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yO ANALYSE GEOMETRIQUE.

PROPOSITION XXVIII

Si Tun des angles d'un triangle est donné, Texcès du quarré de la somme des côtes qui comprennent cet angle, sur le quarré de la base, a un rapport déterminé avec Taire du triangle. '

Soit ABC {fig. a8) un triangle dont le côté AB est prolongé d'une quantité B D = B C ; l'excès du quarré de A D sur celui de A C est dans un rapport déterminé avec l'aire du triangle.

Menez A E parallèle à B C , et rencontrant C D prolongé en E ; du point B abaissez la perpendiculaire B F, et tirez la droite BE.

Le triangle CBD étant isocèle, l'angle CDB est égal à DCB, et par conséquent à CEA; le triangle DAE est donc aussi isocèle. Il s'ensuit que AD^ = AC?4-DCxCE, ou Âï? — AG^ = DCxCE. De plus puisque AE est parallèle à BC, le triangle ABd est équivalent à EBG, c'est-à-dire à la moitié du rectangle BF xCE. Conséquemment l'excès du quarré de AD sur le quarré de AC est à l'aire du triangle AB C , comme DCxCEestà|BFxCE,ou comme D C est à 7 BF, ou bien encore comme 4DF est à BF. Mais l'angle donné ABC étant égal àCDB-i-BCD, est double de chacun de ces angles; donc l'angle BDF est connu; d'où il résulte que le triangle rectangle BDF est déterminé d'espèce, et que le rapport de DF à BF est connu : il en est donc de même du rapport de 4DF à BF, ou de l'excès du quarré de AD sur celui de AG à l'aire du triangle.

SYNTHÈSE

En conservant la même construction , il est clair que D C x C E :BF X CE: :DC:BF, mais DC x CE = ÂD^ — A(?, et BF x CE est le double de l'aire du triangle ABC; donc aDC est à BP, comme l'excès du quarré de AD sur le quarré de AC est à Faire du triangle ABC

ANALYSE GJ^OMETRIQUE. 7I

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