CHAPITRE li

Les définitions mathématiquas et ^Enseignement.

1. Je dois parler ici des définitions générales en mathématiques ; c'est du moins ce que dit le titre du chapitre, mais il me sera impossible de me renfermer dans ce sujet autant que l'exigerait la règle de Funité d'action ; je ne pourrai le traiter sans parler un peu d'autres questions voisines, et si je suis ainsi obligé de marcher de temps en temps dans les plates-bandes à droite ou à gauche, je vous prie de vouloir bien me le pardonner.

Qu'est-ce qu'une bonne définition ? Pour le philosophe, ou pour le savant, c'est une définition qui s'applique à tous les objets définis et ne s'applique qu'à eux; c'est celle qui satisfait aux règles de la logique. Mais dans l'enseignement, ce n'est pas cela; une bonne définition, c'est celle qui est comprise par les élèves.

Gomment se fait-il qu'il y a tant d'esprits qui se refusent à comprendre les mathématiques? N'y a-t-il

pas là quelque chose de paradoxal? Comment, voilà une science qui ne fait appel qu'aux principes fondamentaux de la logique, au principe de contradiction, par exemple, à ce qui fait pour ainsi dire le squelette de notre entendement, à ce qu'on ne saurait dépouiller sans cesser de penser, et il y a des gens qui la trouvent obscure! et même ils sont en majorité I Qu'ils soient incapables d'inventer, passe encore, mais qu'ils ne comprennent pas les âémonstrations qu'on leur expose, qu'ils restent aveugles quand nous leur présentons une lumière qui nous semble briller d'un pur éclat, c'est ce qui est tout à fait prodigieux.

Et pourtant il ne faut pas avoir une grande expérience des examens pour savoir que ces aveugles ne sont nullement des êtres d'exception. Il y a là un problème qu'il n'est pas aisé de résoudre, mais qui doit préoccuper tous ceux qui veulent se vouer à l'enseignement.

Qu'est-ce que comprendre? Ce mot a-t-il le même sens pour tout le monde ? Comprendre la démonstration d'un théorème, est-ce examiner successivement chacun des syllogismes dont elle se compose et constater qu'il est correct, conforme aux règles du jeu? De même comprendre une définition, est-ce seulement reconnaître qu'on sait déjà le sens de tous les termes employés et constater qu'elle n'implique aucune contradiction?

Oui, pour quelques-uns ; quand ils auront fait cette constatation, ils diront : j'ai compris. Non, pour le plus grand nombre. Presque tous sont

LES DÉFINITIONS MATHÉMATIQUES ET l'eNSEIGNEMENT 125

beaucoup plus exigeants, ils veulent savoir, non seulement si tous les syllogismes d'une démonstration sont corrects, mais pourquoi ils s'enchaînent dans tel ordre, plutôt que dans tel autre. Tant qu'ils leur semblent engendrés par le caprice, et non par une intelligence constamment consciente du but à atteindre, ils ne croyent pas avoir compris. Sans doute ils ne se rendent pas bien compte eux-mêmes de ce qu'ils réclament et ils ne sauraient formuler leur désir, mais s'ils n'ont pas satisfaction, ils sentent vaguement que (juelque chose leur manque. Alors qu'arrive-t-il ? Au début, ils aperçoivent encore les évidences qu'on met sous leurs yeux; mais comme elles ne sont liées que par un fil trop ténu à celles qui précèdent et à celles qui suivent, elles passent sans laisser de trace dans leur cerveau; elles sont tout de suite oubliées; un instant éclairées, elles retombent aussitôt dans une nuit éternelle. Quand ils seront plus avancés, ils ne verront plus même cette lumière éphémère, parce que les théorèmes s'appuient les uns sur les autres et que ceux dont ils auraient besoin sont oubliés ; c'est ainsi qu'ils deviennent incapables de comprendre les mathématiques.

Ce n'est pas toujours la faute de leur professeur; souvent leur intelligence, qui a besoin d'apercevoir le fil conducteur, est trop paresseuse pour le chercher et pour le trouver. Mais pour leur venir en aide, il faut d'abord que nous comprenions bien c* qui les arrête.

• D'autres se demanderont toujours à quoi cela

sert; ils n'auront pas compris s'ils ne trouvent autour d'eux, dans la pratique ou dans la nature, la raison d'être de telle ou telle notion mathématique. Sous chaque mot, il» veulent mettre une image sensible ; il faut que la déflnitiçn évoque cette image, qu'à chaque stade de la démonstration ils la voient transformer et évoluer. A cette condition seulement, ils comprendront et ils retiendront. Ceux-là souvent se font illusion à eux-mêmes; ils n'écoutent pas les raisonnements, ils regardent les figures ; ils s'imaginent avoir compris et ils n'ont fait que voir.

2. Que de tendances diverses! Faut-il les combattre? Faut-il nous en servir? Et si nous voulions les combattre, laquelle faudrait-il favoriser? Est-ce à ceux qui 'se contentent de la logique pure qu'il faut montrer qu'ils n'ont vu qu'une face des choses? Ou bien faut-il dire à ceux qui ne se satisfont pas à si bon marché que ce qu'ils réclament n'est pas nécessaire?

En d'autres termes, devons-nous contraindre les jeunes gens à changer la nature de leur esprit? Une pareille tentative serait vaine; nous ne possédons pas la pierre philosophais qui nous permettrait de transmuter les uns dans les autres les métaux qui nous sont confiés ; tout ce que nous pouvons faire c'est de les travailler en nous accommodant à leurs propriétés.

Bien des enfants sont incapables de devenir mathématiciens, auxquels pourtant il faut ensei-