LA LIBERTÉ DE LA CONTRADICTION

J'avais opposé deux objections principales à la définition du nombre entier adoptée par les logisticiens. Que répond M. Couturat à la première de ces objections ?

Que signifie en mathématiques le mot exister ; il signifie, avais-je dit, être exempt de contradiction. C'est ce que M. Couturat conteste : « L'existence logique, dit-il, est tout autre chose que l'absence de contradiction. Elle consiste dans le lait qu'une classe n'est pas vide; dire : « Il existe des a, c'est, par définition, affirmer que la classe a n'est pas nulle ». Et, sans doute, affirmer que la classe a n'est pas nulle, c'est, par définition, affirmer qu'il existe des a. Mais l'une des deux affirmations est aussi dénuée de sens que l'autre, si elles ne signifient pas toutes deux, ou bien qu'on peut voir ou toucher des a, ce qui est le sens que leur donnent les physiciens ou les naturalistes, ou bien qu'on peut concevoir un a sans être entraîné à des contradictions, ce qui est le sens que leur donnent les logiciens et les mathématiciens.

Pour M. Couturat, ce n'est pas la non-contradiction qui prouve l'existence, c'est l'existence qui prouve la non-contradiction. Pour établir l'existence d'une classe, il faut donc établir, par un exemple, qu'il y a un individu appartenant à cette classe : « Mais, dira-t-on, comment démontre-t-on l'existence de cet individu ? Ne faut-il pas que cette existence soit établie, pour qu'on puisse en déduire l'existence de la classe dont il fait partie? — Eh bien, non ; si paradoxale que paraisse cette assertion, on ne démontre jamais Texistence d'un individu. Les individus, par cela seul qu'ils sont des individus, sont toujours considérés comme existants. On n'a jamais à exprimer qu'un individu

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existe, absolument parlant, mais seulement qu'il existe dans une classe. » M. Couturat trouve sa propre assertion paradoxale, ' il ne sera certainement pas le seul. Elle doit pourtant avoir un sens ; il veut dire sans doute que Texistence d'un individu, seul au monde, et dont on n'affirme rien, ne peut entraîner de contradiction; tant qu'il sera tout seul, il est évident qu'il ne pourra gêner personne. Eh bien, soit, nous admettrons Texistence de l'individu, « absolument parlant », mais de celle-là nous n'avons que faire ; il vous restera à démontrer l'existence de l'individu « dans une classe » et pour cela il vous faudra toujours prouver que l'affirmation : tel individu appartient à telle classe, n'est contradictoire ni en elle-même, ni avec les autres postulats adoptés.

« C'est donc, continue M. Couturat, émettre une exigence arbitraire et abusive que de prétendre qu'une définition n'est valable que si Ton prouve d'abord qu'elle n'est pas contradictoire. » On ne saurait revendiquer en termes plus énergiques et plus fiers la liberté de la contradiction. « En tout cas, Vonus probandi incombe à ceux qui croient que ces principes sont contradictoires. » Des postulats sont présumés compatibles jusqu'à preuve du contraire, de même qu'un accusé est présumé innocent.

Inutile d'ajouter que je ne souscris pas à cette revendication. Mais, dites-vous, la démonstration que vous exigez de nous est impossible, et vous ne pouvez nous sommer de « prendre la lune avec les

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dents ». Pardon, cela est impossible pour vous, mais pas pour nous, qui admettons le principe d'induction comme un jugement synthétique a priori. Et cela serait nécessaire pour vous, comme pour nous.

Pour démontrer qu'un système de postulats n'implique pas contradiction, il faut appliquer le principe d'induction complète; non seulement ce mode de raisonnement n'a rien de « bizarre », mais c'est le seul correct. Il n'est pas « invraisemblable » qu'on l'ait jamais employé ; et il n'est pas difficile d'en trouver des « exemples et des précédents ». J'en ai cité deux dans mon article et qui étaient empruntés à la brochure de M. Ililbert. Il n'est pas le seul à en avoir fait usage et ceux qui ne l'ont pas fait ont eu tort. Ce que j'ai reproché à M. Hilbert, ce n'est pas d'y avoir eu recours (un mathématicien de race comme lui ne pouvait pas ne pas voir qu'il fallait une démonstration et que celle-là était la seule possible), mais d'y avoir eu recours sans y recoanaître le raisonnement par récurrence.