CONCLUSION

Notre conclusion, c'est d'abord que le principe d'induction ne peut pas être regardé comme la définition déguisée du nombre entier.

Voici trois vérités :

Le principe d'induction complète ;

Le postulatum d'Euclide ;

La loi physique d'après laquelle le phosphore fond à 44" (citée par M. Le Roy).

On dit : Ce sont trois définitions déguisées, la première, celle du nombre entier, la seconde, celle de la ligne droite, la troisième, celle du phosphore.

Je Tadmets pour la seconde, je ne Tadmets pas pour les deux autres, il faut que j'explique la raison de cette apparente inconséquence.

D'abord, nous avons vu qu'une déflnitîon n'est acceptable que s'il est établi qu'elle n'implique par contradiction. Nous avons montré également que, pour la première définition, cette démonstration est impossible ; au contraire, nous venons de rappeler que pour la seconde Hilbert avait donné une démonstration complète.

En ce qui concerne la troisième, il est clair qu'elle n'implique pas contradiction : mais cela veut-il dire que cette définition garantit, comme il le faudrait, l'existence de l'objet défini ? Nous ne sommes plus ici dans les sciences mathématiques, mais dans les sciences physiques, et le mot existence n'a plus le môme sens, il ne signifie plus absence de contradiction, il signifie existence objective.

Et voilà déjà une première raison de la distinction que je fais entre les trois cas ; il y en a une seconde. Dans les applications que nous avons à faire de ces trois notions, se présentent-elles à nous comme définies par ces trois postulats ?

Les applications possibles du principe d'induction sont innombrables ; prenons par exemple l'une de celles que nous avons exposées plus haut, et où on cherche à établir qu'un ensemble d'axiomes ne peut conduire à une contradiction. Pour cela on considère l'une des séries de syllogismes que Ton peut pourguivre en partant de ces axiomes comme prémisses.

Quand on a fini le n* syllogisme, on voit qu'on

LES LOOïQJliS NOUVELLES 18"^

peut en faire encore un autre et c'est le n + 1* ; ainsi le nombre n sert à compter une série d'opérations successives, c'est un nombre qui peut être obtenu par additions successives. C'est donc un nombre depuis lequel on peut remonter à l'unité par soustractions successives. On ne \e pourrait évidemment pas si on avait n =: n — 1, parce qu'alors par soustraction on retrouverait toujours le même nombre. Ainsi donc la façon dont nous avons été amenés à considérer ce nombre n implique une définition du nombre entier fini et cette définition est la suivante : un nombre entier fini est celui qui peut être obtenu par additions successives j c'est celui qui est tel que n nesc pas égal an — 1.

Cela posé, qu'est-ce que nous faisons ? Nous montrons que. s'il n'y a pas eu de contradiction au n* syl- Jogisme, il n'y en aura pas davantage au n -f- l'' et nous concluons qu'il n'y en aura jamais. Vous dites : j'ai le droit de conclure ainsi, parce que les nombres entiers sont par définition ceux pour lesquels un pareil raisonnement est légitime ; mais cela implique une autre définition du nombre entier et qui est la suivante : un nombre entier est celui sur lequel on peut raisonner par récurrence; dans l'espèce c'est celui dont on peut dire que, si l'absence de contradiction au moment d'un syllogisme dont le numéro est entier entraîne l'absence de contradic* tion au moment du syllogisme dont le numéro est l'entier suivant, on n'aura à craindre aucune contradiction pour aucun des syllogismes dont le numéro tst entier.

Les deux définitions ne sont pas identiques ; elles sont équivalentes sans doute, mais elles le sont en vertu d'un jugement synthétique a priori'^ on ne peut pas passer de Tune à l'autre par des procédés purement logiques. Par conséquent, nous n'avons pas le droit d'adopter la seconde, après avoir introduit le nombre entier par un chemin qui suppose la première.

Au contraire, qu'arrive-t-il pour la ligne droite? Je l'ai déjà expliqué si souvent que j'hésite à me répéter une fois de plus : je me borne à résumer brièvement ma pensée.

Nous n'avons pas, comme dans le cas précédent, deux définitions équivalentes irréductibles logiquement Tune à l'autre. Nous n'en avons qu'une, exprimable par des mots. Dira-t-on qu'il y en a une autre que nous sentons sans pouvoir 1 énoncer parce que nous avons l'intuition de la ligne droite ou parce que nous nous représentons la ligne droite. Tout d'abord, nous ne pouvons nous la représenter dans l'espace géométrique, mais seulement dans l'espace représentatif, et puis nous pouvons nous représenter tout aussi bien les objets qui possèdent les autres propriétés de la ligne droite, sauf celle de satisfaire au postulatum d'Euclide. Ces objets sont « les droites non-euclidiennes » qui à un certain point de vue ne sont pas des entités vides de sens, mais des cercles (de vrais cercles du vrai espace) orthogonaux à une certaine sphère. Si, parmi ces objets également susceptibles de représentation, ce sont les premiers (les droites euclidiennes) que nous appelons droites, et non pas les derniers

(les droites non-euclidiennes), c'est bien par définition.

Et si nous arrivons enfin au troisième exemple, à la définition du phosphore, nous voyons que la vraie définition serait : Le phosphore, c'est ce morceau de matière que je vois !à dans tel flacon.

Et puisque je suis sur ce sujet, encore un mot. Pour Tcxemple du phosphore j'ai dit : « Cette proposition est une véritable loi physique vériflable, car elle signifie : tous les corps qui possèdent toutes les autres propriétés du phosphore, sauf son point de fusion, fondent comme lui à 44® ». Et on m'a répondu : « Non, cette loi n'est pas vérifiable, car si l'on venait à vérifier que deux corps ressemblant au phosphore fondent l'un à 44® et l'autre à 50®, on pourrait toujours dire qu'il y a sans doute, outre le point de fusion, quelque autre propriété inconnue par laquelle ils diffèrent.

Ce n'était pas tout à fait cela que j'avais voulu dire , j'aurais dû écrire : Tous les corps qui possèdent telles et telles propriétés en nombre fini (à savoir les propriétés du phosphore qui sont énoncées dans les traités de Chimie, le point de fusion excepté) fondent à 44*».

Et pour mettre mieux en évidence la différence entre le cas de la droite et celui du phosphore, faisons encore une remarque. La droite possède

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dans la nature plusieurs images plus ou moins imparfaites, dont les principales sont les rayons lumineux et Taxe de rotation d'un corps solide. Je suppose que Ton constate que le rayon lumineux ne satisfait pas au postulatum d'EucIide (par exemple en montrant qu'une étoile a une parallaxe négative), que ferons-nous ? Conclurons-nous que la droite étant par définition la trajectoire de la lumière ne satisfait pas au postulatum, ou bien au contraire que la droite satisfaisant par définition au postulatum, le rayon lumineux n'est pas rectiligne ?

Assurément, nous sommes libres d'adopter Tune ou l'autre définition et par conséquent Tune ou l'autre conclusion ; mais adopter la première ce serait stupide, parce que le rayon lumineux ne satisfait probablement que d'une façon imparfaite non seulement au postulatum d'EucIide, mais aux autres propriétés delà ligne droite; que s'il s'écarte de la droite euclidienne, il ne s'écarte pas moins de l'axe de rotation des corps solides qui est une autre image imparfaite de la ligne droite ; qu'enfin il est sans doute sujet au changement, de sorte que telle ligne qui était droite hier, cessera de l'être demain si quelque circonstance physique a changé.

Su[)posons maintenant que Ton vienne à découvrir que le phosphoro ne fond pas à 44**, mais à 43°9. Conclurons-nous que le phosphore étant par définition ce qui fond à 44°, ce corps que nous ap[)elions phosphore n'est pas du vrai phosphore, ou au contraire que le phosphore fond à 43*^,9 ? Ici encore

nous sommes libres d'adopter Tune ou Tautre définition et par conséquent Tune ou l'autre conclusion ; mais adopter la première, ce serait stupide parce qu'on ne peut pas changer le nom d'un corps toutes les fois qu'on détermine une nouvelle décimale de son point de fusion.

En résumé, MM. Russel et Hilbert ont fait l'un et l'autre un vigoureux effort ; ils ont écrit l'un et l'autre un livre plein de vues originales, profondes, et souvent très justes. Ces deux livres nous donneront beaucoup à réfléchir et nous avons beaucoup à y apprendre. Parmi leurs résultats, quelquesuns, beaucoup même, sont solides et destinés à demeurer.

Mais dire qu'ils ont définitivement tranché le débat entre Kant et Leibnitz et ruiné la théorie kantienne des mathématiques, c'est évidemment inexact. Je ne sais si réellement ils ont cru l'avoir fait, mais s'ils Font cro ils se sont trompés.

Les logisticîens ont cherché à répondre aux considérations qui précèdent. Pour cela, il leur a fallu transformer la Logistique, et M. Russel en particulier a modifié sur certains points ses vues primitives. Sans entrer dans le détail du débat, je voudrais revenir sur les deux questions les plus importantes à mon sens ; les règles de la Logistique ont-elles fait leurs preuves de fécondité et d'infaillibilité? Est-il vrai qu'elles permettent de démontrer le principe d'induction complète sans aucun appel à rintuition ?

L'INFAILLIBILITÉ DE LA LOOISTiaUC

En ce qui concerne la fécondité, il semble que M. Couturat se fasse de naïves illusions. La Logis-

tique, d'après lui, prête à Tinvention « des échasses et des ailes » et à la page suivante : a II y a dix ans que M. Peano a publié la première édition de son Formulaire. »

Comment, voilà dix ans que vous avez des ailes, et vous n'avez pas encore volé 1

J'ai la plus grande estime pour M. Peano, qui a fait de très jolies choses (par exemple sa courbe qui remplit toute une aire); mais enfin il n'est allé ni plus loin, ni plus haut, ni plus vite que la plupart des mathématiciens aptères, et il aurait pu faire tout aussi bien avec ses jambes.

Je ne vois au contraire dans la logistique que des entraves pour Tinventeur ; elle ne nous fait pas gagner en concision, loin de là, et s'il faut 27 équations pour établir que 1 est un nombre, combien en faudra-t-il pour démontrer un vrai théorème? Si nous distinguons, avec M. Whitehead, l'individu a?, la classe dont le seul membre est x et qui s'appellera tx, puis la classe dont le seul membre est la classe dont le seul membre est x et qui s'appellera ux, croit-on que ces distinctions, si utiles qu'elles soient, vont beaucoup alléger notre allure?

La Logistique nous force à dire tout ce qu'on sous-entend d'ordinaire; elle nous force à avancer pas à pas; c'est peut-être plus sûr, mais ce n'est pas plus rapide.

Ce ne sont pas des ailes que vous nous donnez, ce sont des lisières. Et alors nous avons le droit d'exiger que ces lisières nous empêchent de tomber. Ce sera leur seule excuse. Quand une valeur ne rapporte

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pas de gros intérêts, il faut au moins que ce soit un placement de père de famille.

Doit-on suivre vos règles aveuglément? Oui, sans quoi ce serait rinluition seule qui nous permettrait de discerner entre elles ; mais alors il faut qu'elles soient infaillibles ; ce n'est que dans une autorité infaillible qu'on peut avoir une confiance aveugle. C'est donc une nécessité pour vous. Vous serez infaillibles ou vous ne serez pas.

Vous n'avez pas le droit de nous dire : « Nous nous trompons, c'est vrai, mais vous vous trompez aussi ». Nous tromper, pour nous, c'est un malheur, un très grand malheur, pour vous c'est la mort.

Ne dites pas non plus : est-ce que l'infaillibilité de Tarithmétique empêche les erreurs d'additioÉ? les règles du calcul sont infailUbles, et pourtant on voit se tromper ceux qui n'appliquent pas ces règles ; mais en revisant leur calcul, on verra tout de suite à quel moment ils s'en sont écartés. Ici ce n'est pas cela du tout; les logisticiens ont appliqué leurs règles, et ils sont tombés dans la contradiction ; et cela est si vrai qu'ils s'apprêtent à changer ces règles et à <« sacrifier la notion de classe ». Pourquoi les changer si elles étaient infaillibles?

« Nous ne sommes pas obligés, dites-vous, de résoudre hic et nunc tous les problèmes possibles. » Oh, nous ne vous en demandons pas tant ; si, en face d'un problème, vous ne donniez aucune solution, nous n'aurions rien à dire ; mais au contraire

VOUS nous en donnez deux et qui sont contradictoires et dont par conséquent une au moins est fausse, et c'est cela qui est une faillite.

M. Russell cherche à concilier ces contradictions, ce qu'on ne peut faire, d'après lui, « qu'en restreignant ou même en sacrifiant la notion de classe ». •Et M. Couturat, escomptant le succès de cette tentative, ajoute : « Si les logisticiens réussissent là où les autres ont échoué, M. Poincaré voudra bien se rappeler celte phrase, et faire honneur de la solution à la Logistique ».

Mais non : La Logistique existe, elle a son code qui a déjà eu quatre éditions ; ou plutôt c'est ce code qui est la Logistique elle-même. M. Russell s'apprête-t-il à montrer que Tun au moins des deux raisonnements contradictoires a transgressé de code ? Pas le moins du monde, il s'apprête à changer ces lois, et à en abroger un certain nombre. S'il réussit, j'en ferai honneur à l'intuition de M. Russell et non à la Logistique péanienne qu'il aura détruite.