres, et non des lettres. Elle s'engageait dans une funeste voie, et ses progrès devaient y être entravés pour longtemps. L'impulsion reçue dès le principe, la condamnait au particularisme, formellement opposé à sa raison d'être et à sa constitution essentielle.
Combien de siècles lui faudrait-il pour en arriver aux généralisations, puisqu'elle était, pour ainsi dire, mortnée?...
Resserrée dans ces limites étroites, comme dans un étau, combien de temps souffrirait-elle de sa direction initiale, sans pouvoir se mouvoir à l'aise sur son propre terrain?
Les raisonnements perdraient de leur ampleur, et les solutions de leur élégance. Les résultats seraient exprimés, non par des formules en fonction des données du problème, mais par des nombres ne présentant plus aucune trace des opérations accomplies et du chemin parcouru pour arriver au but.
Nous allons voir comment par l'effet des circonstances se réalisèrent ces tristes pressentiments.
Il aurait été cependant si facile de laisser éclore les germes déposés par les premiers semeurs!... Cette floraison scientifique ne devait-elle pas être une conséquence natu relie de leurs travaux?
Chez les Grecs.
L'ATgèbre^ reste dépendante des Sciences inférieures.
Durant tout le moyen âge, pour TOrient et en particulier pour rÉcole d'Alexandrie, l'Algèbre consista principalement dans les procédés pour la résolution des équations numériques. Les équations du second degré furent abordées parfois, simultanément avec plusieurs questions d'Analyse indéterminée, mais ce fut toujours par des méthodes indirectes. La marche régulière ne paraît jamais avoir été suivie.
L'Algèbre demeura longtemps encore pleinement soumise à la Géométrie, elle-même dégénérée. Les Grecs se servirent de celle-ci pour fonder leur Algèbre, comme leurs ancêtres en avaient usé pour constituer leur Arithmétique, si chétive et si pauvre.
Ne connaissant pas encore bien le terrain sur lequel ils s'aventuraient, les Algébristes ne voyaient pas clairement la légitimité de leur méthode. Dans la crainte de s'engager imprudemment sur une fausse route, ils avançaient timidement, comme pas à pas, reculant quelquefois, hésitant toujours, et sentant le besoin de s'appuyersur une Science ayant déjà fait ses preuves.
Pour être plus sûrs d'eux-mêmes, ils demandèrent donc aide et protection à la Géométrie et à l'Arithmétique, en même temps.
Le mieux est, dit-on, l'ennemi du bien, et si l'oiseau n'ose pas se confier à ses ailes, il ne volera jamais. Man-
quant d'audace, les Algébristes n'allèrent pas loin. Il leur fallut ramper, pendant une quinzaine de siècles, avant que leur Science prît un essor définitif et s'élevât dans un vol puissant.
Leurs propositions étaient, pour la plupart, tirées des théorèmes d'Euclide ; sans cela, ils n'auraient eu le courage, ni de les soutenir, ni même de les formuler. Pour en établir l'exactitude, ils se contentaient de montrer leur conformité avec les vérités géométriques déjà connues. Leurs forces n'allaient pas au delà, et ils ne supposaient pas la possibilité d'un autre système.
Par ailleurs, s'ils essayaient de résoudre par leur embryon d'Algèbre des problèmes de Géométrie, ils ne manquaient jamais de représenter par des nombres entiers les données de la question, ^fin de pouvoir, au moindre danger, recourir vite et facilement à la contre-épreuve.
Cette préoccupation est constante dans Diophante, le plus ancien des Algébristes, dont les œuvres et le nom nous soient parvenus. Ses successeurs, pendant plusieurs siècles, ne s'écartèrent pas de la voie tracée par lui.
Pour éliminer, par exemple, une inconnue entre deux équations, ils n'employaient jamais un moyen direct. Ils auraient dû, pour cela, faire intervenir un petit calcul algébrique, dont ils. auraient été incapables d'expliquer la justesse par des considérations basées sur la Géométrie.
Ils cherchaient donc des inconnues auxiliaires et intermédiaires, en rapport déterminé avec la véritable inconnue. Par les unes, ils arrivaient aux autres ; mais la question ne pouvait être résolue sans avoir ainsi été préparée.
Pour bien choisir ces inconnues auxiliaires, il fallait du coup d'œil et parfois de l'habileté. Sur ce point, Diophante excella; son esprit avait des ressources vraiment remarquables. Plus d'une fois, il se tira très heureusement d'un mauvais pas.
Mais cette qualité de l'auteur était un défaut pour la méthode, car Thabileté ne s'enseigne pas; on peut seulement la développer par l'exercice, mais non pas la donner.
Ses lecteurs, après l'avoir vu se jouer dans d'inextrica-
bles difficultés, n'étaient pas plus avancés, chaque cas réclamant une solution différente. S'ils tombaient ensuite sur une question non prévue par Diophante, ou non traitée par lui, Touvrage consulté leur servait peu pour sortir d'embarras.
Le plus ancien des Algébristes grecs.
Ce Diophante dont nous venons de parler, appartenait à rÉcole d'Alexandrie. Il vécut, on ne sait trop à quelle époque, probablement du iv« au v« siècle de notre ère.
Son Algèbre, dont le titre était Les Arithmétiques, ne nous a pas été entièrement conservée. Elle se composait de douze livres, dont les six premiers furent, comme nous l'avons dit, découverts par Régiomontanus, au xv» siècle dans la bibliothèque du Vatican.
Le titre indique bien le but et l'esprit de ce travail. C'est, en toute vérité, une Algèbre arithmétique. A cette époque, du reste, l'Algèbre était considérée comme une Arithmétique supérieure. Il en fut ainsi jusqu'au xvi* siècle.
L'auteur y traite quelques problèmes déterminés des deux premiers degrés ; mais il s'y occupe principalement des questions indéterminées, dont il recherche toutes les solutions entières et rationnelles.
Malgré ses imperfections, cet ouvrage servit de manuel aux Grecs, et, plus tard, aux Arabes du moyen âge. A l'époque de la Renaissance, il fut commenté par des géomètres italiens, allemands et français, dont plusieurs de grand mérite.
Nous dirons quelques mots de la manière dont s'expri-^ mait Diophante.
Le carré d'un nombre était appelé puissance (Suvaji.'.;) et indiqué par l'abréviation Su. Ce terme est tiré d'Euclide et d'Apollonius, d'après lesquels ce quejo^w/ une ligne est le carré (Terpayovo;) de cette ligne.
Au lieu de considérer, ensuite, les divers ordres de puissances comme formant une série régulière, il leur donnait à chacune un nom spécial.
La troisième puissance était le cube (y-uSo;;) la quatrième le carré — carré (Suya7.oSuva;xt;;) la cinquième, le carré — cube (Suvaaoz-uêo;;) la sixième, le cube — cul)e (/.uSoyjj?o;.)
La cinquième était donc, d'après lui, le produit du carré par le cube; la sixième était le carré du cube.
Sa progression de puissances n'allait pas plus haut.
Les abréviations employées pour les désigner, étaient xu (de îcuoo;) pour la troisième; âSii, pour la quatrième; puis, successivement /-^'j, jcx'j. L'unité avait pour symbole (J5.0 (de [i>.ovzç, monade.)
Dans le premier livre, il expose la règle des signes, pour l'addition, la soustraction et même la multiplication.
Il est curieux de le voir rapporter, sans commentaire et sans explication, le principe fondamental : Moins multiplié par moins ^ donne plus; moins multiplie' pa?' plus domine moins.
Une quantité défaillante (négative,) dit-il, multipliée par une quantité défaillante, produit une quantité abondante (positive.) Au contraire, une quantité défaillante multipliée par une quantité abondante produit une quantité défaillante.
A ce propos, le célèbre Lagrange fait une remarque judicieuse, pour montrer que l'auteur des Arithmétiques avait eu des prédécesseurs en Algèbre.
Diophante, en effet, présente la règle des signes pour la multiplication des facteurs négatifs, comme une simple définition. Ce principe n'est pas cependant évident en soi, et les commençants ont parfois bien de la peine à le saisir. On ne peut leur en montrer l'exactitude sans des raisonnements détaillés.
Très probablement, il a existé avant Diophante des Traités d'Algèbre dans lesquels cette règle était suffisamment expliquée et solidement établie.
Diophante ne serait donc pas l'inventeur de cette Science ; s'il y a fait des découvertes, elles se rapportent surtout à l'Analyse indéterminée, dont il s'est occupé de préférence.
Son ouvrage devait s*étendre assez loin dans cet ordre. Les six derniers livres, malheureusement perdus, abordaient vraisemblablement des questions assez difficiles, car, dans les six premiers livres, parvenus jusqu'à nous, les problèmes résolus se compliquent graduellement.
Quant à la règle des signes pour la multiplication des facteurs négatifs, Diophante, malgré la connaissance qu'il en avait, ne l'appliquait jamais, car il ne faisait jamais d'opération purement algébrique. Avait-il à former le carré ou le cube de la somme ou de la différence de deux quantités, il en présentait les résultats sans indiquer jamais comment il les avait obtenus.
Pour noter les quantités défaillantes, il usait d'un signe particulier, une sorte de psi renversé 'l^, équivalent à notre signe moùis. Il n'en avait aucun pour l'addition; il se contentait d'écrire, les unes à côté des autres, les quantités à ajouter, sans mettre entre elles aucun signe distinctif.
La règle de Taddition algébrique est cependant clairement énoncée. Il faut, dit-il, réunir ensemble toutes les quantités abondantes d'un coté; puis, toutes les quantités défaillantes, et soustraire cette seconde somme de la première.
Les quantités changent de signe en passant d'un membre dans un autre. Il recommande de ne pas l'oublier, car les abondantes deviennent défaillantes et réciproquement.
Ses règles relatives aux exposants des puissances sont exactes et assez étendues. Nous citerons quelques-uns de ses exemples, en posant en face, pour plus de clarté, l'expression moderne correspondante.
ao
xu
-XSu: uo
l.C. à-d.aX-
= i;«»xi=l
(Tu
«'xi
fAO a
ai .
ai'
Les coefficients portent le nom de multitudes ou de fractiotiSj suivant qu'ils sont entiers ou fractionnaires.
L'inconnue est appelée le nombre ; les diverses espèces d'inconnues sont le carré ou le cube du nombre cherché.
Le signe représentant l'inconnue est ordinairement une sorte de sigma accentué, S; quant aux quantités connues, elles sont toujours indiquées par des nombres déterminés.
Après l'énoncé de ces diverses règles, Diophante en arrive à la solution des problèmes. Il en pose plusieurs centaines, et les difficultés vont toujours en augmentant.
Le premier est très simple : Partager un nombre en deux parties dont la différence est donnée. — Cela revient à chercher deux nombres dont on connaît la somme et la différence.
Beaucoup de problèmes ressemblent à celui-ci, avec quelques variations dans les circonstances. Ce qui est connu est, non pas la différence des nombres cherchés, mais leur rapport ou raison, leur produit, la différence de leurs carrés, la raison entre leur somme et la somme de leurs carrés, ou bien la raison entre le carré du plus petit et la somme des deux nombres, la raison entre le produit des deux nombres et leur somme ou leur différence, etc., eLC.. .
Ensuite, les difficultés croissant, il faut chercher, non
pas deux nombres, mais trois ou quatre liés entre eux par certaines relations; ou bien, il s'agit, non seulement des carrés, mais des cubes, des cubes mélangés aux carrés, etc. Ce sont des séries de nombres en progression arithmétique ou géométrique, dont la somme et la différence sont des carrés, etc.
Par la manière dont il résout ces divers problèmes, dont la plupart pourraient Tôtre à Taide seulement de deux ou trois principes, on s'aperçoit que Diophante ne voyait pas clairement le but auquel il croyait tendre, et ne se rendait pas bien compte de la puissance de l'instrument dont il essayait de se servir.
Il lui aurait sufli de savoir traiter d'une façon générale les deux cas suivants :
a!x±b'y=:q' ] et
ax*'±hxz=q.
Mais il n'abordait jamais directement des équations de ce genre.
L'Algèbre, même élémentaire, n'a donc pas été constituée par lui, quoiqu'elle lui doive certains perfectionnements.
Sa méthode, en effet, consistait dans le choix d'inconnues auxiliaires et dans l'emploi varié d'artifices de calcul, plutôt que dans une marche régulière.
Un exemple, mieux que des paroles, fera comprendre sa manière de procéder :
Trouver deux nombres dont la somme et le produit soient donnés.
Diophante se gardait bien de poser les équations
xy=q.
En faisant y = p — x, il aurait pu facilement éliminer une des deux inconnues et poser
d'où
px — 0:2 = ^;
et
A cette voie directe, il préfère un chemin détourné. Supposons, dit-il, la somme des deux nombres égale à 20 et leur produit égal à 96. Donnons-leur la différence la plus petite qu'on puisse imaginer sans les rendre fractionnaires : cette différence sera 2.
Dans ce cas, le plus grand de ces nombres serait la moitié de leur somme plus la moitié de leur différence, 10 + * î et le plus petit serait !0 — 1 . Ces deux nombres seraient donc 11 et 9.
Si je les multiplie l'un par l'autre, j'obtiens 99. Je remarque, tout de suite, entre ce produit 99 et le carré de leur demi-somme (10 x 10 = 100) la différence d'une unité.
D'autre part, cette unité de différence n'est pas une unité simple, mais le carré de l'unité. Il suffit, pour s'en convaincre, de considérer les opérations effectuées :
Or, cette différence (I2) entre le carré de la demi-somme et le produit des deux nombres, est précisément le carré de la moitié de la différence (2) supposée entre les deux nombres.
De ce fait, je tire cette conclusion générale :
Si du carré de la demi- somme on retranche le carré de la demi' différence, on obtient le produit des deux nombres cherchés.
En d'autres termes : Si du carré de la demi-somme on retranche le produit des deux nombres, on obtient le carré de la demi-différence.
Il est donc très facile de ramener ce problème, si compliqué en apparence, à celui de la recherche de deux nombres dont on connaît la somme et la différence.
Appliquons ce principe au cas proposé.
Du carré de la demi-somme (JO^ = 100) retranchons le produit 96, il reste 4 : c'est le carré de la demi-différence. Extrayons la racine de 4, nous avons 2; c'est la demidifférence. La différence entière est donc 4.
Le problème revient maintenant à trou\ er deux nombres dont la somme est 20, et la différence 4. Ce cas est extrêmement facile, et les deux nombres sont évidemment 12 et 8.
Voilà donc un des artifices imaginés par Diophante. L'auteur est d'une remarquable ingéniosité pour des inventions de ce genre; mais son habileté fait son défaut, car elle l'empêche de s'attacher aux méthodes générales qui seules constituent la véritable Algèbre.
Diophante découvrit fort bien que le cas proposé ne pouvait donner des réponses en nombres entiers et réels, sans la réalisation de deux conditions nécessaires : d'abord, le carré de la demi-somme devait dépasser leur produit ; ensuite, la différence entre le carré de la demi-somme et le produit devait être un carré parfait.
Les deux nombres cherchés sont donc obtenus en ajoutant (pour le plus grand) et en retranchant (pour le plus petit) à la moitié de la somme donnée la racine carrée de la différence entre le carré de la demi-somme et le produit connu des deux nombres.
Dans l'exemple choisi, en effet, on a bien
.=f±^(Sy 96.
N'est-ce pas la formule moderne, ou
tirée de l'équation régulière
X' — pX'^q=0?
La seule inspection de la formule montre, tout de suite, la condition de possibilité du problème découverte péniblement par Diophante. En effet, la valeur de x ne saurait être réelle, si le carré de la demi-somme ne surpasse pas le produit des deux nombres.
Il faut de toute nécessité Tinégalité
à moins de supposer les deux nombres cherchés égaux entre eux. Alors, leur produit égalerait exactement le carré de leur demi-somme, et Ton aurait
3Iais si l'inégalité devenait
le problème serait impossible, ou, du moins, les réponses auraient une valeur purement imaginaire.
Donc, plus la différence entre les deux nombres sera considérable, plus sera grande aussi la dift'érence entre le carré de la demi-somme et leur produit.
En outre, le problème de Diophante est le simple énoncé d'une propriété remarquable de l'équation générale du second degré, savoir : la somme des racines de l'équation égale le coefficient de x, pris en signe contraire (;>,) et leur produit égale le terme connu {q.)
Diophante est loin d'avoir usé de ces méthodes générales. On le voit toujours préparer ses questions ou ses solutions, en essayant au hasard des nombres commensurables, pour trouver les divers rapports existant entre leur somme, leur différence, leur produit, leur carré, leur cube, etc.
D'après certains auteurs, il aurait connu le procédé régulier, mais ne s'en serait pas servi ouvertement, alin de ne pas livrer son secret. 11 voulait empccher les autres
de devenir aussi habiles que lui, et ne pas se priver du plaisir de multiplier les problèmes, qui, différents en apparence, pouvaient tous se traiter par la môme méthode.
On adressa, plus tard, un reproche analogue à Tartaglia et à Cardan pour la solution de l'équation du troisième degré. Nous verrons également Leibniz et Newton, après l'invention du Calcul infinitésimal, se proposer mutuellement des énigmes à ce sujet.
En fait, quand Diophante cherche, par exemple, deux nombres dont la différence ait une raison donnée avec la différence de leurs carrés, il ne songe jamais que cette raison est précisément la somme de ces deux nombres.
Ignorait-il les égalités
et
C'est peu probable, car la Géométrie d*Euclide enseignait ces propositions.
De même, s'il parle du rapport réciproque entre la somme de deux nombres et la différence de leurs carrés, il ne fait pas la remarque si simple, que ce rapport est précisément la différence de ces deux nombres suivant la formule élémentaire
Peut-être aussi, ne savait-il pas démontrer abstraitement ces principes divers. A la façon dont il procède, on le croirait peu familiarisé avec le Calcul algébrique.
Cependant, comme parfois il ne se contente pas de donner la solution du cas étudié, mais discute, en outre, les conditions de possibilité du problème, il semble être plus avancé dans la connaissance des méthodes générales qu'on ne pourrait le croire tout d'abord.
Il aurait donc fait, à part lui, sur des données littéra-
29i SAVANTS ET CHRÉTIENS
les et indéterminées, les calculs vraiment algébriques, dont il ne présente ailleurs que les résultats numériques. Du reste, plusieurs de ces formules algébriques ressortent si naturellement des théorèmes d'Euclide parfaitement connus de Diophante, qu'il paraît impossible que celui-ci ne les ait découvertes, dès qu'il a eu tourné son esprit vers les spéculations abstraites, d'ordre purement mathématique.
L'Histoire nous a laissé très peu de détails biographiques sur Diophante.
Le peu qu'on en sait est renfermé dans une sorte d*épigramme versifiée, composée par un poète grec et conservée dans l'Anthologie.
Cette épigramme n'a peut-être pas une valeur historique. Peut-être n'est-elle, comme beaucoup d'autres, que le simple énoncé d'un problème.
Bachet de Méziriac, traducteur de Diophante au xvii® siècle, a traduit aussi cette épigramme en vers latins. Les voici :
Hic biophantus habet tumulum^ qui tempora vitx
lUxus mira dénotât arte tibi.
Egit sextantem juvenis, lanugine malas
Vestire hinc cœpit parte duodecimà.
Septante uxori post hœc sociatur, et anno
For/noms quinto nascitur inde puer.
Semissem œlatis postquam attiyit Hle paternœ,
Infelix subite morte peremptus obit.
Quatuor œstates genitor lugere superstes
Cogitur ; hincannos illius assequere.
D'après l'inscription écrite sur son tombeau, Diophante aurait donc passé le sixième de sa vie dans l'enfance, et le douzième, dans Tadolescence. Il se serait ensuite marié, et serait demeuré dans cette union le septième de sa vie, plus cinq ans avant d'avoir un fils. Celui-ci, après avoir vécu la moitié de Tclge auquel son père parvint, serait
mort, et son père lui aurait survécu quatre ans. Quel était l'âge de Diophante quand il mourut ?
La réponse est fournie par Téquation suivante, facile à poser et à résoudre :
Les Grecs du moyen âge suivirent Diophante pas à pas, et n'allèrent pas plus loin que lui en Algèbre. Nous ne nous attarderons donc pas à en parler.
Il est assez difficile de préciser quel degré d'influence exerça Diophante en Europe. D'un côté, son ouvrage fut découvert par Régiomontanus seulement au xy« siècle, lorsque, depuis deux cent cinquante ans, Fibonacci avait transporté en Italie TAlgèbre empruntée à l'Orient.
D'autre part, Diophante ayant été constamment considéré comme un maître par les Orientaux, a dû par eux influer sur le développement de l'esprit scientifique en Occident.
Chez les Hindous,
Leur méthode.
Très imparfaits en Géométrie, comme nous l'avons dit plus haut, les Hindous furent plus heureux dans les spéculations abstraites sur les nombres.
A lV::coiitre des Grecs, ils eurent une Algèbre indépendante de la Géométrie, comme l'avait été leur Arithmétique,
Les données des problèmes étaient représentées, non par des chiffres, mais par les initiales des mots servant à les désigner. Diophante avait employé ce système, mais seulement pour exprimer les diverses puissances.
Bien avant lui, cependant, Aristote avait deviné l'avantage des notations générales dans les calculs. Il avait songé à représenter par des lettres les quantités indéterminées. Ces lettres n'étaient pas seulement des abréviations par initiales, mais de véritables symboles. Ainsi, par exemple, a, p, y, ^, etc., indiquaient la force, la masse^^ l'espace, le temps, etc., absolument comme dans les méthodes modernes. Cet usage se retrouve dans Cicéron *.
Quoique Grec, Diophante n'avait pas en cela imité Aristote.
Les Hindous, au contraire, eurent en Algèbre, sous ce rapport, un système de notations analogue à celui du Stagirite.
Selon toute vraisemblance, néanmoins, ils ne lui empruntèrent rien. Les mêmes idées peuvent germer dans des esprits bien différents, et à des époques très éloignées les unes des autres. Une certaine analogie, dans la manière de concevoir certaines choses, n'est pas toujours une preuve de la communauté d'origine, ou d'une influence réciproque exercée ou reçue.
On ne sait pas, au juste, à quel degré de perfection parvint la science algébrique des Hindous. Ils résolvaient l'équation du second degré, et obtenaient les solutions entières de plusieurs équations indéterminées des deux premiers degrés à deux inconnues. Us savaient, en effet, éliminer une des inconnues entre les équations.
(]ependant, vu la concision de leurs écrits, il est bien difficile, comme nous l'avons déjà fait remarquer, de dé-, couvrir par quels moyens ils arrivèrent à ces résultats.
