CONCLUSIONS

Une démonstration vraiment fondée sur les principes de la Logique Analytique se composera d une

suite de propositions ; les unes, qui serviront de prémisses^ seront des identités ou des définitions; les autres se déduiront des premières de proche en proche; mais bien que le lien entre chaque proposition et la suivante s'aperçoive immédiatement, on ne verra pas du premier coup^ comment on a pu passer de la première à la dernière, que Ton pourra être tenté de regarder comme une vérité nouvelle. Mais si Ton remplace successivement les diverses expressions qui y figurent par leur définition et si Ton poursuit cette opération aussi loin qu'on le peut, il ne restera plus à la fin que des identités, de sorte que tout se réduira à une immense tautologie, La Logique reste donc stérile, à moins d'être fécondée par l'intuition.

Voilà ce que j'ai écrit autrefois; les logisticiens professent le contraire et croient l'avoir prouvé en démontrant effectivement des vérités nouvelles. Par quel mécanisme?

Pourquoi, en appliquant à leurs raisonnements le procédé que je viens de décrire, c'est-à-dire en remplaçant les termes définis par leurs définitions, ne les voit-on pas se fondre en identités comme les raisonnements ordinaires? C'est que ce procédé ne leur est pas applicable. Et pourquoi? parce que leurs définitions sont non prédicatives et présentent cette sorte de cercle vicieux caché que j'ai signalé dIus haut; les définitions non prédicatives ne peu> vent pas être substituées au terme défini. Dans ces conditions, la Logistique n'est plus stérile, elle engendre Vantinomie.

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C'est la croyance à Texistence de rînflnî actuel qui a donné naissance à ces définitions non prédicatives. Je m'explique : dans ces définitions figure le mot tous^ ainsi qu'on le voit dans les exemples cités plus haut. Le mot tous a un sens bien net quand il s'agit d'un nombre infini d'objets; pour qu'il en eût encore un, quand les objets sont en nombre infini, il faudrait qu'il y eût un infini actuel. Autrement tous ces objets ne pourront pas être conçus comme posés antérieurement à leur définition et alors si la définition d'une notion N dépend de tous les objets A, elle peut être entachée de cercle vicieux, si parmi les objets A il y en a qu'on ne peut définir sans faire intervenir la notion N elle-même.

Les règles de la logique formelle expriment simplement les propriétés de toutes les classifications possibles. Mais pour qu'elles soient applicables, il faut que ces classifications soient immuables et qu'on n'ait pas à les modifier dans le cours du raisonnement. Si Ton n'a à classer qu'un nombre fini d'objets, il est facile de conserver ses classifications sans changement. Si les objets sont en nombre indéfini^ c'est-à-dire si on est sans cesse exposé à voir surgir des objets nouveaux et imprévus, il peut arriver que l'apparition d'un objet nouveau oblige à modifier la classification, et c'est ainsi qu'on est exposé aux antinomies.

Il n'y a pas d'infini actuel; les Cantoriens l'ont oublié, et ils sont tombés dans la contradiction. Il est vrai que le Cantorisme a rendu des services,

LES OE«NIERS EFFORTS DES L0GISTICIEN3 213

mais c'était quand on l'appliquait à un vrai problème, dont les termes étaient nettement définis, et alors on pouvait marcher sans crainte.

Les logîsticiens Tout oublié comme les Cantorîens et ils ont rencontré les mêmes difficultés. Mais il s'agit de savoir s'ils se sont engagés dans cette voie par accident ou si c'était pour eux une nécessité.

Pour moi, la question n'est pas douteuse; la croyance à Fiafini actuel est essentielle dans la logistique russelienne. C'est justement ce qui la distingue de la logistique hilbertienne. Hilbert se place au point de vue de Textension, précisément afin d'éviter les antinomies cantoriennes; Russell se place au point de vue de la compréhension. Par conséquent le genre est pour lui antérieur à l'espèce, et le summum genus est antérieur à tout. Cela n'aurait pas d'inconvénient si le summum genus était fini ; mais s'il est infini, il faut poser l'infini avant le fini, c'est-à-dire regarder l'infini comme actuel.

Et nous n'avons pas seulement des classes infinies ; quand nous passons du genre à l'espèce en restreignant le concept par des conditions nouvelles, ces conditions sont encore en nombre infini. Car elles expriment généralement que l'objet envisagé présente telle ou telle relation avec tous les objets d'une classe infinie. ♦

Mais cela, c'est de l'histoire ancienne. M. Russell a aperçu le péril et il va aviser. Il va tout changer; et qu'on s'entende bien : il ne s'apprête pas seulement à introduire de nouveaux principes qui per-

mettront des opérations autrefois interdites; il s'apprête à interdire des opérations qu'il jugeait autrefois légitimes. II ne se contente pas d'adorer ce qu'il a brûlé ; il va brûler ce qu'il a adoré, ce qui est plus grave. Il n'ajoute pas une nouvelle aile au bâtiment, il en sape les fondations.

L'ancienne Logistique est morte, si bien que la zigzâg-theory et la no classes theory se disputent déjà sa succession. Pour juger la nouvelle, noua attendrons qu'elle existe*