Sur un théorème d'arithmétique

A Monsieur F. Marotte.

Cher ami.

Dans le numéro de juillet de la Revue, M. G. F. appelle l'attention sur le théorème fondamental d'après lequel un nombre premier qui divise un produit de plusieurs facteurs divise certainement l'un d'eux et sur les propositions connexes. L'ensemble de ces propositions constitue assurément un des chapitres les plus difficiles de l'Arithmétique. M. G. F., qui a bien voulu signaler la façon dont ce sujet est traité dans mes Leçons d'Arithmétique et dans mes Leçons d'Algèbre, me donne l'occasion d'en dire deux mots après lui et d'expliquer les raisons pour lesquelles j'ai adopté un ordre plutôt qu'un autre.

J'ai adopté l'ordre et les démonstrations qui se trouvent dans les Leçons de Lejeune Dirichlet sur la théorie des nombres, telles que les a publiées M. Dedekind. Lejeune Dirichlet établit d'abord la proposition :

A. — On ne change pas Vensemble des diviseurs communs à deux nombres ou y ce

L'ARITHMETIQUE »j

qui revient au même, le plus grand comm^un ']

diviseur de ces deux 7iombres, en multipliant

ou en divisant Vun d'eux par un nombre pre- \

^nier à Vautre. En d'autres termes, si a, è, c^ ■

sont des nombres entiers et si c est premier à ^,

le plus grand commun diviseur de ac et de h est

le même que celui de a et de è. .

En supposant que b divise ac (que b soit le plus grand commun diviseur de b et de ac)^ on en déduit la proposition :

B. — 5/ un nombre divise un produit de deux facteurs et sHl est premier à Vun de ces facteurs^ il divise Vautre.

En supposant que b soit premier à a comme à c^ on a la proposition :

C. — Un nom^bre premier aux facteurs d*un produit est premier à ce produit.

L'habitude française (au moins depuis TArithmétique de Joseph Bertrand) était d'établir d'abord la proposition B. Or, cette démonstration est identique à celle de la proposition A. Il me paraît hors de doute que, lorsqu'il n'y a rien de plus à faire pour cela, mieux vaut démontrer une proposition générale qu'une proposition particulière, contenue dans cette proposition générale. Mais ici la démonstration de la proposition générale paraît un peu moins artificielle que celle de la proposition B ; on n'est pas étonné de voir figurer dans cette démonstration le plus grand commun diviseur, qui intervient dans l'énoncé ; lorsqu'on démontre B seulement, on ne sait d'où vient ce plus grand commun diviseur. J'accorde d'ailleurs que la démonstration de la proposition A (ou B) est de celles que les élèves ont de la peine à retenir; il semble que sa perfection même

les déroute; de plus, il leur faut quelque effort pour reconnaître que B est contenu dans A.

Enfin, il importe d'insister auprès d'eux sur la façon dont toute cette théorie intervient dans la démonstration de la proposition :

D. — Un nombre ne peut se décomposer en facteurs premiers que d'une seule 'façon.

Chacun sait que, si l'on admet cette proposition, les théorèmes A, B, C, et bien d'autres, se démontrent d'une façon très simple et très naturelle et, assurément, plus d'un professeur s'est demandé s'il ne vaudrait pas mieux prendre cette proposition comme point de départ. Je vois deux façons de le faire.

L'une qui, pour ma part, ne me scandaliserait nullement dans un enseignement très élémentaire et à tendances pratiques, consisterait à énoncer simplement le théorème, à dire aux élèves qu'on le démontre en toute rigueur et à laisser la démonstration de côté, parce qu'elle est difficile. Tant mieux si quelques élèves la réclament.

Vous savez, mon cher ami, que, pendant «longtemps les programmes de l'École polytechnique stipulaient expressément qu'on ne demanderait point la démonstration de l'existence d'une racine réelle ou imaginaire, pour les équations dont le premier nombre est un polynôme. Le mal n'était pas grand, pourvu qu'on expliquât bien aux élèves le sens de cette proposition. Cela me rappelle qu'Hermite, il y a un peu pl,us de quarante ans, nous signalait à l'École normale la commodité qu'il y aurait à admettre, en restant dans le domaine des nombres réels, que tout polynôme à une variable est un produit de binômes et de tri-

VARITHMÉTJQUE

nomes du premier et du second degré. Ce souvenir est à peine une digression : en Algèbre et en Arithmétique, les mêmes questions se posent; Y y reviendrai tout à l'heure .

L'autre façon de faire consiste à établir le théorème D par la voie la plus courte : la plus courte que je connaisse est celle qu'a suivie Gauss; au début des Disquisitiones (n"" 14) il démontre directement que :

E. — Si un noffibre preinier divise un pro~ duit de plusieurs facteurs, il divise Vuii d'eux.

Voici comment Gauss s'exprime au sujet de ce théorème :

Hujûs theorematis demonstratio jam ah Euclide tradita, El. VII, jz. Nos tamen omittere eam noluitnus^ tum quod recentiorum complures seu ratiocinia vaga pro démons^ tatione vendit averunt y seu theorema omnino prceterierunt^ tum quod indoles methodi hic adhibitœ, qua infra ad multo reconditiora enodanda utemur, e casu simpliciori facilius deprehendi poterit *.

Puisque je n'en ai point fait tout à l'heure, permettez-moi maintenant une petite digression.

J'ai cru comprendre, d'après la note de M. G. F., que l'habitude s'est répandue, parmi les élèves, d'appeler le théorème B, théorème de Gauss. Comment a-t-on bien pu laisser se

I. La démonstration de ce théorème a déjà été donnée par EucLTDE, El. VII t 33. Nous n'avons pas cependant voulu l'omettre, tant parce que plusieurs auteurs modernes ont présenté des raisonnements vagues au lieu de démonstrations, ou bien ont négligé ce théorème, que dans le but de faire mieux saisir, par ce cas très simple, l'esprit de la méthode que nous appliquerons par la suite à des points bien difficiles.

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répandre une pareille habitude et d'où vientelle? Depuis longtemps, cher ami, vous counaissez mes manies et vous savez que les deux plus fortes consistent à ne pas vouloir qu'on dise circonférence au lieu de cercle et qu'on affuble chaque théorème d'un nom propre. De cette dernière manie, je vous développerai peut-être un jour toutes les raisons, si vous le voulez bien, mais le présent exemple suffirait à la justifier. Eh ! quoi ! Voilà une théorie fondamentale, dont on n'a pas dit aux élèves qu'elle se trouvait déjà dans Euclide pour tout ce qu'elle a d'essentiel! Qu'on ne les oblige pas à apprendre la langue des Grecs, j'en suis d'avis, mais qu'on leur laisse tout ignorer du merveilleux génie de celte race privilégiée, qu'on leur laisse croire que l'Arithmétique commence à Gauss!,.. Au moins, ce n'est pas la faute de ce dernier ; la citation qui précède le prouve assez. Je reviens à cette citation.

Elle montre qu'au moment où Gauss écrivait, le point qui nous occupe était mal enseigné : il y a là une petite étude historique à faire qui devrait tenter quelqu'un de ceux qu'intéresse l'histoire de l'enseignement des mathém^tique.8; mais passons. Elle montre aussi que Gauss ét^it content de sa démonstration, qui est fort simple*, mais que nos élèves trouveraient assurément aussi difficile à se rapx)eler que la démon^tr^tioi^ des théorèmes A ou B.

Mettons que, comme difficulté, les deux démonstrations se valent. J'' estima jtrès Jégitime d'adopter la démonstration de Gau^s, d'en déduire