Zéro n'est le suivant d'aucun nombre entier

3. Le suivant d'un entier est un entier auquel il conviendrait d'ajouter

tout entier a un suivant.

4. Deux nombres entiers sont égaux, si leurs suivants le sont.

Le 5'' axiome est le principe d'induction complète.

M. Couturat considère ces axiomes comme des définitions déguisées; ils constituent la définition par postuiaits de zéro^du « suivant », et du nombre entier.

Mais nous avons vu que, pour qu'une définition par postulats puisse être acceptée, il faut que Ton puisse établir qu'elle n'implique pas contradiction.

Est-ce le cas ici? Pas le moins du monde.

La démonstration ne peut se faire par Vexemple, On ne peut choisir une partie des nombres entiers, par exemple les trois premiers, et démontrer qu'ils satisfont à la définition.

Si je pre-nds la série 0, 1,2, je vois bien qu'elle satisfait aux axiomes i, 2,4 et 5 ; mais, pour qu'elle satisfasse à l'axiome 3, il faut encore que 3 soit un entier, et, par conséquent, que la série 0, 1, 2, 3 satisfasse aux axiomes ; on vérifierait qu'elle satisfaît aux axiomes 1, 2, 4, 5, mais l'axiome 3 exige, en outre.^ que 4 soit un entier et que la série ô, 1, 2, 3, 4 satisfasse aux axiomes, et ainsi de Buite.

Il est donc impossible de démontrer les axiomes

pour quelques nombres entiers sans les démontrer pour tous; il faut renoncer à la démonstration par l'exemple.

Il faut alors prendre toutes les conséquences de nos axiomes et voir si elles ne contiennent pas de contradiction. Si ces conséquences étaient en nombre fini, ce serait facile ; mais elles sont en nombre infini ; ce sont toutes les mathématiques, ou au moins toute l'arithmétique.

Alors que faire? Peut-être à la rigueur pourrait-on répéter le raisonnement du n® III.

Mais, nous Tavons dit, ce raisonnement^ c^est de rinducHon complète^ et c'est précisément le principe d'induction complète qu'il s'agirait de justifier.

Vî