Préface des leçons d'algèbre et d'analyse

J'ai essayé de rédiger les présentes Leçons dans un esprit conforme à celui des programmes de la classe de Mathématiques spéciales tels qu'ils ont été arrêtés, en 1904, après entente

VANALYSE

entre les représentants des Ministères intéressés. Je me suis appliqué de mon mieux à rendre les choses visibles, à éviter les détours subtils et rabus du formalisme, à écarter les propositions particulières qui n'intéressent que les curieux, ou les généralités sans application, à pousser enfin les théories jusqu'à la réalisation numérique.

Toutefois, lorsqu'il m'est arrivé de laisser de côté certains raisonnements, indispensables pour établir un théorème en toute rigueur logique, j'ai cru devoir en avertir le lecteur et lui signaler les difficultés ou les lacunes. J'ai horreur d'un enseignement qui n'est pas toujours sincère : le respect de la vérité est la première leçon morale, sinon la seule, que l'on puisse tirer de l'étude des sciences. Sans doute, il y a des démonstrations qui ne sont pas rigoureuses et qui sont excellentes, parce qu'elles laissent dans l'esprit une image qui ne s'eflace pas, que Ton voit en même temps que la proposition, et dont la clarté suffit à guider dans les applications ; si elles présentent quelque lacune, il faut le savoir, et il est bon de savoir où est cette lacune. Aussi bien dans la vie pratique que dans la spéculation, il importe de distinguer ce que l'on comprend avec certitude, ce dont on est justement persuadé, ce que Ton croit ; il est bon de distinguer les choses que l'on possède entièrement et celles dont on peut user, sous certaines conditions.

Je n'avais ni la place, ni les connaissances nécessaires pour indiquer partout, d'une façon sûre, la filiation historique des idées ; je n'ai fait nulle histoire et je le regrette. Sauf quelques noms consacrés par Tusage, j'ai évité les noms

propres ; Fhabitude d'accoler un nom à toutes les propositions me semble un abus qui n*a rien à faire avec l'histoire. Lors même que cette habitude est consacrée, elle ne va pas sans inconvénient : il est fâcheux qu'un élève de Mathématiques spéciales ne connaisse Descartes que par la règle des signes, Newton que par la méthode d'approximation ou la formule du binôme et qu'il soit tenté de regarder RoUe comme un aussi grand mathématicien que Descartes ou Newton.

Je n'ai point cité davantage» bien qu'ils fussent souvent d'excellents géomètres, les auteurs des démonstrations ou des améliorations à des démonstrations antérieures : il m'aurait été parfois difficile de distinguer entre les souvenirs de mes lectures, de mes conversations avec mes maîtres, mes collègues ou mes élèves. Ne pouvant le faire partout, je ne l'ai fait nulle part.

N'ayant cité personne, je dois m 'excuser d'autant plus d'avoir souvent renvoyé le lecteur à mon Introduction à la théorie des fonctions d'une variable. Ce dernier livre a été écrit avec des préoccupations tout autres 'que les présentes Leçons. Je me suis proposé d'y présenter les choses, sous une forme abstraite, avec une entière rigueur logique : cette rigueur est indispensable quand on veut pénétrer dans certains domaines de la Science, où celui qui prétendait s'en passer commettrait à coup sûr les plus lourdes erreurs ; celles-ci ne sont guère à craindre, au moins actuellement dans les applications des Mathématiques, et il n'est pas mauvais, en commençant, de ne pas se laisser paralyser par la terreur dV tomber : quelques lecteurs, toutefois, peuvent désirer y connaître le complément d'un raison-

l'ANALYSE

nement, la suite d'une théorie : c'est à ce désii* possible que j'ai voulu répondre.

En achevant la rédaction, j'ai été quel(^ue peu effrayé de la longueur de mon manuscrit : je voudrais me persuader que cette longueur tient à l'abondance des explications et au nombre des exemples : je serai heureux si le lecteur trouve facile la lecture de ces Leçons et s'il juge. qu'il aurait bien pu traiter seul les exemples que j'ai développés. Toute brièveté a son mérite, même la brièveté verbale, que je n'ai nullement cherchée ; mais la véritable brièveté n'est pas cellelà : le parfait enseignement serait, à mon sens, un enseignement tel que celui qui Ta reçu et qui se l'est complètement assimilé s'étonne du peu de place que tiennent dans sa propre pensée les principes fondamentaux, les théories qui s'en déduisent, les méthodes qui en résultent, parce que ces principes sont si clairs, ces déductions si naturelles, ces méthodes si aisées qu'il peut à chaque instant les retrouver sans effort. Est-il besoin de dire que je n'ai nullement la prétention de m'ètre approché de cet idéal, même de loin?