Klein. Conférences sur les mathématiques (Chicago

un corps aux recherches sur la résolution de Téquation du cinquième degré ; à ce propos, voici la conception si profonde de Galois qui s'élargit : son groupe de permutations est remplacé par un groupe de substitutions linéaires et le problème de la résolution des équations, ou plutôt de leur réduction à des formes normales, eat posé en des termes nouveaux. Après avoir parlé du caractère transcendant du nombre, M. Klein imaginera que le plan soit recouvert par tous les points dont les* coordonnées sont des nombres algébriques et il observera que, si pressés les uns contre les autres que soient ces points, la courbe qui a pour équation y =; e^no passe que par un seul d'entre eux ; s^il s'agit des fonctions elliptiques, hyperelliptiques ou abeliennes, on ne s'étonne pas, s^ns doute, tout en admirant leur richesse et leur beauté, de voir surgir les interprétations géométriques ; mais M. Klein poussera la coquetterie jusqu'à prendre dans la géométrie même un exemple de ce qui ne peut être ni figuré ni imaginé. Une courbe sans tangente, c'est la considération d'une chaîne forniée de cefrcles dont chacun touche le précédent et le suivant et engendre de nouveaux cercles en se réfléchissant indéfiniment par inversion sur les autres, qui lui fournit cet ingénieux exemple, dans la courbe sur laquelle viennent se condenser tous les points de contact.

Pour lui, les êtres mathématiques ne sont pas des abstractions ; il les voit et il les fait voir, qui se jouent tantôt dans les espaces non euclidiens, tantôt dans cet espace vulgaire dont se contentent quelques géomètres, qui ne veulent pas sans doute que l'espace n'existe que dans notre pensée.

Le don de voir, qui lui a été départi si généreusement, M. Klein le rapporte avec modestie à la race teutonique, dont la puissance naturelle d'intuition serait un attribut prééminent; mais ne pousse-t-il pas la modestie trop loin, lorsqu'il oppose à l'attribut de sa race la puissance logique et critique des Latins et des Israélites! Qui le croirait, s'il se refusait à lui-même cette puissance? et n'oublie-t-il pas que lorsqu'il s'est amusé à classer les mathématiciens en logiciens, en formels et en intuitifs, ce n'est pas parmi les représentants des races Ijatine ou hébraïque qu'il a trouvé le type du logicien, d'ailleurs très illustre, caractéristique et bien choisi ?

Dans ces lectures, dont le but était de faire connaître à ses auditeurs l'état des Mathématiques modernes, les questions les plus actuelles, M. Klein est naturellement amené à parler souvent de ses propres recherches ; personne ne s'en plaindra et, à vrai dire, le tableau eût été par trop incomplet s'il les avait passées sous silence; il fait d'ailleurs une large part à ses nombreux élèves, dont plusieurs sont déjà des maîtres illustres : on sait que, pour lui, un élève est un collaborateur et qu'il associe généreusement à ses propres recherches ses auditeurs de Gœttingue. Mais il ne s'enferme pas dans l'École dont il est le maître, et il a su trouver pour M. Sophus Lie une flatterie singulièrement délicate ; c'est deux lectures entières qu'il consacre au grand géomètre norvégien, tout en déclarant d'abord qu'il entend n'en considérer le génie qu' « à l'état naissant ». A la vérité, le monument qu'a élevé M. Sophus Lie ne fera pas oublier son mémoire Ueber complexe insbeson-

lA GEQMeTRJE

dere Linien-- und KtigeUcofnplexe , etc. Ce mémoire, dont xM. Klein expose quelques résultats essentiels, lui donne l'occasion de rappeler son propre Programme d'Erlangen, où il a expliqué comment chaque système de géométrie est caractérisé par son groupe et d'opposer en quelque sorte, l'un à l'autre, les groupes de ces deux géométries des sphères qu'ont fondées M. Lie d'une part, M. Darboux de l'autre. Une fois, dans le cours de ses lectures, il abandonnera les Mathématiques pures pour parler des Mathématiques appliquées et des Sciences objectives; là même ses préoccupations habituelles le ressaisissent un instant et il ne peut s'empêcher de rappeler en passant comment la considération des courants électriques sur des surfaces fermées vient illtistrer les théories de Riemann ; mais ce n'est qu'un a parte : il classe les diverses sciences appliquées d'après la quotité de chiffres qui figurent dans les nombres qu'elles considèrent : ainsi l'astronomie emploie des nombres de sept chiffres ; la chimie n'emploie guère que des nombres de deux ou trois chiffres. M. Klein insiste sur le caractère toujours provisoire des nombres, des lois et des formules que l'on trouve dans les sciences expérimentales ; il émet l'idée ingénieuse que, puisque ces sciences ne peuvent se servir que de formules approchées, il doit être possible de constituer, à l'usage de ceux qui s'y livrent, une Mathématique abrégée.

Je ne sais si j'ai pu donner quelque idée de la variété et de l'intérêt des sujets que M. Klein développe, indique, touche d'une main légère, ou approfondit ; il y aurait une insupportable prétention à vouloir analyser une par une les lectures

^ 289 ^ J. TANKERY. — iq

OÙ Ton a toujours affaire à trois maîtres à la fois, au moins : un géomètre, un philosophe, un artiste. Lequel faudrait-il louer davantage ? Je ne sais, et si on le demandait à M. Klein et qu'il pût répondre, ne serait-il pas embarrassé de le faire ? S'il ressemblait à d'autres, il préférerait sans doute celui des trois qui est le moins développé, mais, encore une fois, lequel ! Je me contenterai donc d'indiquer en terminant la liste de ces conférences : elle est déjà intéressante, et sans doute elle ne suffira pas à satisfaire la curiosité des lecteurs du Bulletin.

Le petit Volume que M. Duporcq* publie sous ce titre modeste rendra d'incontestables services à une catégorie assez nombreuse d'étudiants, qui ont entendu parler des méthodes de la Géométrie moderne, mais qui, pressés par les exigences des examens, n'ont pas eu le temps de se familiariser avec ces méthodes, dont il est sans doute inutile de vanter ici l'élégance et la fécondité. Les études ultérieures qu'ils ont faites dans les Écoles techniques, peuvent très bien leur avoir laissé la curiosité et le goût de ce Chapitre de la Science, qui avait été, autrefois, entr'ouvert devant eux, et où se trouvaient traitées, en quelques lignes, des questions dont ils n'entrevoyaient la solution qu'au travers de longs calculs. Il est certain, d'un autre côté, que tous ceux qui veulent acquérir des connaissances d'ensem-

I. DupoRCQ. (E.). Premiers principes de Géométrie moderne à l'usage des élèves de Mathématiques spéciales et des candidats à la licence et à l'agrégation, i Vol. in-8«>, Gauthier-Villars, Paris; 1899.

ble sur la Géométrie, et développer un peu ces connaissances dans n'importe quelle direction, doivent s'habituer à parler le langage de la Géométrie moderne et à en manier les méthodes.

Enfin ceux des élèves de la classe de Mathématiques spéciales, qui, grâce aune intelligence un peu vive, ont quelque loisir, tireront surtout grand parti du Livre de M. Duporcq. Ce dernier estime que l'étude de la Géom^étrie m^oderne est "plus profitable pour la formation de l'esprit que l'étude de l'équation aux inégalités séculaires. Il ne semble pas certain que cette dernière étude prenne dans l'enseignement une place si démesurée, eu égard à l'importance incontestable de ladite équation, qu'elle méritât une pareille mise à l'index, et peut-être, la plupart des professeurs de Mathématiques spéciales laissent-ils à l'enseignement de la Géométrie plus de place que ne pense l'auteur. Dans des temps très reculés, l'enseignement que l'on donnait dans cette classe était destiné à préparer les élèves à l'étude du calcul différentiel et intégral, et, par là, de la Mécanique rationnelle, étude qui, semble-t-il, reste l'objet essentiel de l'enseignement dans les hautes écoles techniques, en raison même de l'utilité que présente, dans les applications, la connaissance de ces chapitres de la Science. Il ne manque pas de bons esprits pour regretter que ce but ait été un peu oublié. Ceux des professeurs ou des examinateurs qui l'ont encore devant les yeux sont aussi sans doute ceux qui ne font pas à la Géom,étrie m^oderne, dans l'enseignement, toute la place que d'autres voudraient lui attribuer. Je crois bien que personne n'en conteste l'importance intrinsèque ; la discussion roule seu-

*• lement sur le moment et le lieu où elle doit être

^ enseignée ; doit-on la faire pénétrer résolument

^. dans l'enseignement élémentaire, doit-on la réser-

ver pour les Facultés, où elle pourrait être exposée avec Tampleur qu'elle comporte? ou bien faut-il s'arrêter à une solution intermédiaire, et se contenter de donner aux élèves des indications qui ne peuvent manquer d'exciter l'intérêt de ceux dont la curiosité n'est pas atrophiée ? C'est cette dernière solution qui, le plus souvent, est adoptée dans la pratique, et il ne semble pas qu'elle soit la plus mauvaise.

Dans la mesure où la Géométrie moderne permet de simplifier et de coordonner les théories qui font l'objet de l'enseignement de la classe de Mathématiques spéciales, de donner plus de généralité aux énoncés des propositions qui constituent ces théories, plus de portée aux démonstrations, tout en les rendant plus brèves, il est bon de l'introduire. Et, sans doute, si les élèves s'aperçoivent que les indications qu'on est ainsi amené à leur donner sont susceptibles d'être prolongées, et ne sont, pour ainsi dire, qu'une amorce, il n'y a à cela que des avantages. Il ne faut pas, toutefois, oublier que la Géom.étrie moderne est d'une médiocre utilité pour l'étude des éléments du Calcul différentiel et intégral, et que l'introduction courante des éléments imaginaires en Géométrie ne va pas sans quelque difficulté. Je n'irai pas jusqu'à dire que la considération d'une tangente en un point imaginaire d'une . courbe suppose qu'on ait expliqué ce qu'est la dérivée d'une fonction d'une variable complexe, puisque, aussi bien, on reste dans le domaine des courbes algébriques et que la théorie des racines

égales se trouve être suffisante ; encore faut-il reconnaître, comme on Ta fait d'ailleurs il y a longtemps, que les éléments imaginaires n'étant définis que par rapport à un système d'axes, les propriétés des riombres imaginaires auxquelles s'applique le langage géométrique ont un caractère d'invariance qu'il faudrait d'abord établir, si l'on veut donner à ce langage la précision et la rigueur que l'on exige d'ordinaire en Mathématiques. A la vérité, cela est le plus souvent très facile ; il en résulte cependant quelques longueurs. Et si la théorie des formes algébriques, dont la Géométrie moderne n'est d'ordinaire qu'une expression très élégante, doit envahir à son tour la classe de Mathématiques spéciales, quelques personnes timides ne s'effaroucherontelles pas, et sera-ton bien sûr que cet esprit géométrique dont M. Duporcq souhaite avec raison le développement y gagnera beaucoup ?

Le développement de Vesprit géom^étrique accompagne-t-il nécessairement l'habitude d'un langage géométrique où les mots ont si peu la signification concrète de la Géométrie proprement dite que, pour les entendre, il faut perdre l'habitude des figures géométriques ? A ce degré d'abstraction, la soi-disant Géométrie ressemble terriblement à l'Algèbre, à cette Algèbre dont les équations donnent aux propositions de la Géométrie moderne leur hdise solide et leur signification réelle. Aussi bien, il semble fort raisonnable, pour des commençants, de ne pas trop séparer des chapitres de la Science qui se recouvrent si parfaitement et qui, sauf le langage qu'on y parle, les notations qu'on emploie, traitent du même objet. L'intelligence même du langage soi-

disant géométrique ne peut qu'y gagner, et les commençants risquent moins de parler une langue qu'ils n'entendent pas, d'être les dupes d'analogies de mots, de se laisser éblouir par des paradoxes verbaux.

L'oubli partiel du but primitif de la classe où Ton prépare à nos grandes Écoles, que je signalais plus haut, tient sans doute à l'intérêt propre des matières qu'on y enseigne, et à cette recherche de la perfection que les professeurs apportent dans leur métier. Ces matières, on ne les enseigne plus comme une préparation, mais pour -ellesmêmes, et aussi, bien entendu, pour satisfaire les examinateurs. Il est naturel que le langage de la Géométrie moderne ait pénétré dans l'enseignement, il n'est pas mauvais que cette pénétration ait été prudente et se soit faite toute seule. Ceux même qui auraient désiré qu'elle fût consacrée par une indication discrète insérée dans les programmes pourraient craindre une refonte de ces programmes et les excès qu'elle risquerait d'amener : la publication d'un bon Livre élémentaire, qui permette aux élèves de développer leurs connaissances, vaut assurément mieux qu'une telle refonte.

Il est grand temps de parler de celui que vient de publier M. Duporcq, caries observations qui précèdent ne le touchent en aucune façon, sauf peut-être une phrase de la Préface.

La lecture des livres d'enseignement en usage dans les écoles des pays étrangers est chose instructive et intéressante : c'est un petit voyage

dans ces pays, une visite dans leurs établissements d'instruction, qui, sans doute, est très incomplète, mais qui est économique et dérange peu. Si le lecteur a quelque imagination, il peut, quitte à se tromper quelquefois, se figurer les maîtres et les élèves d'après ces livres ; au reste, il ne se trompera sans doute pas plus que ces voyageurs qui, pour avoir passé quelques mois dans un pays, se croient capables de pénétrer Tâme d'un peuple et d'en faire la psychologie.

Quoi qu'il en soit, puisque « la meilleure formation des professeurs de renseignement secondaire » est à l'ordre du jour et qu'il convient de montrer qu'on se préoccupe de cette question, je me permets, après bien d'autres, de signaler l'utilité, pour ces professeurs et ceux qui veulent le devenir, de lire les livres classiques publiés à l'étranger et de réfléchir sur les diff'érences qu'ils présentent avec les nôtres, soit dans la façon de présenter les choses, soit dans le choix même des sujets qu'on y développe ou qu'on y sacrifie. Il est bon de choquer de temps en temps les habitudes qu'on a, et de se rendre compte des raisons mêmes qu'on a de garder quelques-unes de ces habitudes. Il serait donc souhaitable de voir se constituer dans les Bibliothèques de nos Lycées et des établissements où se préparent les futurs professeurs, une Section consacrée aux livres classiques étrangers. Si même ces livres étaient maniés par quelques-uns des élèves, il n'y aurait sans doute pas d'inconvénient à ce que ceux-ci se familiarisassent avec le vocabulaire scientifique d'une ou de plusieurs langues étrangères, dans des livres où la connaissance du sujet suffirait très souvent à les éclairer sur le sens des mots...

SCrÊiyCÊ ET PHILOSOPHIE

A propos de Taire de l'hyperbole, il est question de logarithmes népériens, de la fonction et de la série exponentielles. A des élèves qui sont susceptibles d'avoir acquis ces notions, il ne peut être difficile de faire comprendre ce que c'est qu'une dérivée; je crois même que, au lieu de leur enseigner des procédés particuliers pour trouver Taire de l'hyperbole et de la parabole, il est plus court de leur expliquer de suite la méthode générale, résultant de la recherche d'une fonction primitive. J'observe, en passant, que si Ton avait le courage d'employer la même méthode pour les volumes, on pourrait supprimer de Tenseignement de la Géométrie élémentaire une dizaine de leçons sur la mesure du prisme oblique, de la pyramide, de la sphère, etc., et les remplacer par des explications qui demanderaient bien un quart d'heure. Ce n'est pas que les méthodes dites élémentaires ne soient fort belles et fort intéressantes ; mais plus nous irons, plus la nécessité de gagner du temps dans l'enseignement des éléments, de faire pénétrer dans cet enseignement plus d'idées et d'idées plus générales, deviendra impérieuse. On peut d'ailleurs dire à ceux qui se préoccupent beaucoup du point de vue esthétique, que la généralité et la puissance d'une méthode ne sont pas pour l'enlaidir. Les Grecs avaient pour s'éclairer de fort belles lampes, que Ton admire dans les musées. L'éclairage électrique n'en est pas moins avantageux. Ceci, bien entendu, n'est nullement une critique à Tadresse de M. H. Mûller ; dans son pays, comme ailleurs, il y a des habitudes et des programmes auxquels il faut bien se plier.

J'imagine que, parmi les arguments que lent

valoir les gens qui veulent à tout prix que tout le monde apprenne le grec et le latin, celui-ci est un des meilleurs : il est impossible d'étudier les Mathématiques sans avoir appris le grec, puisqu'on se sert continuellement des lettres grecques dans les Traités de Mathématiques. Cet argument, en tous cas, a exactement la même valeur que celui, bien souvent répété, qui concerne les médecins et les pharmaciens, les noms grecs des maladies, les noms latins des médicaments, inscrits sur les bocaux que Ton sait. Sans agiter autrement ces graves questions, M. Mûller^ apporte une réponse suffisante, pour ce qui concerne les Mathématiques, en plaçant tout bonnement, à la fin de son livre, un alphabet grec, avec le nom des lettres qui y figurent, en majuscules et en minuscules.

Le livre de M. Geissler* m'a fait penser à un enseignement qui me paraît possible et qui ne serait pas dénué d'intérêt : l'enseignement de la Cosmographie conçu comme préparant l'enseignement de la Géométrie. Cet enseignement serait, bien entendu, essentiellement descriptif : il donnerait l'occasion de présenter, au fur et à mesure qu'il se déroulerait, sous une forme intuitive, un certain nombre de notions géométriques essentielles sur la droite et le cercle, sur les

1. MuLLER (H.) et HupE (A.). — Die Matkematik auf d^n Gymfiasien und Realschiilen.

2. Geissler (K.). Anschauliche Grnndlagen der mathematischen Erdkundc ^um Selbstversiehen und :^iir Unterstutiiing des IJfiterrichts.

droites et plans parallèles ou perpendiculaires, sur les mouvements de translation et de rotation, sur la sphère, sur les coordonnées ; avec de bonnes figures et un très petit nombre d'appareils, avec beaucoup de soin et de patience chez le maître, qui ne devrait pas craindre les digressions, cela me paraît parfaitement réalisable; tout en acquérant la connaissance de faits astronomiques très intéressants, en développant en quelque sorte leur imagination géométrique et cinématique, ceux qui suivraient un pareil enseignement se rendraient peut-être compte de la nécessité d'une étude systématique et approfondie de cette Géométrie, dont les débuts, présentés sous la forme euclidienne, semblent aux enfants si étranges, si secs et si inutiles.

Tant qu'il y aura des gens qui s intéresseront à la meilleure manière d'enseigner, on discutera pour savoir s'il vaut mieux s'élever du particulier au général, ou s'il vaut mieux introduire, dès qu'on le peut, des vérités générales, pour en tirer la foule des propositions particulières qu'elles contiennent. Cela dépend du maître et des élèves, et la première méthode est bonne si le maître sait vraiment montrer le général dans le particulier, comme aussi la seconde, si le maître sait faire descendre à temps les idées générales et les incarner pour ainsi dire dans le concret; mais, à coup sûr, les vérités particulières sont stériles quand elles sont bornées à elles-mêmes, quand on n'en voit ni le lien, ni l'unité et aussi les idées générales, quand on s'y complaît unique-