LA LOGIQUE DE HUBERT

J'arrive maintenant au travail capital de M. Hilbert qu'il a communiqué au Congrès des Mathématiciens à Heidelberg, et dont une traduction française due à M. Pierre Boutroux a paru dans VEnseignement mathématique^ pendant qu'une traduction anglaise due à M. Halsted paraissait dans The Monist. Dans ce travail, où Ton trouvera les pensées les plus profondes, l'auteur poursuit un but analogue à celui de M. Russell, mais sur bien des points il s'écarte de son devancier.

« Cependant, dit-il, si nous y regardons de près,

nous constatons que dans les principes logiques, tels qu'on a coutume de les présenter, se trouvent impliquées déjà certaines notions arithmétiques, par exemple la notion d'Ensemble, et, dans une certaine mesure, la notion de Nombre. Ainsi nous nous trouvons pris dans un cercle et c'est pourquoi, afin d'éviter tout paradoxe, il me paraît nécessaire de développer simultanément les principes de la Logique et ceux de TArithmétique. »

Nous avons vu plus haut que, ce que dit M. Hilbert des principes de la Logique tels qu'ion a coutume de les présenter^ s'applique également à la logique de M. Russell. Ainsi, pour M. Russell, la Logique est antérieure à TArithmétique; pour M. Hilbert, elles sont « simultanées ». Nous trouverons plus loin d'autres différences plus profondes encore. Mais nous les signalerons à mesure qu'elles se présenteront; je préfère suivre pas à pas le développement de la pensée de Hilbe rt, en citant lextuellemen les passages les plus importants.

« Prenons tout d'abord en considération 1 objet 1. » Remarquons qu'en agissant ainsi nous n'impliquons nullement la notion de nombre, car il est bien entendu que 1 n'est ici qu'un symbole et que nous ne nous préoccupons nullement d'en connaître la signification. « Les groupes formés avec cet objet, deux, trois, ou plusieurs fois répété... » Ah! cette fois-ci, il n'en est plus de même, si nous introduisons les mots deux, trois et surtout plusieurs, nous introduisons la notion de nombre; et alors la définition du nombre entier fini que nous

trouverons tout à l'heure, arrivera bien tard. L'auteur était beaucoup trop avisé pour ne pas s'apercevoir de cette p^^'Hion de principe. Aussi, à la fin de son travail, cu^^-^che-t-il à procéder à un vrai replâtrage.

Hilberl introduit ensuite deux objets simples 1 et = et envisage toutes les combinaisons de ces deux objets, toutes les combinaisons de leurs combinaisons, etc. Il va sans dire qu'il faut oublier la signification habituelle de ces deux signes et ne leur en attribuer aucune. Il répartit ensuite ces combinaisons en deux classes, celle des êtres et celle des non-êtres et jusqu'à nouvel ordre cette répartition est entièrement arbitraire; toute proposition affirmative nous apprend qu'une combmaison appartient à la classe des êtres ; toute proposition négative nous apprend qu'une certaine combinaison appartient à celle des non-êtres.

Signalons maintenant une différence qui est de la plus haute importance. Pour M. Russell un objet quelconque qu'il désigne par x c'est un objet absolument indéterminé et sur lequel il ne suppose rien; pour Kilbert, c'est l'une des combinaisons formées avec les symboles 1 et = ; il ne ^saurait concevoir qu'on introduise autre chose que des combinaisons des objets déjà définis. Hilbert formule d'ailleurs sa pensée de la façon la plus

nette, et je crois devoir reproduire in extenso son énoncé. « Les indéterminées qui figurent dans les axiomes (en place du quelconque ou du tous de la logique ordinaire) représentent exclusivement l'ensemble des objets et des combinaisons qui nous sont déjà acquis en Tétat actuel de la théorie, ou que nous sommes en train d'introduire. Lors donc qu'on déduira des propositions des axiomes consi* dérés, ce sont ces objets et ces combinaisons seuls que Ton sera en droit de substituer aux indéterminées. Il ne faudra pas non plus oublier que, lorsque nous augmentons le nombre des objets fondamentaux, les axiomes acquièrent du même coup une extension nouvelle et doivent, par suite, être de nouveau mis à répreuve et au besoin modifiés, »

Le contraste est complet avec la manière de voir de M. Russell. Pour ce dernier philosophe, nous pouvons substituer à la place de x non seulement des objets déjà connus, mais n'importe quoi. Russell est fidèle à son point de vue, qui est celui de la compréhension. Il part de Tidée générale d'être et Tenrichit de plus en plus tout en la restreignant, en y ajoutant des qualités nouvelles. Hilbert ne reconnaît au contraire comme êtres possibles que des combinaisons d'objets déjà connus; de sorte que (en ne regardant qu'un des côtés de sa pensée) on pourrait dire qu'il se place au point de vue de Textension.

Poursuivons Texposé des idées de Hilbert. H introduit deux axiomes qu'il énonce dans son langage symbolique mais qui signifient, dans le langage des profanes comme nous, que toute quantité est égale à elle-même et que toute opération faite sur deux quantités identiques donnent des résultats identiques. Avec cet énoncé ils sont évidents, mais les présenter ainsi serait trahir la pensée de M. Hilbert. Pour lui les mathématiques n'ont à combiner que de purs symboles et un vrai mathématicien doit raisonner sur eux sans se préoccuper de leur sens. Aussi ses axiomes ne sont pas pour lui ce qu'ils sont pour le vulgaire. '^^

Il les considère comme représentant la définition par postulats du symbole = jusqu'ici vierge de toute signification. Mais pour justifier cette définition, il faut montrer que ces deux axiomes ne conduisent à aucune contradiction.

Pour cela M. Hilbert se sert du raisonnement du n* III, sans paraître s'apercevoir qu'il fait de Tinduction complète.

La fin du mémoire de M. Hilbert est tout à fait énigmatique et nous n'y insisterons pas. Les contradictions s'y accumulent ; on sent que Tauteuî

a vaguement conscience de la pétition de principe qu'il a commise^ et qu'il cherche vainement à replâtrer les fissures de son raisonnement.

Qu'est-ce à dire? Au moment de démontrer que la définition du nombre entier par V axiome d'induction complète n'impliqim pas contradiction^ M, Hilbert se dérobe comme se sont dérobés MM. Russell et Couturatj parce que la difficulté est trop grande.