CHAPITRE VIII

LES MATHÉMATIQUES DANS L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE

Les sciences ne pénètrent pas notre système d'études secondaires ; elles n'en font pas partie, elles lui sont ajoutées, et le prolongent hors de toute mesure. Leur enseignement ne répond ni aux besoins pratiques, ni aux besoins scientifiques, mais à des exigences, ou plutôt à TidéQ qu'on se fait de ces exigences ; il ne prépare pas aux carrières, mais bien aux examens que Ton a mis devant quelques carrières. Tout se trouve faussé par là.

Les classes « préparatoires » sont remplies presque entièrement par les mathématiques. Confinées jusqu'à ces classes dans un coin exigu du plan d'études, plus négligées encore par les élèves que n'auraient voulu ceux qui leur ont attribué ce petit coin, les mathématiques sont les maîtresses du bâtiment annexe où renseignement scientifique a été relégué ; elles y tolèrent un peu de physique et de chimie.

La prépondérance des mathématiques dans les classes préparatoires ne tient pas à des raisons de fond ; elle résulte de ce qu'il y a, dans notre pays, quelques situations où il est impossible de parvenir si l'on n'a pas su faire montre, entre dixhuit et vingt ans, d'une connaissance approfondie

LES MAriIEMATiqUES DANS L'ENSEIGNEMENT

de certaines propositions de géométrie et d'algèbre. Il y a ainsi des chapitres de mathématiques qui remplacent, dans notre démocratie, les quartiers de noblesse qu'il faut montrer ailleurs. Une fois qu'on a fait ses preuves sur ces chapitres-là, l'espoir d'atteindre une situation élevée devient légitime ; il se change presque en certitude, après quelques nouveaux examens.

Pourquoi la sélection se fait-elle sur ces chapitres privilégiés ? Contiennent-ils une pierre de touche qui permette de distinguer ceux qui, plus tard, seront dignes d'exercer l'autorité ? Dans les conseils et les milieux universitaires, un siècle après l'Encyclopédie, on appelle éducation générale l'étude des gramniaires grecque et latine, et la lecture de quelques textes ; on y tient encore une certaine correction de style, la facilité à traduire élégamment une page de Cicéron, ou à développer un lieu commun, pour la meilleure garantie d'une bonne intelligence. Estime-t-on ailleurs que cette garantie doive être cherchée dans l'aptitude à s'assimiler la Géométrie analytique ou la Trigonométrie, et que cette aptitude décèle sûrement ceux qui seront un jour les meilleurs ingénieurs ou les meilleurs officiers? Une pareille opinion a peut-être germé dans quelques cerveaux, tant est répandue la manie d'expliquer et de justifier ce qui existe, tant on éprouve de satisfaction à découvrir des raisons aux choses et à trouver raisonnables les habitudes qu'on a ; mais je n'imagine pas qu'elle ait jamais traversé l'esprit de ceux qui ont organisé nos grandes Ecoles :ils ont pensé à l'enseignement qui devait se donnef da,ns ces maisons, enseignement élevé et tourné vers la pratique; ils ont inscrit dans

les programmes les matières in3ispensables pour apprendre le calcul intégral, la Mécanique rationnelle, l'Astronomie, la Physique..., avec cette idée très juste que ces sciences étaient elles-mêmes indispensables à ceux qui doivent dominer le métier des hommes qu'ils auront, à commander, comprendre les progrès scientifiques qui se réaliseront dans ce métier, et y contribuer. Ces vues étaient sages, comme aussi les programmes qui en étaient l'expression et qui ne représentaient alors qu'un petit nombre de leçons.

Quoiqu'on se plaigne souvent du contraire, ces programmes ont peu changé. De temps en temps, des hommes graves et compétents, très soucieux des intérêts sur lesquels ils sont consultés, se réunissent pour les reviser et les discuter, toujours avec rintention de les alléger ; ils arrivent à déplacer un alinéa, quelquefois à en supprimer ou à en ajouter un autre. Il ne vaut pas la peine de se passionner sur ces détails, qui n'importent guère. Au fond, les programmes restent les mêmes, parce qu'ils énumèrent des connaissances dont ceux qui les ont rédigés ou qui les remanient savent qu'on ne peut se passer pour aller plus loin.

Mais c'est les titres seuls qui restent les mêmes;, la matière qu'ils représentent s'est gonflée démesurément. Depuis quarante ans, les livres que les élèves ont entre les mains, les cahiers qu'ils remplissent de notes ont triplé de volume. Cet invraisemblable accroissement ne répond qu'à l'importance artificielle que nos examens confèrent aux matières dont les programmes sont la table. Jadis, l'enseignement qui se donnait dans les mêmes classes de nos lycées laissait l'impression d'une chose inachevée et imparfaite; il

LES MÀTHÉMAriQUES DANS L'ENSEIGNEMENT

était donné en vue de renseignement qui devait suivre, dans les grandes Écoles. Cette méthode était la bonne : aucune partie de la science n'a sa fin enelle-mèn/e ; le maître doit fixer sa pensée sur les prolongements de ce qu'il explique et mesurer ce qu'il dit sur l'importance de ces prolongements; c'est pour cela qu'on exige de lui des connaissances si étendues, très élevées audessus des sujets qu'il aura à exposer.

Les maîtres de nos lycées sont des hommes fort distingués, dont je n'ai pas à vanter ici le dévouement. Beaucoup avaient leur place marquée dans l'enseignement supérieur : ils ont choisi une carrière plus pénible; ils ont une lourde charge, dont ils sentent et aiment le poids ; ils savent ce qu'ils sont pour les jeunes gens qui leur sont confiés et qui leur devront une carrière ; la préoccupation de leur métier ne les quitte pas ; parce qu'ils sentent vivement leur responsabilité, que cette responsabilité est grave et immédiate, qu'elle se manifestera à la fin de l'année, souvent d'une manière irrévocable, ils se défendent de regarder au loin ; ils se donnent tout entiers à leur enseignement actuel ; ils y apportent trop de soins, trop de goût, trop de conscience. Ils veulent que cet enseignement se suffise à lui-même ; leurs leçons trop complètes et trop parfaites n'éveillent pas assez l'inquiétude, le désir de l'audelà. Mais cette recherche du fini et de la perfection n'est ni la seule cause, ni la plus fâcheuse, du gonflement horrifique qui s'en produit.

J'ai déjà dit que nos classes préparatoires ne

préparent pas aux Ecoles, mais aux examens que

on a placés à la porte de ces Ecoles. Toutes les

énigmes posées à ceux qui se présentent devant

ces portes sontrecueillies, collectionnées, publiées discutées, commentées et, Tannée suivante, vont grossir les cours qui, sans le talent de ceux qui les font, sans leurs efforts pour conserver aux choses une apparence d'ordre et d'enchaînement, ressembleraient à un recueil de devinettes, avec leurs solutions. Malgré ce talent et ces efforts, le recueil grossit terriblement; les détails foisonnent et pullulent, étouffent les idées essentielles. A mesure que les examinateurs inventent de nouveaux problèmes afin de recotmaître si les candidats savent appliquer les théories, les professeurs imaginent de nouvelles théories afin de résoudre plus facilement les problèmes des examinateurs. Qu'un candidat se serve d'une méthode pour répondre à une question qui ne la supposait nullement, que Texaminateur le laisse faire, puis l'interroge sur cette méthode afin de savoir s'il l'a comprise et s'il avait le droit de s'en servir, voilà une méthode de plus qu'il faut enseigner, sous prétexte qu'on la demande aux examens.

Ainsi, chaque année, les cours s'allongent ; ils faut cependant qu'ils soient finis à la même époque, dans les premières semaines d'avril, puisque les examens commencent à la fin de mai. Il faut que le maître fasse des efforts surhumains pour se hâter, entasser plus de choses en moins de temps, gagner une heure. S'il est malade pendant quelques jours, voilà ses élèves compromis.

Ceux-ci, le plus souvent, sont entrés sous sa direction avec une préparation très insuffisante ; ils étaient pressés d'entrer dans la classe « préparatoire » pour pouvoir y rester plus longtemps, pour avoir plus de parties à jouer ; ils y resteront jusqu'à ce qu'ils soient reçus quelque part, après

r.ES MATHÉMATIQUES DANS L'ENSEIGNEMENT

avoir roulé de concours en concours, ou jusqu'à ce qu'ils se sentent définitivement fourbus. La première année, ils ont été bien vite désorientés, ont perdu pied, se sont noyés; ils recommencent, puis recommencent encore, ressassent les mêmes chapitres, font et refont les mêmes petits problèmes ou d'autres qui leur ressemblent, pâlissent sur les mêmes petites « questions d'examen » . Plus on va, plus il y a de matières à apprendre, plus le maître s'efforce d'aller vite, plus les novices ont de mal à le suivre, plus de fois il leur faut recommencer. On passe moins de temps dans les Ecoles que dans les classes préparatoires, beaucoup moins de temps au Calcul intégral et à la Mécanique rationnelle qu'à la Géométrie analytique. Plus élevée et plus utile est la science, moins on s'y arrête, moins on l'étudié, moins on l'applique. Rapidement enseignée, elle glisse sur des cerveaux fatigués, saturés, encombrés de cristallisations. Que reste-t-il à la plupart, de cet enseignement qu'il a fallu tant de peine pour recevoir ? — mais était-ce pour le recevoir qu'on a pris tant de peine ?

L'étudiant a terminé ses longues études littéraires, ou plutôt verbales; que va-t-il faire? Son inquiétude se double de l'angoisse qu'il devine chez ses parents ; il est plus ambitieux qu'il ne désire faire fortune; l'image de quelqu'une de ces places qui sont- entourées d'une juste considération, où Ventrée ne va pas déjà sans quelque gloire, traverse sa pensée et lui sourit. Elles sont sûres, et cela plaît aux parents. Sans doute l'accès en est difficile, mais, au moins, la voie à suivre est Wen tracée : le jeune homme continuera d'étudier, il étudiera autre chose, mais de la même

façon ; il continuera d'aller en classe, de faire des devoirs, de passer des examens* Si même il manque un peu d'initiative, il se sent plein de volonté pour faire un travail bien réglé ; il ne recule pas devant la longueur et la continuité de Teffort. Il ne sait s'il a des aptitudes pour les mathématiques, auxquelles il n*a jamais goûté ; elles Tennuieront peut-être? Qu'importe? Il est rompu à Tennui, c'est un des résultats les plus sûrs de l'enseignement classique. Pour arriver à la place qu'il ambitionne, un seul moyen : entrer dans l'École qui y mène ; il y entrera, le voilà enrôlé dans l'armée des candidats. Il passera d'abord le baccalauréat es sciences ; ce n'est pas une affaire. Maintenant, quel maître va-t-il suivre ? Quelle est la maison où la préparation est la mieux organisée, dans ses moindres détails, où l'on guide les élèves par la main., heure par heure, sans les quitter un instant, sans leur permettre de faire par eux-mêmes un pas qui les écarterait du but ? Quel est le professeur le plus renommé, non par son savoir, mais par ses succès, et par les moyens qui lui procurent ces succès ? Quel est celui qui se préoccupe le plus des concours et qui montre le plus cette préoccupation ? Quel est l'entraîneur le plus habile ?

Heureusement pour la justice et pour les carrières où les concours donnent accès, la meilleure réponse à ces questions ne fournit pas encore le meilleur moyen de réussir ; mais l'état d'esprit de ceux qui se les posent permet-il d'espérer qu ils tireront de leurs études, de leurs efforts, de leur temps, quelque profit intellectuel, quelque bénéfice moral ? Croit-on que leur énergie va se tremper dans les exercices auxquels ils vont se sou-

LES MATHÉMATIQUES DANS L'ENSEIGNEMENT

mettre ? Et que sera la science pour eux ? — Un moyen d'arriver. — Au reste, qu'elle soit un peu méprisée, abaissée à n'être qu'un moyen, non un but, ce n'est pas pour déplaire à tout le monde.

Par elle-même, l'étude des mathématiques contribue assurément à une bonne formation de l'esprit : tout d'abord, elle exerce singulièrement l'attention, et, parla, développe la volonté en même temps que l'intelligence ; elle habitue à réfléchir longtemps sur un même objet, qui n'occupe pas les sens, à l'observer sous toutes ses faces et dans tous ses environs, à le rapprocher d'autres objets analogues, à saisir des liens ténus et cachés, à suivre dans tous ses détails une longue chaîne de déductions ; elle donne des habitudes de patience, de précision et d'ordre; elle rompt l'esprit aux finesses de la logique, lui fournit d'incomparables modèles de rigueur, l'élève et le ravit par la contemplation de vastes théories, magnifiquement ordonnées, et toutes resplendissantes de clarté.

Encore ne faut-il pas oublier que les mathématiques traitent de concepts extrêmement simples et qui, par cette simplicité, s'éloignent infiniment du réel. Les mathématiques pures reposent uniquement sur la notion de nombre et, si l'on y veut joindre la géométrie, sur la notion d'espace : elles en tirent tout un monde, un monde dont la complexité* est si riche et si inattendue, dont les perspectives lointaines et transparentes sont si belles que quelques esprits ne peuvent plus s'en détacher... Elles le construisent surtout par une suite

de généralisations : grâce à une extension toujours plus grande du sens des mots, les propositions établies au début de la science,- tout en conservant la même forme verbale, s'élargissent étrangement dans leur signification. Cette extension même du sens des mots amène quelquefois un langage paradoxal : on parle couramment d'opérations qui, en un sens, sont impossibles, on spécule sur des éléments qui, en un sens, ne peuvent exister. Ce langage, auquel on initie trop tôt les jeunes gens, les étonne et les séduit; ils s'amusent de son absurdité apparente, s'émerveillent, à juste titre, des facilités qu'il apporte dans les raisonnements, s'^habituent à le parler, sans le bien entendre, en se laissant guider par l'analogie, en ne se donnant ni le temps, ni la peine de réfléchir aux principes qui le justifient. Quelques-uns emportent peut-être de leurs études mathématiques cette conviction obscure qu*un raisonnement absurde peut conduire élégamment à la vérité.

Dans les applications rationnelles des mathématiqites, interviennent les concepts de corps parfaitement solides, de corps parfaitement flexibles et inextensibles, de corps parfaitement élastiques, de fluides parfaits...; au caractère abstrait de ces concepts, à cette épithète de parfait qui les accompagne, on reconnaît assez combien ils s'écartent de ce qui est. Sans doute, ils nous sont suggérés par Texpérience ; mais, d'une part, dans l'infinie complexité des choses, le mathématicien a porté son attention sur une propriété unique, il a vidé les êtres dont .il s'occupe de toutes leurs autres qualités pour n'en retenir qu'une seule ; d'autre part, il a porté cette

LES MATUÉMATiqUES DANS L'ENSEIGNEMENT

propriété à sa perfection ; le monde d'objets simples qu'il crée ainsi, sur lequel il spécule, n*est nullement le monde réel, sur lequel il lui serait impossible de raisonner de la même manière. Remplacer les problèmes réels, dont l'enchevêtrement est inextricable, par des problèmes simples, qui puissent être abordés, telle est la méthode constante des mathématiques appliquées ; elle ne peut fournir que des solutions approchées, et ces solutions ne peuvent avoir de valeur pratique que pour les problèmes où les propriétés retenues par le mathématicien sont prépondérantes. Pour être comparée à la réalité, chaque position de problème et chaque solution doit être soigneusement discutée. Certes, on ne saurait trop admirer la grandeur des résultats qui ont été obtenus par cette méthode dans la connaissance du monde extérieur et l'audacieux génie de ceux qui en ont fait tant de belles applications, mais les dangers qu'elle comporte sont assez évidents : pour simplifier et résoudre un problème, on néglige ce qui embarrasse, et Ton arrive ainsi à négliger ce qui importe davantage. Que vaut alors la solution ? Que vaut-elle surtout si, comme il arrive, elle est préconçue, si après se l'être imposée, on a pris et modifié les données, comme il fallait, pour y parvenir? Et que valent les gens qui y croient, à cause de l'appareil mathématique d'où elle est sortie, qui attribuent à cet appareil la vertu de créer des vérités, lorsqu'il ne peut que les transmuer, qui sont impuissants à juger ce qu'on y met comme ce qu'on en tire ? Que valent leur confiance obstinée dans les résultats de tout calcul, de tout raisonnement qui a une tournure

mathématique, de toute déduction logique, et la dédaigneuse assurance qu'ils ont puisée dans l'habitude des vérités absolues ? Ils acceptent une hypothèse sans y regarder, ou la choisissent arbitrairement parmi des données incomplètes, surabondantes, contradictoires, raisonnent juste sur cette hypothèse, et ne s'étonnent jamais de leur conclusion.

La tendance à cette déformation intellectuelle qui résulte de l'exercice exclusif d'une seule faculté se montre jusque dans les jeux des jeunes gens qui se livrent à cet exercice. Jusquelà, ils avaient appris à écrire, non à penser ; ils s'imaginent maintenant qu'ils apprennent à raisonner ; oui, mais à raisonner sur des formules, non sur des faits ; ils n'emploient plus que ce mode de raisonnement, ne parlent plus que le langage mathématique ; ils le transportent partout, par manière de plaisanterie ; ils s'amusent à ce jeu, dont le fond n'est autre que la méthode des mathématiques appliquées, poussée jusqu'à la bouffonnerie, la substitution d'un symbole abstrait à n'importe quelle réalité; ils jouissent des stupéfactions qu'ils causent autour d'eux, affectent la tenue de celui qui raisonne avec certitude, du maître qui enseigne la vérité, et se laissent prendre à la comédie qu'ils jouent, dont ils finissent par être les dupes.

vSi les mathématiques, à elles seules, sont loin de suffire à former le jugement, la façon dont elles sont étudiées en vue des concours, l'obsession de ces concours et des légendes qui sont nées alentour dans un milieu de joueurs^

LES MATHÉMATIQUES DANS VENSEIGNEMEJST

prêts à toutes les superstitions, risquent de détruire ce qu'elles ont de vraiment utile.

A l'examen, le candidat, dans un temps très court, doit montrer le résultat des efforts qu'il a faits pendant de longues années ; pour réussir, il lui faut répondre rapidement aux questions qui lui sont faites et qu'il doit avoir étudiées, résoudre rapidement les problèmes qui lui ^ont posés, qui permettent de juger s'il est capable d'appliquer correctement les théories et d'avoir quelque initiative dans cette application. Que la rapidité des réponses soit appréciée des juges, cela est fort naturel ; mieux un candidat aura les diverses parties de son cours à sa disposition immédiate, plus il aura fait d'applications, plus loin il aura poussé la solution d'un problème difficile, mieux il doit être noté. Le bon moyen pour lui d'acquérir cette allure rapide et dégagée qui, le jour de l'examen, disposera d'abord ses juges en sa faveur, n'est pas de la rechercher. Pour celui qui a quelque vivacité d'esprit, elle est le résultat certain d'une étude lente, approfondie : c'est par cette étude qu'il arrive à posséder vraiment les théories, dont Tensemble et les détails finissent par être présents à son esprit ; lensemble et les détails lui sont présents, parce que, en les étudiant, il a été assez consciencieux pour combler toutes les lacunes, dissiper toutes les obscurités ; maintenant tout se tient, tout est clair; chaque partie lui rappelle le tout et il voit chaque partie dans le tout. Parce qu'il a, maintes et maintes fois, appliqué les théories, qu'il s'est exercé à manier les outils qu^elles fournissent, il sait ce qu'il peut faire avec ces outils et comment il peut le faire*

SCIF.NCE ET PHILOSOPHIE

Le travail intellectuel comporte une habileté d'ouvrier qu'il faut acquérir, qui s'acquiert par le travail même, et qui se manifeste par la sûreté, Taisance et la promptitude. Ces qualités sont importantes ; elles résultent, pour les bons esprits, d'une bonne méthode de travail et il est juste qu'elles contribuent au succès de ceux qui les possèdent.

Mais comment les candidats en sont-ils arrivés à croire que la promptitude dans la réponse vaut par elle-même, indépendamment de la réponse, et qu'elle est la qualité dont on leur tiendra le meilleur compte ? Sans doute, cette opinion est née dans la cervelle de quelque lourdaud, qui, le surlendemain de l'examen, aura retrouvé ses mots et ses idées, puis, quelques jours après, découvert, dans l'impatience de ses juges, la cause d'un échec qui l'avait d'abord plongé dans la stupeur. Il sera allé répétant qu'on ne lui a pas laissé le temps de réfléchir, et de dire ce qu'il savait. Son explication consolante a fait merveille. Ses compagnons d'infortune se sont jetés dessus. Dans nos concours, les refusés sont la majorité, il est juste que leur opinion l'emporte ; revenus au lycée, ils l'imposent naturellement à leurs jeunes camarades, pleins de respect pour leur malheur et leur expérience; sous peine d'être abandonnés, les professeurs finissent par l'accepter et se voient obligés de présider aux sports de vitesse institués par leurs élèves.

Dès qu'une sottise triomphe, il ne manque pas de gens pour l'appuyer de bonnes raisons; il s'en est trouvé pour attribuer aux examinateurs, qui n'en peuvent mais, des intentions pro-

LES MATHEMATIQUES DANS L'ENSEIGNEMENT

fondes; c'est, dit-on, la promptitude dans le coup d'œil qu'ils cherchent, la rapidité et la fermeté dans la décision, les qualités les plus précieuses pour celui qui doit commander. Que ces qualités soient précieuses, j 'en suis d'avis, mais les pauvres juges ont assez à faire à disceï'ner les candidats qui savent et comprennent un peu de mathématiques : ils seraient fort empêchés de démêler parmi eux les grands capitaines. Même quand on passe des examens, il n'est pas bon de parler sans réfléchir ou de s'entêter dans une erreur ; la rapidité dans la décision n'est précieuse que si l'on se décide bien ; les mathématiques ne sont point une école de décision ; on ne s'y décide pas ; on y cherche la vérité.

Pour acquérir cette vitesse dans la réponse aux « questions de cours », le plus facile est d'apprendre son cours « par cœur », de manière à pouvoir le réciter automatiquement, sans y penser ; cette récitation a d'ailleurs d'autres avantages : le candidat parle « comme un livre » ou comme son professeur; il est sûr de la correction de son langage, et il sait que cette correction est fort goûtée. L'étude des mathématiques, ainsi faite, au lieu de développer l'attention, développe la mémoire verbale.

Si le candidat ne comprenait rien à ce qu'il récite, l'examinateur s'en apercevrait bien vite, à la moindre objection, ou à la moindre application. Le candidat n'ignore pas que, pour réussir, il lui faut quelque intelligence des mathématiques ; il s'efforcera donc de comprendre en partie ce qu'il récite, et laissera de côté ce qui lui demanderait de trop longues réflexions. Or, ce qui prouve la vigueur de l'esprit, ce n'est pas

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la faculté de saisir partiellement quelques propositions isolées, mais bien un vaste ensemble ; c'est la faculté de lier les éléments qui constituent cet ensemble et d'en connaître la subordination. Tout à rencontre, Tétudiant arrive à préférer les démonstrations qui se suffisent à peu près à elles-mêmes, qui sont détachées du reste et ne risquent pas d'amener l'examinateur sur un autre terrain. Il mesure l'importance des questions au nombre de fois qu'elles sont posées aux examens ; il étudie avec prédilection celles qui reviennent souvent, où le juge retombe lorsqu'il est fatigué. Il n'apprend que des morceaux de mathématiques. Ne sachant rien qu'imparfaitement, ignorant la façon dont les théories se commandent et se pénètrent, l'ordre dans lequel elles se déduisent, ce qui doit précéder et ce qui doit suivre, il en vient à ne plus distinguer ce qu'il comprend vraiment, ce qu'il comprend à moitié, ce qu'il admet, ce qui est rigoureux, ce qui ne l'est pas; distinguer cela, distinguer nettement ce que l'on sait et ce que l'on ne sait pas, est peut-être l'avantage le plus précieux qu'on puisse tirer de l'étude des mathématiques. Ce qu'il admet, il l'admet non parce qu'il le sait, qu'il en a fait sa chose, non pas même parce qu'il veut l'admettre, mais seulement parce qu'on le lui a enseigné. Il n'est pas convaincu par un raisonnement, il y croit. Il terminera ses études sans avoir appris qu'il n'y a pas, dans la science, d'autre autorité que la science ellemême, que la volonté plie devant un ordre, non la raison devant une affirmation ; il a asservi son intelligence à une autorité extérieure, alors que son maître lui interdisait cette soumission ;

LES MATHEMATIQUES DANS RENSEIGNEMENT

il a méconnu la règle de « ne recevoir jamais aucune chose pour vraie, qu'il ne la connût évidemment être telle », alors que l'observance de cette règle était un devoir strict. Il risque d'ignorer toujours la dignité de la raison.

L'examinateur ne pose pas seulement des questions dont le candidat doit connaître d'avance la réponse, il lui pose aussi des problèmes : c'est la partie la plus essentielle de l'examen, celle où le candidat sera jugé non seulement sur ce qu'il sait, mais sur ce qu'il peut. La prétention de résoudre immédiatement ces problèmes, sans y avoir pensé, quelquefois avant d'ea avoir compris le sens, est vraiment risible, et il est étrange qu'elle soit aussi commune. Cette fois encore, le candidat s'imagine qu'il faut parler tout de suite, écrire tout de suite des formules ou des équations sur le tableau noir; il en sait d'innombrables, dont on est ébloui ; il aune foule de réponses toutes prêtes, qui lui permettent de commencer, et il va vite, vite, si vite que Ton ne peut le suivre ; il a fini, ou croit qu'il a fini, ou espère qu'on croit qu'il a fini.

C'est une explosion de toutes les matières que pendant trois ou quatre ans il a entassées dans son cerveau. A les entasser ainsi, il a fait une besogne déprimante, moins déprimante encore que l'espoir, peut-être inconscient, qui l'a soutenu dans ses dégoûts, l'espoir de tirer parti de sa mémoire, de tomber sur un problème dont il connaisse la solution, de bien débuter, de faire illusion par son assurance et l'étalage de son érudition, de deviner juste, grâce à une bonne chance, à un mot ou à un geste involontaire de l'examinateur.

Il y a là un mauvais état d'esprit. Les uns y échappent par leur talent même, qui leur fait mépriser ou ignorer les moyens factices de succès ; ils trouvent leur voie sans peine, y marchent à grands pas, arrivent vite et naturellement : c'est eux qui continuent la tradition glorieuse de nos Écoles. A beaucoup d'autres, il suffit de vivre, de connaître des devoirs et des responsabilités pour se ressaisir et se redresser. Ni le nombre, ni les vertus des uns ou des autres ne doivent nous empêcher de voir le mal là où il est.

Il est déjà ancien, mais il s'aggrave d'année en année par l'âpreté de la concurrence entre les candidats, par l'habileté même de ceux qui les entraînent. Il s'aggrave, malgré les avertissements répétés de tous ceux qui ont quelque responsabilité dans la direction des grandes Écoles, malgré les efforts méritoires des examinateurs qui en gardent l'entrée. Ces derniers ont toujours été des savants qualifiés. Que de noms illustres on pourrait citer, depuis cinquante ans ! Que de talent et de conscience dépensés dans ces longs mois de lutte contre les candidats, où il faut arracher aux uns ce qu'ils savent, mettre à nu la faiblesse des autres, et surtout, dans la multitude de ceux qui se ressemblent, distinguer des nuances insaisissables, qui permettront le classement auquel il faut bien arriver! Quelle attention soutenue à ce qu'on entend, à ce qu'on dit, à ce qu'on ne veut pas dire ! Que de questions ingénieuses ou profondes, quelle variété dans ces questions, que de scrupules dans l'appréciation des réponses ! Et quelle preuve plus forte peut-on donner des vices d'un système que l'excellence

LES MATHÉMATIQUES DANS L*ENSEIÙNEMEM

même des hommes qui l'appliquent et ne parviennent pas à atténuer ces vices ?

Ce n'est pas ici le lieu de discuter des palliatifs, dont quelques-uns d'ailleurs peuvent être utiles. C'est affaire aux spécialistes. Je crois que le mal est profond, qu'il est dans une fausse conception de l'enseignement secondaire, dans une fausse conception du rôle que les sciences doivent y tenir, enfin dans le prix excessif attaché aux concours, dans le formidable enjeu (la vie entière) de la partie qui se joue en quelques heures. Je n'ai touché jusqu'ici qu'à des points très particuliers, je demande au lecteur la permission d'élargir le sujet.

Le but de l'enseignement secondaire doit être de former les jeunes gens au travail qui occupera leur vie, à un travail intellectuel qui, le plus souvent, consistera à diriger, d'une façon plus ou moins immédiate, l'effort physique d'autres hommes. Seules, les sciences enseignent la bonne direction de l'effort, la voie où il y a moins de fatigue et plus de résultats. Le développement des applications scientifiques ne peut manquer d'amener un changement rapide dans la distribution de la richesse, et même d'être, bientôt, la source principale de la richesse. Arriver à ce que cette source soit plus abondante et profite à tous, non à quelques-uns, c'est une des formes sous lesquelles se pose le problème social. Que la solution d'un tel problème ne puisse être contenue dans une réforme de l'enseignement, qu'elle soit infiniment complexe, qu'elle exige

pour se réaliser une vision singulièrement plus claire que la nôtre des devoirs et des intérêts, qu'elle dépende moins du progrès économique que du progrès moral, je le crois assurément, mais on lui tourne le dos en continuant d'orienter l'enseignement vers la jouissance et la production littéraires.

Est-il besoin de rappeler que nos lycées ont été constitués sur le modèle des maisons ecclésiastiques, pour former des fonctionnaires bien élevés, à une époque où, sauf les mathématiques, les sciences ne faisaient que de naître ? Depuis lors les choses ont changé. On a pu, pendant près d'un siècle, ne faire attention ni à ces savants qui poursuivaient obstinément leurs expériences, leurs mesures, leurs calculs, leurs patientes constructions, ni à ces méditatifs qui s'apercevaient avec étonnement que l'univers, éclairé de lueurs nouvelles, ne se reflète plus dans leur pensée comme il faisait dans le cerveau de leurs ancêtres; les uns et les autres sont peu nombreux ; ils ont des habitudes paisibles et se contentent d'avoir une vérité de plus à ruminer. Mais les découvertes scientifiques ont déchaîné les intérêts matériels ; rien n'arrêtera la foule qui se rue à la conquête des forces naturelles, et il faut, aujourd'hui, s'entêter étrangement à fermer les yeux pour ne pas voir venir l'invasion qui, bientôt, précipitera les ruines. A ceux qui, demain, seront partout les maîtres, dans l'agriculture, le commerce ou l'industrie, qui posséderont la richesse matérielle et les idées fécondes.

LES MATHÉMATIQUES DANS L'ENSEIGNEMENT

la science fournit leurs armes : par elle, les conditions de la vie et du travail changent d'année en année; ceux qui veulent vivre et travailler n'ont qu'à se plier à ces conditions nouvelles; sinon ils n'encombreront pas longtemps la face de la terre.

Puisque l'importance pratique des sciences grandit de jour en jour, puisqu'elles s'accroissent très rapidement et que la durée de la jeunesse reste la même, elles prendront dans l'enseignement, bon gré, mal gré, une place qui est déjà occupée. Bientôt, il n'y aura plus que des métiers et des carrières scientifiques. Pour ne parler ici que des carrières auxquelles on commence de se préparer au lycée, le temps est déjà venu où l'intelligence de quelques vérités scientifiques importe plus au médecin que Tétymologie des maladies ou des remèdes, à l'avocat que la signification exacte d'un passage des Pandectes.

L'opinion contraire, qui prévaut encore, semble bouffonne quand on réfléchit à la façon dont la médecine s'est transformée depuis trente ans, aux intérêts qu'ont à traiter ceux des avocats qui ne s'occupent pas seulement des crimes passionnels. Notre éducation littéraire n'est bonne qu'à former des professeurs, qui n'auront plus d'élèves dans la génération à laquelle ils s'adresseront.

C'est là une conviction qui dérange bien des habitudes et répugne à bien des goûts, mais qui s'impose à ceux qui regardent autour d'eux ; quelques-uns ont lutté longtemps contre elle et l'ont subie avec peine. Cela n'importe pas :

devant l'inévitable, les regrets sont vains ; vaine est la jouissance que l'on goûte à gémir ; le talent que l'on dépense à faire partager aux autres cette

jouissance inutile est vain; plus vaine encore, s'il est possible, est Tillusion de ceux qui vont répétant que réducation qu'ils ont reçue doit être, dans l'avenir, réservée à une élite. Il nous est? sans doute agréable de croire que nous ressemblons à l'élite des générations à venir, élite dont nous ferions partie si seulement nous nous laissions vivre. Cette imagination fait sourire : l'élite d'une génération est faite d'hommes pareils à leurs frères, meilleurs et plus forts, capables de les comprendre et de les guider, et non de ceux qui se figurent avoir des plaisirs plus distingués.

Au lieu de s'attarder à ces gémissements ou à ces illusions, mieux vaudrait rechercher comment une éducation scientifique est possible, comment elle peut servir à former les esprits et les caractères, comment elle doit être distribuée suivant l'âge de l'enfant et le but que Ton veut atteindre, rechercher aussi ce qui lui manque et ce qui doit la compléter. C'est là, aujourd'hui, le vrai problème, qui dépasse de beaucoup la question du baccalauréat. Comment faire comprendre aux jeunes gens la dignité de la science, leur en faire goûter la beauté, le désintéressement en même temps que l'utilité? Et, si l'homme ne vit pas que de vérité, comment faire jaillir de la science les sources d'émotion qu'elle contient? Et si ces sources-là sont parfois trop haut, dans un air trop subtil et trop froid, dans des régions que nous n'atteignons pas souvent, et où nous ne pouvons demeurer, comment étancher notre soif? Quelle sera la place de l'éducation artistique, sacrifiée par les pédants aux exercices littéraires? Ni la contemplation de la vérité, ni les jouis-

LES MATHÉMATIQUES DANS L'ENSEIGNEMENT

sauces esthétiques ne suffisent, si la vie est action. Pour agir, la science nous fournit des moyens, non des motifs. Les meilleures impulsions et les .plus belles doivent être réglées et soutenues : l'enseignement ne peut se passer, de philosophie ni de morale. Puis, continuellement, ibnous faut juger et nous décider dans des circonstances si complexes que la science ne peut les démêler. Le maître qui enseignera les sciences positives saura-t-il montrer à ses élèves les précautions qu'exigent les méthodes scientifiques, les tâtonnements et les recommencements qui ont conduit à la certitude, la portée et les limites de ces méthodes, leur impuissance en dehors de leur domaine propre? Saura-t-il développer ce sens profond et obscur de la vie, cet instinct qui résume peut-être, au fond de nous-mêmes, des milliers d'existences antérieures, cet instinct qui devine, et, souvent, trompe moins que le raisonnement, auquel il supplée ? Ne faudra-t-il pas faire une large part à d'autres connaissances, où s'exerce une critique aussi sagace et plus intuitive, où la signification des choses résulte de leur complexité, à l'étude des sociétés humaines, de leur vie actuelle et passée ? Et si les littératures sont une des formes par lesquelles cette vie se manifeste et se continue, quelle place faut-il leur laisser et quelle place aux langues modernes, si nous voulons participer à la vie des autres nations, profiter de leur travail, être capables de 'lutter avec elles?

Les questions abondent et je n'ai pas d'autre prétention que d'essayer de les poser; mais il serait temps que les gens habiles voulussent y réfléchir, et prendre une fois leur parti de ce qui

est nécessaire; c'est à eux de préparer les solutions, s'ils ne veulent pas qu'elles soient brutalement imposées au nom d'intérêts matériels mal compris (et qu'eux-mêmes n'auront pas voulu comprendre), s'ils veulent éviter un âge de barbarie scientifique, platement utilitaire, où la science elle-même risquera de sombrer.

Les études littéraires proprement dites ne doivent pas être moins exceptionnelles que celles qui conduisent au Conservatoire de Musique ou à l'Ecole des Beaux- Arts. Au reste, dans un système d'éducation qui s'adresse au grand nombre, il n'y a pas lieu de chercher à développer la production artistique ou littéraire, mais seulement le sens de la beauté, la faculté d'en jouir. Quelques-uns, cela est certain, se trouveront perdre beaucoup à ne plus être nourris des lettres anciennes. Encore n'est-il pas certain que Thuraanité soit si vieille qu'elle soit incapable de se créer des jouissances nouvelles et qu'elle en soit réduite au souvenir des émotions qui ont enchanté son enfance. Et puis, il faut bien avouer que les gens qui ont ressenti ces émotions, qui ont vraiment goûté les chefs-d'œuvre de l'antiquité, ont toujours été rares ; la multitude de ceux qui prétendent admirer ces chefs-d'œuvre est faite de ceux qui n'y ont trouvé que de l'ennui, et n'en ont pas tiré d'autre profit que de mépriser les êtres inférieurs auxquels cet ennui-là n'a pas été infligé. Depuis leur baccalauréat, quelle page ont-ils jamais relue, de ces maîtres dont le nom leur cause tant d'enthousiasme, mêlé de bâillements qu'ils ont peine à réprimer ?

LES MATHÉMATIQUES DANS L'ENSEIGNEMENT

Une éducation vraiment générale doit comprendre les éléments de tout;es les sciences, des sciences expérimentales comme des sciences mathématiques. J'ai dit plus haut la vraie raison de la prépondérance de ces dernières dans notre système d'enseignement ; mais je dois avouer que cette raison n'est pas la seule : les mathématiques sont vieilles, elles ont des siècles derrière elles ; on y est habitué ; quelques philosophes les ont cultivées avec succès et en ont dit du bien ; elles ont été accueillies sans trop de défiance p^ des gens qui n'y voyaient qu'un jeu de l'esprit, très innocent, une occupation sans conséquence à des subtilités « fort curieuses ». Elles ne s'adressent qu'à la pure pensée ; cela est économique et cela leur confère une sorte de noblesse, que n'auront jamais les autres sciences, qui sont encombrantes, attachées à la matière, oii il faut regarder, toucher, manier, qui sont nées d'hier, qui se transforment rapidement, jusque dans leurs principes, et dont les éléments ne sont pas encore bien fixés. Enfin, logiquement, Tétude des sciences expérimentales doit être précédée de l'étude des mathématiques, dont elles ne peuvent se passer.

Cette dernière raison, qui assurera toujours aux mathématiques, dans tout enseignement élémentaire, une place importante, est la seule valable. Il n'en faut pas exagérer la force. Tous ceux qui ont pratiqué l'enseignement savent qu'il ne peut pas être parfaitement logique. Si l'on a des doutes à ce sujet, qu'on essaye d'imaginer un

enseignement logique, prenant Tenfant au berceau ! Tout effort vers la vérité doit être recommencé plus d'une fois, avec la vigueur acquise par l'étude même de cette vérité et de celles qui Ta voisinent. Sans doute les mathématiques sont nécessaires à Tintelligence des sciences expérimentales , mais non de toutes les parties de ces sciences ; et celles-ci peuvent très bien être enseignées concurremment avec les mathématiques, dont elles font comprendre Tiatérêt par les problèmes qu'elles posent; non seulement elles peuvent être enseignées en même temps, mais elles doivent Têtre, si l'on veut former les jeunes esprits, que les abstractions ne nourrissent pas suffisamment, à qui, il faut des données réelles, des faits à distinguer, à comparer, à grouper, à ranger sous des lois moins vides que celles des mathématiques. Sans doute, les théories scientifiques ne peuvent être comprises que par des esprits déjà mûrs; mais il convient de commencer de bonne heure cette éducation des sens, cette habitude de l'observation, cette intuition de l'ordre des grandeurs et de l'importance relative des choses, que les uns n'acquièrent jamais et les autres trop tard. Cette première éducation ne vaut-elle pas, pour la pensée, les études de mots auxquelles nous contraignons nos enfants pendant tant d'années ?

Préparée ainsi dès l'enfance par l'acquisition de faits et de lois simples, non par la récitation de sèches nomenclatures, l'éducation scientifique proprement dite doit commencer dès que l'élève peut se hausser jusqu'à la compréhension des lois générales, l'enchaînement des théories ; à un âge où il n'est pas encore hanté par la préoccupation

LES MATHEMATiqUES DANS l*ENSEJGNEMENT

d'une carrière, où il est capable de regarder les choses en elles-mêmes, d'une façon désintéressée. Elle doit se développer lentement, non s'enfler tout d'un coup dans la fièvre : elle doit se développer harmonieusement, dans tous les sens, si l'on veut conserver l'équilibre des diverses facultés.

Si les mathématiques sont admirables pour fortifier les facultés logiques, elles n'ont rien à faire avec Tesprit critique, qui ne s'exerce que dans la connaissance des faits, parce que cette connaissance est nécessairement incomplète ; l'esprit critique, le jugement, se perfectionnent au contraire par la pratique des sciences expérimentales, de leurs méthodes pour démêler le feutrage de la réalité, pour faire apparaître l'importance relative et la subordination des causes, pour diminuer les chances d'erreur, fixer le degré d'approximation des mesures et des lois qui les résument. L'examen détaillé d'une suite d'expériences se rapportant à un même objet, des précautions qu'elles ont exigées, des erreurs qu'entraîne l'oubli de ces précautions, des perfectionnements successifs qui ont été apportés, des corrections qui restent nécessaires, de l'incertitude qui subsiste dans l'interprétation des résultats, est une étude excellente. Elle s'imprimera sûrement dans l'esprit de l'étudiant s'il a réalisé lui-même quelques-unes de ces expériences, s'il a vu, touché, mesuré, s'il ne s'est pas contenté d'essayer d'imaginer ce qu'on lui dit, si ce n'est pas seulement des mots, mais des choses concrètes, déterminées, ayant une forme et une couleur, qui restent dans sa mémoire ; s'il s'est demandé à lui-même ou s'il s'est fait expliquer par son maître pourquoi le résultat n'a pas été

SCJEyCE ET PUILOSOSHIE

conforme à la théorie, si ses insuccès comme ses réussites ont contribué à l'accroissement de ses connaissances, si, en un mot, renseignement des sciences expérimentales est vraiment expérimental, s'il a pour but d'apprendre les choses, non de dresser les élèves à répondre aux questions d'un examinateur*.

L'étudiant sentira de lui-même la nécessité de développer ses connaissances mathématiques; il aura hâte de s'attaquer aux problèmes qu'on a posés devant lui, que, peut-être, il s'est posé à lui-même, de réduire les lois en formules, de transformer ces formules, de savoir en dégager les inconnues ; en entendant son professeur développer une méthode de géométrie ou d'algèbre, il aura la joie d'en saisir la portée, de tenir enfin un instrument qui lui manquait, dont il a hâte de se servir. Et s'il en vient à aimer les mathématiques pour elles-mêmes, pour leur beauté propre, s'il rêve de se donner à elles tout entier, il ne regrettera pas de soupçonner leur rôle dans la connaissance du monde réel, et de savoir qu'elles permettent de résoudre d'autres problèmes que ceux qui sont collectionnés dans les « feuilles d'examens » .

La dernière classe de nos lycées doit miettre les jeunes gens en mesure d'acquérir une instruction plus spéciale dans les Universités, dans les Instituts ou Ecoles techniques. Il y a aujourd'hui une tendance heureuse au groupement de ces « Instituts » autour des Universités, et Ton peut espérer que celles-ci aideront à réaliser cette

I. Un enseignement de cette nature fonctionne depuis plusieurs années dans les Facultés des sciences. Il s'adresse surtout aux futurs médecins. Ce qui se fait à l'Université peut aussi bien se faire au lycée.

LES MATHÉMATIQUES DANS L'ENSEIGNEMENT

communication entre la science, Findustrie et Tagriculture, qui, ailleurs que chez nous, commence à se faire, et qui, demain, sera pour tout pays une condition impérieuse d'existence. Mais le chemin du lycée à TUniversité n'existe pas ; il est barré par la classe de « mathématiques spéciales » dont renseignement est tourné uniquement vers quelques examens, par une classe que l'on recommence trop de fois, et d'où Ton sort avec la connaissance trop détaillée de chapitres trop limités. Elle barre si bien la grande route qu'il a fallu faire des chemins de traverse et organiser, dans les Universités, des conférences où l'on enseigne, d'une façon élémentaire, ce que Ton enseigne au lycée d'une façon beaucoup plus complète ; inversement, on ne crée pas, dans les Universités, les chaires d'Algèbre ou de Géométrie supérieures qui devraient s'y trouver, parce que les sujets correspondants ont été par trop déflorés au lycée ; les deux enseignements, secondaire et supérieur, sont renversés. La classe de « mathématiques spéciales », si on veut lui conserver ce nom, qu'elle ne justifie d'ailleurs que trop, doit redevenir un passage qui mène, en particulier, aux grandes Écoles, mais qui mène aussi bien à toutes les carrières, où l'on a besoin d'une forte instruction scientifique et, en particulier, mathématique. Son programme, pour / ce qui est des mathématiques, resterait à peu près le même ; c'est la façon dont ce programme est développé qu'il faudrait changer. Personne ne devrait rester plus de deux ans dans cette classe ; c'est déjà un an de trop. Est-ce qu'on redouble les années d'École ?

Les élèves n'y devraient entrer qu'avec une

forte culture scientifique. Pour développer cette culture, il faut du temps, et ce temps ne peut être trouvé qu'en abandonnant résolument le grec et le latin : prenons-en notre parti ; prenons notre parti de former une génération de travailleurs armés pour les luttes économiques qui rempliront le siècle prochain'. Il faut que ces travailleurs-là soient légion, et qu'ils renouvellent toutes les formes de la production.

Les élèves entreraient donc dans la classe de « mathématiques spéciales » avec une tout autre culture, un tout autre esprit qu'aujourd'hui ; ils verraient devant eux des carrières diverses ; ils recevraient un enseignement utile à tous, utile en soi, qui regarderait autre chose que les examens. Comment toutefois empêcher la préparation artificielle aux concours des Écoles, si le prix attaché à ces concours reste le même, si les individus ont le même^intérêt à gagner ce prix, la même chance de le gagner en se soumettant à un entraînement factice, si les associations qui ont pour but la conquête de l'influence par des gens qu'elles ont façonnés suivant leur doctrine ont le même intérêt à faire pénétrer leurs anciens élèves dans les situations auxquelles l'autorité est attachée ? D'excellents esprits voudraient que la préparation fût organisée et surveillée par rÉtat. C'est le droit de l'État, qui a organisé les Écoles mêmes : il peut en régler l'accès et, en quelque sorte, les prolonger par devant. Une telle mesure n'a rien d'incompatible avec la liberté de l'enseignement ^