I. Je l'ai reproduite dans mes Leçons cF Arithmjêtiqufi

L'ARITHMÉTIQUE

le théorème D, puis toute la théorie du plus grand commun diviseur, du plus petit commun multiple, etc..

Après avoir réfléchi, je n'ai pas adopté cet ordre. Tout d'abord, je ne crois pas qu'il apporte beaucoup de facilités aux élèves ; dans ces conditions, pourquoi changer nos habitudes d'enseignement? Le petit changement que j'ai proposé, en adoptant Tordre de Dirichlet, est de ceux dont on peut bien, si conservateur qu'on soit, laisser la liberté aux auteurs ; tout revient a remarquer qu'une démonstration (qu'on ne change pas) prouve un peu plus qu'il ne paraissait. Mais cette raison routinière n'est pas la plus forte en faveur de l'ordre suivi par Dirichlet.

La théorie du plus grand commun diviseur et les proppsitions A, B, C, regardées comme conséquence de cette théorie, se transportent en Algèbre à peu près sans rien changer. On n'a qu'à remplacer les mots nombre entier par le mot polynôme ; des polynômes à une variable on passe sans difficulté aux polynômes à plusieurs variables ; la même théorie s'étend encore dans d'autres parties de l'arithmétique ou de l'Algèbre supérieures, et cela sans aucun effort. Au contraire, qu'on pense à la difficulté avec laquelle s'étend la notion de nombre premier ! Déjà, en Algèbre, la notion de polynôme premier est liée à celle du domaine de rationalité, qui n'est pas d'une nature élémentaire, et pour ce qui est de l'extension de la notion de nombre premier aux entiers algébriques ou à la démonstration du théorème analogue au théorème D, vous savez quels efforts extraordinaires ont exigés ces généralisations.

Eh bien! C'est là, à mon sens, une raison très forte en faveur de Tordre de Dirîchlet : // est plus élémentaire. On ne s'en aperçoit pas, je l'accorde, si on se borne aux programmes de nos lycées : à ce point de vue, laquelle des deux notions plus grand commun diviseur ou nombre premier doit-elle être regardjée comme plus primitive * ? Il est bien difficile de répondre et il paraît même assez vraisemblable de supposer que la seconde s'est présentée historiquement avant la première. Le développement ultérieur de la science conduit à regarder la notion de plus grand commun diviseur comme antérieure à celle de nombre premier en raison de la facilité avec laquelle elle se généralise. Pour moi, cette raison est suffisante si même on ne veut pas dépasser les éléments. On peut bien ne pas partager ce sentiment, mais on accordera que, au moins pour ceux qui veulent apprendre l'algèbre, il y a économie à adopter l'ordre de Dirichlet, d'autant que cet ordre n'est pas plus compliqué que l'autre.

I . On sait combien les notions de plus grand commun diviseur et de plus petit commun multiple sont étroitement liées ; on ne sera pas étonné qu'il soit possible de prendre la seconde comme point de départ : c'est ce qu'a fait Stieltjes dans un mémoire malheureusement inachevé, inséré dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse.

Je signale encore le raisonnement fort simple de Poinsot, reproduit p. 457 ^® va.on Arithmétique ; c*est un raisonnement classique dans la théorie des groupes. Le théorème B en ressort très aisément.