LA GÉOMÉTRIE
îl semble que la géométrie ne puisse rien contenir qui ne soit déjà dans l'algèbre ou dans l'analyse ; que les faits géométriques, ne soient autre chose que les faits algébriques ou analytiques exprimés dans un autre langage. On pourrait donc croire qu'après la revue que nous venons de passer, il ne nous restera plus rien à dire qui se rapporte spécialement à la géométrie. Ce serait méconnaître l'importance même d'un langage bien fait, ne pas comprendre ce qu'ajoute aux choses elles-mêmes la façon d'exprimer ces choses et par conséquent de les grouper.
D'abord les considérations géométriques nous amènent à nous poser de nouveaux problèmes ; ce sont bien, si Ton veut, des problèmes analytiques, mais que nous ne nous serions jamais posés à propos d'analyse. L'analyse en profite cependant comme elle profite de ceux qu'elle est obligée de résoudre pour satisfaire aux besoins de la Physique.
Un grand avantage de la géométrie^ c'est précisément que les sens y peuvent venir au secours de rintelligence, et aident à deviner la route à suivre, et bien des esprits préfèrent ramener les problèmes d'analyse à la forme géométrique. Malheureusement, nos sens ne peuvent nous mener bien loin, et ils nous faussent compagnie dès que nous voulons nous envoler en dehors des trois dimensions classiques. Est-ce à dire que, sortis de ce domaine restreint où
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ils semblent vouloir nous enfermer, nous ne devons plus compter que sur l'analyse pure et que toute géométrie à plus de trois dimensions est vaine et sans objet? Dans la génération qui nous a précédés, les plus grands maîtres auraient répondu « oui » ; nous sommes aujourd'hui tellement familiarisés avec cette notion que nous pouvons en parler, même dans un cours d'université, sans provoquer trop d'étonnement.
Mais à quoi peut-elle servir ? 11 est aisé de le voir : elle nous donne d'abord un langage très commode, qui exprime en termes très concis ce que le langage analytique ordinaire dirait en phrases prolixes. De plus, ce langage nous fait nommer du même nom ce qui se ressemble et affirme des analogies qu'il ne noi^ laisse plus oublier. Il nous permet .donc encore de nous diriger dans cet espace qui est trop grand pour nous et que nous ne pouvons voir, en nous rappelant sans cesse l'espace visible qui n'en est qu'une image imparfaite sans doute, mais qui en est encore une image. Ici encore, comme dans tous les exemples précédents, c'est l'analogie avec ce qui est simple qui nous permet de comprendre ce qui est complexe.
Cette géométrie à plus de trois dimensions n'est pas une simple géométrie analytique, elle n'est pas purement quantitative, elle est aussi qualitative et c'est par là surtout qu'elle devient intéressante. Il y a une science qu'on appelle VAnalysis Situs et qui a pour objet l'étude des relations de position des divers éléments d'une figure, asbtraction faite de
leurs grandeurs. Cette géométrie est purement qualitative ; ses théorèmes resteraient vrais si les figures,, au lieu d'être exactes, étaient grossièrement imitées par un enfant. On peut faire aussi une Analysis Situs à plus de trois dimensions. L'importance de YAnalysis Situs est énorme et je ne saurais trop y insister ; le parti qu'en a tiré Riemann, l'un de ses principaux créateurs, suffirait à le démontrer. Il faut qu'on arrive à la construire complètement dans les espaces supérieurs ; on aura alors un instrument qui permettra réellement de voir dans Thyperespace et de suppléer à nos sens.
Les problèmes de YAnalysis Situs ne se seraient peut-être pas posés si on n'avait parlé que le langage analytique ; ou plutôt, je me trompe, ils se seraient posés certainement, p^sque leur solution est nécessaire à une foule de questions d'analyse ; mais ils se seraient posés isolément, les uns après les autres, et sans qu'on puisse apercevoir leur lien commun.
LE CANTORISME.
J'ai parlé plus haut du besoin que nous avons de remonter sans cesse aux premiers principes de notre science et du profit qu'en peut tirer l'étude de l'esprit humain. C'est ce besoin qui a inspiré deux tentatives qui ont tenu une très grande place dans rhistoire la plus récente des mathématiques. La première est le cantorisme, qui a rendu à la science les services que l'on sait. Cantor a introduit dans la
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science une manière nouvelle de considérer rinfini mathématique et nous aurons l'occasion d'en reparler au chapitre VIL Un des traits caractéristiques du cantorisme, c'est qu'au lieu de s'élever au général en bâtissant des constructions de plus en plus compliquées et de définir par construction, il part da genus supremum et ne définit, comme auraient dit les scolastiques, que per genus proximum et differenliam specificam. De là Thorreur qu'il a quelquefois inspirée à certains esprits, à Hermitte par exemple, dont Tidée favorite était de comparer les sciences mathématiques aux sciences naturelles. Chez la plupart d'entre nous ces préventions s'étaient dissipées, mais il est arrivé qu'on s'est heurté à certains paradoxes, à certaines contradictions apparentes, qui auraient comblé de joie Zenon d'Elée et l'école de Mégare. Et alors chacun de chercher le renfiède. Je pense pour mon compte, et je ne suis pas le seul, que l'important c'est de ne jamais introduire que des êtres que l'on puisse définir complètement en un nombre fini de mots. Quel que soit le remède adopté, nous pouvons nous promettre la joie du médecin appelé à suivre un beau cas pathologique.
