C. The no classes theory

D'après la zigzag theory : « les définitions (fonctions propositionnelles) déterminent une classe quand elles sont très simples et ne cessent de le faire que quand elles sont compliquées et obscures». Qui décidera maintenant si une définition peut être regardée comme suffisamment simple pour être acceptable? A cette question pas de réponse, sinon l'aveu loyal d'une complète impuissance : « les règles qui permettraient de reconnaître si ces définitions sont prédicatives seraient extrêmement compliquées et ne peuvent se recommander par aucune raison plausible. C'est un défaut auquel on pourrait remédier par plus d'ingéniosité ou en se servant de distinctions non encore signalées. Mais jusqu'ici, en cherchant ces règles, je n'ai pu trouver d'autre principe directeur que l'absence de contradiction. »

LES DERNIERS EFFORTS DES LOGîSTICÏENS 205

Cette théorie reste donc bien obscure; dans cette nuit, une seule lueur; c'est le mot zigzag. Ce que M. Russell appelle lom zigzag-giness >y c*esl sansdoute ce caractère particulier qui distingue l'argument d'Epiménide.

D'après la theory of limitation of size, une classe cesserait d'avoir droit à l'existence si elle était trop étendue. Peut-être pourrait-elle être infinie, mais il ne faudrait pas qu'elle le fût trop.

Mais nous retrouvons toujours la même difficulté; à quel moment précis commencera-t-elle à Fêtre trop? Bien entendu, cette difficulté n'est pas résolue et M. Russell passe à la troisième théorie.

Dans la no classes theory, il est interdit de prononcer le mot classe et on doit remplacer ce mot par des périphrases variées. Quel changement pour les logîslicîens qui ne parlent que de classes et de classes de classes! Il va falloir refaire toute la Logistique. Se flgure-t-on quel sera l'aspect d'une page de Logistique quand on en aura supprimé toutes les propositions où il est question de classe? Il n'y aura plus que quelques survivantes éparses au milieu d'une page blanche. Apparent ravi nantes in gurgite vasto

Quoi qu'il en soit, on voit quelles sont les hésitations de M. Russell, les modifications qu'il va faire subir aux principes fondamentaux qu'il a adoptés jusqu'ici. Il va falloir des critères pour décider si une définition est trop compliquée ou trop étendue, et ces critères ne pourront être justifiés que par un appel à l'intuition.

C'est vers la no classes theory que M. Russrf incline finalement.

Quoi qu'il en soit, la Logistique est à refaire et on ne sait trop ce qu'on en pourra sauver. Inutile d'ajouter que le Cantorisme et la Logistique sont seuls en cause ; les vraies mathématiques, celles qui servent à quelque chose, pourront continuer à se développer d'après leurs principes propres sans se préoccuper des orages qui sévissent en dehors d'elles, et elles poursuivront pas à pas leurs conquêtes accoutumées qui sont définitives et qu'elles n'ont jamais à abandonner.

LA VRAIE COLUTIOH.

Quel choix devons-nous faire entre ces différentes théories? Il me semble que la solution est contenue dans une lettre de M. Richard dont j'ai parlé plus haut et qu'on trouvera dans la Revue Générale des Sciences du 30 juin 1905. Après avoir exposé l'antinomie que nous avons appelée l'antinomie Richard, il en donne Texplication.

Reportons-nous à ce que nous avons dit de cette antinomie au § VII; E est l'ensemble de tous les nombres que l'on peut définir par un nombre fini de mots, sans introduire la notion de Vensemble E lui-même. Sans quoi la définition de E contiendrait un cercle vicieux ; on ne peut pas définir E par l'ensemble E lui-même.

Or, nous avons défini N, avec un nombre fini de mots il est vrai, mais en nous appuyant sut la notion de l'ensemble E. Et voilà pourquoi N ne fait pas partie de E.

Dans l'exemple choisi par M. Richard, la conclusion se présente avec une entière évidence et l'évidence paraîtra encore plus grande quand on se reportera au texte même de sa lettre- Mais la même explication vaut pour les autres antinomies ainsi qu il est aisé de le vérifier.

Ainsi les définitions qui doivent être regardées comme non prédicatives sont celles qui contiennent un cercle vicieux. Et les exemples qui précèdent montrent suffisamment ce que j'entends par là. Est-ce là ce que M. Russelî appelle la « zigzagginess ?» Je pose la question sans la résoudre.

LES DÉIWCNSTRATIONS DU PRINCIPE OMNDUCTIOfl.

Examinons maintenant les prétendues démonstra tiens du principe d'induction et en particulier celles de M. Whitehead et celle de M. Burali-Forti.

Parlons d'abord de celle de Whitehead, et profitons de quelques dénominations nouvelles heureusement introduites par M. Russell dans son récent mémoire.

Appelons classe récurrente toute classe de nombres qui contient zéro, et qui contient n -f 1 si elle contient n.

Appelons nombre induciif tout nombre qui fait partie de toutes les classes récurrentes.

A quelle condition cette dernière définition qui joue un rôle essentiel dans la démonstration de Whitehead sera-t-elle « prédicative » et par conséquent acceptable?

Il faut entendre, d'après ce qui précède, par toutes les classes récurrentes, toutes celles dans la définition desquelles n'entre pas la notion de nombre induciif.

Sans cela on retombe sur le cercle vicieux qui a engendré les antinomies.

Or Whitehead na pas pru cette précaution.

Le raisonnement de Whitehead est donc vicieux; c'est le même qui a conduit aux antinomies; il était illégitime quand il donnait des résultats faux ; il reste illégitime quand il conduit par hasard à un résultat vrai.

Une définition qui contient un cercle vicieux ne définit rien. Il ne sert à rien de dire, nous sommes sûrs, quelque sens que nous donnions à notre définition, qu'il y a au moins zéro qui appartient à la classe des nombres inductifs; il ne s'agit pas de savoir si cette classe est vide, mais si on peut rigoureusement la délimiter. Une classe « non prédicative » ce n'est pas une classe vide, c'est une dasse dont la frontière est indécise.

Inutile d'ajouter que cette objection particulière laisse subsister les objections générales qui s'appliquent à toutes les démonstrations.

LSS DERNIERS EFFORTS DBS LOGISTICIENS 2U9

M. Buralî-Forti a donné une autre démonstration dans son article Le Classi jBnite {Atti di Torino^ i. XXXII). Mais il est obligé d'admettre deux postulats :

Le premier, c'est qu'il existe toujours au moins une classe infinie*

Le second s'énonce ainsi :

u 6 K (K — t a)- 0. u < u'ti.

Le premier postulat n'est pas plus évident que le principe à démontrer; le second non seulement n'est pas évident, mais il est faux; comme Ta moor tré M. Whitehead, comme d'ailleurs le moindre taupin s'en serait aperçu du premier coup, si l'axiome avait été énoncé dans un langage intelligible, puisqu'il signifie : le nombre des combinaisons qu'on peut former avec plusieurs objets est plus petit que le nombre de ces objets,

t'AXIOME DE ZERMELO.

Dans une démonstration célèbre, M. Zermelo s'appuie sur l'axiome suivant :

Dans un ensemble quelconque (ou même dans chacun des ensembles d'un ensemble d'ensembles) nous pouvons toujours choisir au hasard un élô^

ment (quand même cet ensemble d'ensembles comprendrait une infinité d'ensembles). On avait appliqué mille fois cet axiome sans renoncer, mais dès qu'il fut énoncé, il souleva des doutes. Quelques mathématiciens, comme M. Borel, le rejetèrent résolument; d'autres l'admirent. Voyons ce qu'en pense M. Russell, d'après son dernier article.

Il ne se prononce pas, mais les considérations auxquelles il se livre sont très suggestives.

Et d'abord un exemple pittoresque; supposons que nous ayons autant de paires de bottes qu'il y a de nombres entiers, de telle façon que nous puissions numéroter les paires depuis 1 jusqu'à l'infini, combien aurons-nous de bottes? le nombre des bottes serait-il égal au nombre des paires. Oui, si dans chaque paire, la botte droite se distingue de la botte gauche ; il suffira en eîTet de donner le numéro 2 n. — 1 à la botte droite de la n* paire et le numéro 2n à Ja botte gauche de la n* paire. Non, si la botte droite est pareille à la botte gauche, parce qu'une pareille opération deviendra impossible. A moins que l'on n'admette l'axiome de Zermelo, parce qu'alors on pourra choisir au hacard dans chaque paire la botte que l'on regardera comme droite.