LES DÉFINITIONS MATHÉMATIQUES ET L*IIISEIGNEMB1IT

gner les mathématiques ; et les mathématiciens eux-mêmes ne sont pas tous coulés dans le même moule. Il suffît de lire leurs ouvrages pour distinguer parmi eux deux sortes d'esprits, les logiciens comme Weierstrass, par exemple, les intuitifs comme Riemann. Même différence parmi nos étudiants. Les uns aiment mieux traiter leurs problèmes « par l'analyse » comme ils disent, les autres « par la géométrie ».

Il est bien inutile de chercher à y changer quelque chose, et cela d'ailleurs serait-il désirable? Il est bon qu'il y ait des logiciens et qu'il y ait des intuitifs ; qui oserait dire s'il aimerait mieux que Weierstrass n'eût jamais écrit, ou qu'il n'y eût pas eu de Riemann. Il faut donc nous résigner à la diversité des esprits, ou mieux, il faut nous en réjouir.

3. Puisque le mot comprendre a plusieurs sens, les définitions qui seront le mieux comprises des uns ne seront pas celles qui conviendront aux autres. Nous avons celles qui cherchent à faire naître une image, et celles où Ton se borne à combiner des formes vides, parfaitement intelligibles, mais purement intelligibles, que l'abstraction a privées de toute matière.

Je ne sais s'il est bien nécessaire de citer des exemples? Citons-en pourtant, et d'abord la définition des fractions va nous fournir un exemple extrême. Dans les écoles primaires, pour définir une fraction, on découpe une pomme ou une tarte;

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on la découpe par la pensée bien entendu et non en réalité, car je ne suppose pas que le budget de l'enseignement primaire permette une pareille prodigalité* A rÉcofe normale supérieure, au contraire, ou dans les Facultés, on dira : une fraction, c'est Tensemble de deux nombres entiers séparés par un trait horizontal ; on définira par des conventions les opérations que peuyent subir ces symboles; on démontrera que les règles de ces opérations sont les mêmes que dans le calcul des nombres entiers, et on constatera enfin qu'en faisant, d'après ces règles, la multiplication de la fraction par le dénominateur, on retrouve le numérateur. C'est très bien parce qu'on s'adresse à de» jeunes gens, depuis longtemps familiarisés avec la notion des fractions à forcé d'avoir partagé des pommes ou d'autres objets, et dont l'esprit, affiné par une forte éducation mathématique, en est arrivé peu à peu à désirer une définition purement logique. Mais quel serait l'ahurissement d'un débutant à qui on voudrait la servir?

Telles sont aussi les définitions que vous trotivei dans un livre justement admiré et bien des fois couronné, les « Grundlagen der Géométrie » de Hilbert. Voyons en effet comment il débute : Pensons trois systèmes de choses que nous appellerons points^ droites et plans. Que sont ces « choses » ? nous ne le savons pas, et nous n'avons pas à le savoir; il serait même fâcheux que nous cherchions à le savoir ; tout ce que nous avons le droit d'en savoir, c'est ce que nous en apprennent les axiomes^^