THÉORÈME

Si d'un point donné , on mène à la circonférence d'un cercle aussi donné, des lignes droites, et qu'on les divise dans un rapport connu, le lieu des points de division est une circonférence de cercle déterminé.

Supposez que A B ^fig* 2 ) , terminée au point A et à une circonférence donnée soit partagée au point G dans un rapport donné ; ce point C se trouvera toujours sur une circonférence de cercle déterminé.

ANALYSE

Joignez le point A avec le centre D du cercle donné, et menez CE parallèle à BD. Il est évident que AC:AB;:AE:AD; ainsi le rapport de A E à A D est donné , et par conséquent A E et le point E sont déterminés. De plus, puisque AC:AB::CE:BD, le rapport de CE à BD est connu, et pour chaque position de A B, CE est déterminé de grandeur; et comme BD est une constante, on voit que CE en est une aussi , et par conséquent le point C est toujours situé sur la circonférence d'un cercle décrit de £ comme centre avec le rayon connu CE...

SYNTHESE

MeQes AD, et après avoir divisé cette droite au point Ë dans le rapport doi^né, cherchez uue ligne EC qui soit avec BD dans le même rapport; ensuite > du point E pris pour centre et avec CE pour rayon , décrivez im cercle qui ^ra le lieu demandé.

En effet menez AB qui coupe Tune et l'autre circonférences, et tirez CE,BD. Puisque CE:BD:;AE:AD, il s'ensuit que CE:AE :;BD:AD; par couséqueut les triangles CAE et BAD, qui ont en

ANALYSE GEOMETRIQUE. Il5

outre un angle commun, sont semblables, et AC: AB ; : AE: AD, c'està-dire dans le rapport donne.

PROPOSITION III

THlfoRÊME.

Sur chacun des côtés d'un angle donné, on place un point, et sans changer le rapport des distances des deux points ainsi déterminés au sommet de Tangle, ni la position de ce sommet, ni la grandeur de langle, on suppose que l'un des points parcourt une ligne droite donnée ; il est question de démontrer que l'autre point aura aussi pour lieu une droite déterminée.

Le rapport de B A à AC {fig- 3 ), l'angle BAC et son sommet A, sont donnés; si l'extrémité B décrit la droite CD, l'extrémité C décrira aussi une droite CE déterminée de position.

ANALYSE

Abaissez la perpendiculaire A D sur B D , menez A E formant avec AD un angle DAE égal à BAC, et portez sur la droite ainsi placée une distance A E quatrième proportionnelle àAB,AC et AD; la droite CE est le lieu demandé d'après l'hypothèse.

Puisque l'angle DAE est, par construction^ égal à BAC, il est connu; et lia perpendiculaire AD étant donnée, la droite A E est par conséquent déterminée de position ; elle l'est aussi de grandeur , csir AB, AC, AD sont données. De plus, Tangle BAC étmt ^al à DAE, il en résulte que l'angle B AD est égal ài CAE; et si l'on considère d'ailleurs que AB:AD::AC:AE,on en conclura que l^ triasigles A B D et A C E sont semblables comme ayant un m^le ég'al chafcun à chacun, compris entre des côtés proportionnels. Donc l'angle CE A est ^al à>BDA, c'est-à-dire à un angle droit; par conséquent la droite CE est déterminée de position.

Il6 ANALYSE G^OMIÊTRIQUE.

Après avoir abaisse la perpendiculaire AD, et fait l'angle DAE égal à B A C , portez de A en E comme ci-dessus une quatrième proportionnelle aux lignes AB, AC , AD, et, par le point E ainsi placé, menez sur AE la perpendiculaire CE; ce sera le lieu cherché. Car les triangles rectangles BAD et CAE ayant de plus un angle aigu égal , sont semblables , et par conséquent AB : AC ; : A D : AE ou : ; M : N ,

IVf

1^ étant le rapport constant de AB à AC.

PROPOSITION IV

THEOREME.

Si par un point fixe on «mène deux droites dont les longueurs sont dans un rapport constant, et dont Tinclinaison est invariable; si l'extrémité de Tune parcourt une circonférence de cercle déterminée , l'extrémité de l'autre aura pour lieu une circonférence également déterminée.

Supposez que l'angle BAC {^fig. 4), son sommet A, et le rapport de ses côtés, soient constants; si B parcourt un cercle donné , le lieu de C sera aussi un cercle déterminé.

ANALYSE

Joignez le point A avec le centre D du cercle donné ; menez une droite AE qui soit inclinée sur AD d'une quantité égale à l'angle donné, et dont la longueur ait avec AD un rapport égal au rapport donné ; enfin tirez les droites DB et E C.

Le point A et le centre D étant donnés et fixes, la droite AD est déterminée ; il en est donc de même de la droite A E qui est aussi constante et connue de grandeur ; ainsi le point E est déterminé et invariable.

De plus, l'angle total BAC étant égal à DAE, la partie BAD est égale à C A E , et puisque d'ailleurs AB : A D : ; A C : A E , il s'ensuit que

ANALYSE GEOMléTRIQUE. II7

les triangles A DB et AEC sont semblables, et que A B:BD;;AG: CE,

OU bien CE = -^ x BD ; or le rapport -j-^ est constant et connu ,

BD l'est aussi d'après l'h^rpothèse; donc la distance CE est constante et déterminée. Donc le point C parcourt une circonférence de cercle dont le centre E et le rayon C E sont connus.

SYNTHÈSE

Après avoir mené la droite AE inclinée sur AD d'une quantité

égale à l'angle donné, et l'avoir prise d'une longueur telle que — =

soit égal au rapport donné, du point E comnie centre avec Iç rayon CE, décrivez un cercle, ce sera le lieu cherché.

Car AD:BD:;AE:EC; mais l'angle BAD est égal à CAE, puisque B AC == D A E , donc les triangles AB D et C A Ë sont semblables , et AB:AC; ; AD:AE, c'est-à-dire dans le irapport donné.

SchoUe. Un arc de cercle a pour limite sa tangente , et il s'en approche continuellement à mesure que le centre s'éloigne et que la circonférence s'aggrandit ; ainsi le lieu rectiligne peut être déduit du Ueu circulaire , et ce que nous aurons dit de celui-ci , nous pourrons le transporter au premier, en supposant que le centre soit situé à une distance infinie. Ainsi, dans la proposition a de ce livre, pag. ii4, si on conçoit que les centres E et D {fig. 2 ), sans quitter la droite AD, s'éloignent toujours du point A et s'en écartent à une distance infinie, alors les cercles qui passent par C et par B, deviendront deux droites perpendiculaires à A D , ce qui est le cas de la première proposition, pag. 1 13. De même si nous éloignons à l'infini les centres D et E dans la proposition 4^ sans leur faire quitter à l'un la droite AD, à l'autre la droite AE, alors les cercles qui passent en B et C , se confondront avec leurs tangentes , et deviendront par conséquent des droites perpendiculaires respectivement à AD et AE comme dans la proposition 3, pag. 11 5.

Il8 ANALYSE GEOMETRIQUE;

PROPOSITION V

THJ^OREHE. *

Une droite menée par un point fixe est divisée en un point de siK^ longueur en deux parties telles que le rectangle de l'une et de la ligne entière, équivaut à un rectangle constant et donné; si le point de section se meut en parcourant une droite donnée , Textrémité de la ligne mobile aura pour lieu une circonférence déterminée.

Le rectangle A B x A C {fiff. 5 ) , et le point À sont constants et donnés ; la droite B D est donnée de position ; le point C parcourra une circonférence connue.

ANALYSE

Menez AD perpendiculaire à BD, et faites le rectangle ADx AE = AB X AC. Il suit de-là que A E et le point E sont complettement déterminés. Menez CE. Puisque ADx AE = ABx AC, AD : AB : : AC: AE, proportion qui démontre la similitude ^ deux triangles ABD et ACE auxquels Tangle A est commun. Il en résulte que ACE =:ADB^ et par conséquent que l'angle ACE est toujours droit quelque position que prenne la droite mobile , ce qui devient à dire que le point C- parcourt une circonférence de cercle, dont AE est le diamètre.

SYNTHESE

Après avoir mené la perpendiculaire A D , faites le rectangle A D X AE équivalent à l'espace donné, et sur le diamètre AE décrivez un cercle; c'est le lieu cherché. Car, si vous menez A C et CE, vous formerez deux triangles ABD et AEC qui seront semblables , puisqu'ils auront deux angles égaux chacun à chacun; ainsi AB:AD ; ; AE: ÀC, et AB x AC = AD x AE = l'espace donné.

PROPOSITION VL

THEOREME.

Une droite, assujétie à passer constamment par un point fixe, est divisée en deux parties telles que le rectangle de Tune comptée du point fixe , par la ligne entière , soit constamment égal à un rectangle donné; si le point de division parcourt une circonférence donnée, l'extrémité de la droite aura pour lieu une ligne droite déterminée de position , ou une circonférence de cercle déterminée , selon que le point fixe sera ou ne sera pas situé sur la circonférence donnée.

Supposez que le rectangle AC x AB équi vaille à une espace donné, et que le segment A C soit terminé à une circonférence donnée ; le point fixe A peut être ou n'être pas sur cette circonférence. {Fig. 6 et 6 bis).

Premier cas. Si le point A est sur la circonférence donnée, y%*. 6, le lieu de B est une droite déterminée de position.

ANALYSE

Menez le diamètre AE , et faites AE x AD = AB x A C ; le point D sera ainsi déterminé, et il est clair qu'il est un point du /^^e^ cherché. Maintenant tirez CE et BD; puisque AExAD = ABxAC, AC :A£::AD:AB; donc les triangles CAE et BAD sont semblables. Ainsi l'angle ADB est égal à ACE, c'est-à-dire à un angle droit; par conséquent la droite DB est déterminée de position.

SYNTHESE

Apres avoir mené te diamètre AE, faites le rectangle AExAD équivalent à l'espace donne; la perpendiculaire BD est le lieu cherché. Car, si vous menez ACB et CE, vous formerez deux triangles ACE et ADB évidemment semblables, ce qui montre que AC:AE ;: AD: AB, d'au AC x AB == AE x AD = l'espace donné.

Deuxième cas. Si le point A n'est pas sur la circonférence donnée ECC'D, le lieu de B est une circonférence déterminée. {Fig. 6 bis).

ANALYSE

Menez le diamètre E AD, et la corde CABC du cercle donné qui coupe le lieu demandé aux points B et F. Soit M le rectangle donné, et N le rectangle connu EAx AD. On a par hypothèse, ABx AC ==AFxAC' = M, et ACxAC'=N; d'où il suit que le rapport

^=-j^=jj. Donc ce rapport -rr^ est déterminé, et d'après la

proposition 12 de ce livre , page 1 14 ^ l'extrémité B de la droite AB est sur la circonférence d'un cercle connu.

SYNTHÈSE

Après avoir mené le diamètre D AE, faites le rectangle AD x AH égal à l'espace donné, et (livre 3, prop. a , p. 1 14) décrivez un cercle BGFH,tel qu'une corde de ce cercle menée par A soit divisée à ce point dans le rapport de AE à AH; ce cercle est le lieu demandé. Car AE :AH;:AC:AB::ACxAC':ABxAC'; donc ACxAC'rABxAC ::AExAD:AHxAD;mais AGx AC'=AEx AD; donc ABx AC :;=AHxAD = M. '

PROPOSITION VIL

THEOREME.

La grandeur d'un angle, son sommet, et le rectangle de ses cotés étant fixes et donnés , si l'extrémité de Tun des côtés parcourt une ligne droite donnée, celle de l'autre aura pour lieu une circonférence de cercle déterminée.

Le point A {fig. 7 ), l'angle BAC, et le rectangle AB x AC, sont constants ; si B parcourt la droite donnée B D , le lieu de C est un cercle connu.

ANALYSE

Par A abaissez la perpendiculaire AD sur BD. Menez A E qui fait

ANALYSE GÉOMiItRIQUE. Ifîl

avec A.D un angle égal à l'angle donné, et ùxi rectangle AD x AE, équivalent au rectangle donné ; tirez C E.

Puisque AD est évidemment donné de position et de grandeur, il en est de même de AE; et le rectangle AD x AE étant égal à AB x AC, il en résulte que AD:AB;;AC:AE. Comme de plus Tangle DAB est égal à EAC, les triangles DAB et EAC sont semblables, d'où il suit que l'angle EAC est égal à ADB, c'est-à-dire à un angle droit ; donc le point C "parcourt un cercle, dont AE est le diamètre.

SYNTHÈSE

Après avoir abaissé la perpendiculaire A D , menez A E de manière que l'angle DAE soit égal à Tangle donné, et que le rectangle AD X AE éq[uivaille au rectangle donné; le cercle décrit sur AE comme diamètre est le lieu cherché.

En effet tirez CE : les triangles DAB et EAC sont semblables,

piiisqu'ils sont tous deux rectangles l'un en D , l'autre en C , et que

de plus l'angle EAC est égalii BAP; donc AD:AB::AC:AE, et

par conséquent le rectangle AB x AC équivaut à AD x AC , c'est-à-

« dire au rectangle donné.

PROPOSITION VIII

THEOREME.

Si deux droites, dont les longueurs sont dans un rapport constant, se meuvent en s'appuyant toujours sur deu:!^ droites fixes données et en conservant la même direction, leur point d'intersection décrira une ligne droite déterminée.

Le rapport de A B à A C (y^. 8 , /?/. 3 ) est constant , ainsi que les .angles ABD et ACD formés par ces droites avec les lignes fixes D E , D F ; le lieu du point A est une droite déterminée.

ANALYSE* t

Menez DA, et prolongez BA jusqu'à la rencoùtte de DF en G. Le //• SuppL i6

I2ta ANALYSE G £0 M ETK IQ U£.

triangle DBG est dëterminé d'espèce , puisque les angles B et D sont donnes. Il en est de même du triangle AGC, et par conséquent le rapport de AC à AG est détermine; le rapport de AB à AG étant constant, il s'ensuit que celui de AB à A G, et celui de BG à AG, sont pareillement constants; il en est donc ainsi du rapport de BG à D G , et par conséquent du rapport de A G à D G. Comme de plus i angle en G est déterminé , on voit que le triangle A D G est déterminé d espèce, d'où il suit que la ligne droite AD est fii(ée de position.

SYNTHÈSE

Sur DE prenez up point quelconque H, et menez par ce point des droites HI et HL faisant avec DF çt DE de$ angles respectivement égaux aux. angles donnés; prolongea ensuite IH jusqu'en

MH

M d'une quantité M H;, telle quQ -g^ ^^^ ^** *^ rapport donné; cherchez une troisième proportionnelle I N entre I M et I H , et menez D N A ; cette droite est le lieu cherché.

Car IM:IH::IH:IN, donc MH:IH::NH:IN ; mais ABîAG : :NH:IN, et à cause de 4a similitude des triangles ACG et HLI, AG:AC;:IH:HL, donc enfin AB:AC:;NHxm:INxHL::MH xIN:INxHL:;MH:HL, c'est-à-dire dans le rapport donné.

PROPOSITION IX

THi^oaiM^.

Trois droites qui concourent en un même point étant données de position, si une quatrième droite' les coupe sous une inclinaison constante, et de manière que le rectangle de son premier segment, par une droite donnée, soit égal à la somme des rectangles de son premier et de son second segment par des lignes données; le lieu du point d'où sont comptés les segments , est une droite déterminée.

gwppwef qu* ABCO (/«^r») wwpe Içf 4roitw KFt^G rt EHaous

ANALYSE Gl^OXiéTRIQUE. 123

des angles donnes, et tellement que ABxKL:= ACxML+AD X NM; les droites KL, LM, MN étant données, le lieu du point A sera une droite déterminée de position.

Puisque AC xML = ABx ML + BCxML, et que ADxNM = ABxNM+BDxNM, il s'ensuit que ABxKL = AB(ML+NM) + BC X ML+BD X NM, et AB X KN = BC X ML+BD X NM. Prenez MO, de manière que BC:BD: :NM:MO, alors BC x MO = BD xMN,d'oùABxKN = BC (ML+MO) = BCxOL, et AB:BC : :OL:KN. Il suit de-Ià que. le rapport de AB à BC est déterminé; mais te triangle BCE étant connu d'e^ièee, ie report de BE à BC est donné, donc le rapport de AB à BE est connu ; et puisque l'angle compris ABE est donné, on yoit que le triangle BAE est déterminé d'espèce , ce qui revient à dire que la droite A E est déterminée de position.

&VNTHÈ&I.

Ayant pris sur EH un point quelconque H, menez HGP sous rinclûiaison donnée; prenez MO de telle kmgueur que FG:FH : : N M : M O , et prolongez H F d'une quantité suffisante F I , pour que KN:OL::FG:IF; El est la droite cherchée.

CarBC:AB::FG:IF::NK:OL,et ABxKN = BCxOL;mais

BC:BD::FG:FH::NM:MO, donc BCxMO = BDxMN. Par

conséquent AB x KN = BC x OL =BC ( M O + ML )= BC x ML.

+BDxMN^BCxML+MN(AD--AB); d'où il résulte que AB

X KL = AB X ML+BC X M L+AD X NM=AC xML+AD X NM.

PROPOSITION X

THlSoRiME.

Quatre droites qui concourent en un même point étant données de position , si une cinquième droite les coupe sous une inclinaison coj[istante et de telle manière que la somme des rectangles de son

12/i ANALYSE GEOMETRIQUE.

premier et second segment , par des lignes données , soit égale à la somme des -rectangles de son troisième et de son quatrième segment par d'autres lignes données, le point d'où sont comptés tous les segments , aura pour lieu une droite déterminée.

Si ABCDE coupe les quatre lignes FG, FH, FI et FK (/^. lo ) sous un angle constant, et tellement que ABxMN-i- ACxNO = AD X OPh-AE X PQ, les quatre droites MN,NO, OP,PQ étant données, le point A parcourra une ligne droite déterminée de position.

ANALYSE

Puisque AB x MN+AC x N0 = AD x OP+AE x PQ, il s'ensuit queABxMO+BCxNO = ABxOQ+BDxOP+BExPQ,etpar conséquent ABxMQ+BCxNO=:BDxOP-hBExPQ. Faites BD :BC:;NO:OR,et BD:BE::PQ:PS;alorsBDxOR = BCxNO, et BDxPS=BExPQ, d'où il résulte que ABxMQ+BDxOR = BDxOPh-BDxPS ou ABxMQ = BDxSR, c'est-à-dire AB : B D : ; S R : MQ. Le triangle BD F étant donné d'espèce, le rapport de AB à BF est déterminé, et comme de plus l'angle A BF est constant, il est clair que le triangle BAF est pareillement déterminé d'espèce, ou ce qui revient au même, que la droite A F est déterminée de position. ' .

SYNTHÈSE

Après avoir pris sur FK un point quelconque K, menez KIHG

SOUS l'inclinaison donnée; faites OR = — ^ — etPS= — ^ ^ ,et

prolongez K G d'une quantité G L , telle queMQ:SR::GI:GL;FL e^t le lieu demandé.

En effet BD:BC::GI:GH;:NO:OR, et BDxOR = BCxNO; de plus'BD:BE::GI:GK::PQ:PS, donc BDxPS=BExPQ; ensuite MQ: SR::GI:GL::BD : AB, donc ABxMQ = BDxSR. Ainsi ABxMQ + BCxNO==BDxSR4-BDxOR = BDxSO = BDxPS-+-BDxOP=BExPQ + BDxOP; en ajoutant aux

ANALYSE G^OMl^TRIQUE. 1^5

deux membres, le produit ABxOQ qui est égal à ABxNQ+AB X NO, ou à ABxPQ+ABxOP, on trouve à cause de MO== MN +NO, que ABxMN+ACxNO=ADxOP+AExPQ.

PROPOSITION XL

THEOREME.

Une droite étant donnée de position , si deux autres droites la coupent sous des inclinaisons données et de manière à intercepter sur elle à partir de deux points fixes, des segments dont le rapport soit constant, le point de concours des droites mobiles a pour lieu une droite déterminée. AB et AC (y%-. 1 1 ) sont menées de manière que les angles ABF et ACF, et le rapport des segments BD, CE comptés à partir des points fixes D et £, soient constants; le lieu du point A est une droite déterminée.

ANALYSE

Faites que F D soit à F E dans le rapport donné , et menez F A. Puisque FD:FE::DB:EC, il s'ensuit que FD:FE;:FB:FC; conséquemment le rapport de F B à F C et celui de F B à B C sont déterminés. Mais les angles FBA et FCA étant donnés, le triangle BAC est évidemment donné d'espèce; donc le rapport de AB à BC est donné; d'où il suit qu'il en est de même du rapport de FB à AB. Il résulte de-là que le triangle FBA est déterminé d'espèce, ou que la droite FA est déterminée de position.

SYNTHÈSE

Après avoir pris le point F de manière que F D soit à F E dans le rapport donné, menez DG et EG taisant avec FI des angles respectivement égaux aux angles donnés, et joignez leur point de concours G avec F ; F G H est le lieu cherché.

Pour le prouver, menez par un point quelconque A de FH, les droites AB et AC respectivement parallèles à D G et G E, et faisant

126 ANALYSE GË O M JS T R I QU E.

par consëqueDt avec F 1 des angles égaux aux angles donnée II auit de cette constraction que FG:FA:;FD:FB;:FE:FC^ du bien FD :FE;:FB:FC,et par conséquent DB:EC;:FD:FE; cest-à-dire dans le rapport donné.

PROPOSITION XII

THléORÊME.

Si par deux points donnés, on mené deux droites dont les longueurs soient entre elles dans un rapport constant, le point de concours de ces lignes aura pour lieu une droite ou une circonférence de cercle déterminée.

AC et BC, menées par les points fixes A et B (y%*. la et 12 bis), sont dans un rapport déterminé ; le lieu du point de concours G est une droite ou une circonférence de cercle.

Premier cas. Quand le rapport donné est celui d'égalité, le lieu de C^fig. 12, est une droite.

ANALYSE

Prenez le milieu E de AB, et menez EC. Les triangles ACE et BCE, ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun^ sont égaux, ce qui prouve que l'angle AEC est égal à BEC, c'est-à-dire que EC est, perpendiculaire sur AB^ et par conséquent déterminée de position.

La perpendiculaire EC élevée par le milieu de AB, est le lien cherché. Car si Ton mène, d'un peint quelconque C de cette droite^ deux autres lignes ayx points A et B , il est facile de voir qu'elles sont égales.

Deu^cième cas. Quand le rapport donné n'est pas égal à l'unité , le lieu de C est une circonférence de cercle. ( Fig. if^bi^).

ANALÏSB.

Menez CD faisant avec BG un angle égal à BAC, et reneontraot

• ANALYSE GEOMETRIQUE. î^n

AB prolongée en D. Les triangles D AC et DCB qui ont Tangle en D commun , et les angles en A et en G égaux , sont semblables ; donc AD:AC;:DC:BC, ou bien AD:DC::AC:BC, c'est-à-dire dans le rapport donne. Mais AD:DG::DC:DB,donc ADestàBDen raison doublée du rapport de AD à DG, ou; ; AD'IDC'; ce dernier rapport étant donné, l'autre l'est donc aussi. Gonsëquemment BD et le point D sont déterminés ; d'où il suit que D G est aussi déterminé et constant , ce qui signifie que le point G est sur la circonférence de cercle décrite de D comme centre avec D G pour rayon.

SYNTHÈSE

Partagez A B dans le rapport donné au point E , et prenez le point D de telle manière que ED soit à BD dans ce même rapport; le cercle décrit de D comme centre avec D £ pour rayon , est le lieu demandé.

En effet, puisque AE:BE;:ED:BD, on a, AD:ED ouDG:;ED ou DG:BD ; ainsi les triangles D AG et DGB, ayant un angle commun compris entre des côtés proportionnels ^ sont semblables, et A G :BC;:AD:DGouED, c'est-à-dire dans le rapport donné.

Scholie. Puisque, dans le second cas, AG:BG;:AD:ED,on voit qu'à mesure que le rapport de A G à B G s'approchera de l'unité , le centre D s'écartera de plus en plus de A et de E , et le point E tendra continuellement à se confondre avec le milieu de AB; à la

limite y c'est-à'-dire quand ^ sera égal à Tunité ^ Tare E G se confon-

avec sa tangente qui sera alors une droite perpendiculaire sur le

milieu de A B. Cki voit par^là que le premier cas peut Qtre déduit du

second.

PROPOSITION XIIL

THEOREME.

Si un point mobile est ^sujéti à ^cette condition que le quarré de sa distance à un point Ûx.e donné, équivaille au reokangle d^ sa distance

à une droite fixe et d une autre ligne donnée , le lieu de ce point est une circonférence de cercle déterminée.

Le point A et la droite CD {/ig. i3) sont dans une position déterminée ; on suppose que le quarré de B A soit égal au rectangle de la perpendiculaire BC et de la droite K; il faut prouver que le lieu Ae B est une circonférence de cercle déterminée.

ANALYSE

Menez DFA parallèle à CB, faites AO=;=: 7 K, prenez le milieu de A O en G, tirea^ BO, et abaissez la perpendiculaire BF.

Puisque G est le milieu de A O , OB' — OF ou ÏB^" — ÔF" = a AO X GF = K. GF ; mais aF = K. BC=K x DF, donc ÔF=K. DG. Comme DG est donné, OB est déterminé; et une des extrémités O de cette droite étant déterminée , l'autre doit -être située sur la circonférence BB'H,

SYNTHÈSE

Apres avoir mené DA parallèle à CB, faites AO = 7 K, A G = 7 AO, et OH = V/kTdg ; le cercle décrit de O comme centre avec O H pour rayon , est le lieu demandé.

Car ÔF — aF ou ÂB'' — oF'=!2i AO x GF = K x G F; et comme par construction OÎP pu oF=K x D G, il s ensuit que aF=K x DF = KxBC.

Corollaire. Si le point donné A est situé sur D C , c'est-à-dire s'il coïncide avec D, alors DG = ^ K et OH = 7 K, c est-à-dire que le

cercle passe par D ; dans ce cas A B est une corde \ et son quarré est

égal au rectangle du segment D F, et du diamètre K , ce qu'on sayait

lâ priori.

PROPOSITION XIV

PROBLEME

3i par deux points donnés on mène deux -droites qui se coupent ^

et qui soient telles que la différence du quarré de Tune et d'un espace donne , soit en rapport constant avec le quarré de Tautre , le lieu du point de concours de ces droites est une circonférence de cercle déterminé.

Soient A C et B C {fig. 1 4 ) les deux droites mobiles , et supposez que le rectangle AC x AD équivaille à l'espace donné; alors si la différence entre le quarré de A C et ce rectangle , est dans un rapport déterminé avec le quarré de BC, le lieu du point C sera une circonférence déterminée,

ANALYSE

Faites que A E soit à BE dans le rapport donné, menez CE et B.D, prolongez C B jusqu'à la rencontre de la circonférence de cercle circonscrite au triangle ADB, et menez A F,

Le rectangle ACxCD étant égal à FCxBC, il s'ensuit que FC

X B C est au quarré de B C ou que F C est à B C dans le rapport de AE à BE; par conséquent A F est parallèle à CE, et l'angle ECB est égal à A F B , i^'est-à-dire à B D C. Par les points C , D , B , faites passer un cercle qui coupera A B en G, et menez CG et D G; alors le rectangle B A x A G est égal àCAxADouà l'espace donné , d'où il suit que le point G est déterminé, ainsi que AG. On voit aussi que l'angle CD B ou ECB est égal à CGB; donc les triangles BEC etCEG sont semblables, et GE:C E ; :CE;BE; d'où CÊ^=GE x BE. Ce dernier résultat prouve que C E est une ligne déterminée, et conséquemment que le lieu du point C est un cercle dont E est le centre.

SYNTHESE

AE

Faites le rectangle A B x A G équivalent à l'espace donné , et ^

égal au rapport donné; prenez une moyenne proportionnelle EH

entre GE et BE; le cercle décrit de E comme centre avec le rayon

EH est le lieu demandé.

Pour le démontrer , par les points A, D , B et par les points C, B , G, //• SuppL 17

l3o ANALYSE GEOMETRIQUE.

faites passer des cercles , prolongez C B jusqu'en F , et menez A F, CG,DG. Puisque GExBE = HË^, GE:HE ou CE::HE ou CE :BE, et par conséquent les triangles GEG et GEB sont semhlables, d'où il suit que les angles EGO et ECB sont égaux. Mais EGC =CDB = AFB, donc ECB = AFB, et les lignes CE et AF sont parallèles. Par conséquent AE:BE: :FC:BC: :F C x BC ou AC x CD, ou AC (AC — AD):bc^. Or AD x AC = AB x AG=l'espace donné; ainsi la différence entré le quarrë de A C et cet espace, lequel est égal à A C X A D , est au quarré de B G dans le rapport donné de AEàBE.

Scholie. Le théorème précédent étendu à ses cas extrêmes, comprend plusieurs propositions particulières. Ainsi , en supposant que le rapport donné soit égal à Tunité , l'espace donné sera équivalent à la somme ou à la différence des quarrés de AC et BC, selon que cet espace sera plus grand ou plus petit que AC' Quand il surpasse le quarré de; AC , le centre E coïncide avec le milieu de AB;, comme dans le premier cas de la dix-septième proposition de ce livre , page iSa. Mais quand le quarré de AC excède l'espace donné, le rapport de AEà BE étant celui d'égalité, le centre £ qui est alors au-delà de B, doit être situé à une distance infinie, et par conséquent l'arc HC se confond avec sa tangente qui est perpendiculaire sur le milieu de GB, comme dans la proposition suivante.

De plus si l'espace donné est supposé nul , alors le rapport de AC* à BC* est donné, et par conséquent celui de A C à BC Test aussi ; dans ce cas , A G est nul , le point G coïncide avec A , et le jcentre et le rayon 4,)if cercle^ cherché sont déterminés de la même manière que dans la proposition 1 2 , page 1 26.

PROPOSITION XV

THEOREME.

Si par deux points fixes donnés on mène deux droites qui se

ANALYS£ GiéOMÉTRIQUË. l3l

coupent de manière que la diffërence de leurs quarrës soit constante , leur point de concours décrit une ligne droite déterminée de position. Les droites AC et BC {^fig^ î5) , menées par les points A et B, sont telles que la différence de leurs quarrés est constante ; le lieu de leur point de concours G est une droite déterminée.

ANALYSE

Abaissez la perpendiculaire CD sur AB, et prenez le milieu de AB en Ë. Il est clair que ÂC* — 5C' = aABxED, donc le rectangle ABxËD^et par ' conséquent son côté £D, sont déterminés; ainsi le point D et la perpendiculaire C D sont également déterminés ; d'où il suit que C D est le lieu cherché.

STNTHISSE.

Prenez le milieu E de AB, et faites le rectangle a AB x ED équivalent à l'espace donné ; la perpendiculaire D.C est le lieu demandé. Car ÂC' — BC" =ABx2ED= l'espace donné.

PROPOSITION XVI

Si sur une droite AB {fig. i6 ), partagée au point C en deux parties telles que BC == /i x AC, on prend un point quelconque D', on aura Téqu^ation /ix ad"'+bF = ABxBG-h(/i+ï)cB^. j

Pour le démontrer décrivez sur AB'un demi-cercle, et élevez la perpendiculaire CE, menez AE , B£ , et la droite D F parallèle à C E qui rencontre AE en F; tirez BF.

L'angle AEB étant droit, AC:CE;;CE:BC, et conséquemment AC:BC;:aC":ces mais BC = /ix AC,ddnccE' = /ix AC\ De plus AB:ÀE;:AÈ:ÀC, et AB:AC::aE':âc^, et puisque AB = (/^-m) AC, il faut que ÂE' = (7iH- 1) A(?. Maintenant C E et DF étant parallèles, CE:DF;:AC:AD, et cF;dp;:â(?:ad^; or CE- = /iAC',

l3â ANALYSE déOMÉTRIQUE.

donc DP = 71 ad"*. Mais B& = ABxBC, et comme les triangles BDF et DEF sont rectangles, bd"' 4- DF'==bF'==b1^ -f-ÊP==Bl? +CU'+ (EC— FD)*; d'où Ion déduit par substitution, n aFh-BD^ = ABxBC-i-(/i+i)cD».

PROPOSITION XVII

THEOREME.

Si , par plusieurs points fixes donnes ^ on fait passer des droites terminées toutes à un même point , et telles que la somme de leurs quarrés est constamment égale à un espace donné, ce point de concours aura pour lieu une circonférence de cercle déterminée. .

Premier cas. Quand les points donnés sont seulement au nombre de deux.

Supposez que les droites AP et BP {fig. 17 ) menées par les points A et B, soient telles que la somme de leurs quarrés équivaille toujours à un espace donné ; le lieu de leur point de concours est une circonférence déterminée.

ANALYSE

Prenez le milieu de AB en O^ et menez OP. On aura aP-I-bF =2 ÂÔ»+ 2 ÔF; ainsi aÔ*4- OP* est déterminé ; mais AO et son quarré étant déterminés, le quarré de la ligne OP et cette ligne elle-même, le sont aussi ; donc le lieu de P est une circonférence de cercle dont O est le centre et O P le rayon.

SYNTHÈSE

Prenez le milieu O de AB, cherchez une droite À F doût le quarré soit égal à la moitié de Tespace donné , et faites OE* = A F* — ACF ; le cercle décrit du centre O avec le rayon OE est le lieu demandé.

Car ÂP» + bF = 2 aO' -f- OP' = aïO' + 20I* = aAP = l'espace donné.

Deuxième cas. Quand les points donnés sont au nombre de trois.

ANALYSE GÉOMIÉTRIQUE. l33

Les droites AP, BP, CP, meDees par les points A, B^C pétant telles que la somme de leurs quarrés est constamment égale à un espace donné, le lieu du point de concours P est une circonférence de cercle déterminé. {Fig. 17 his).

ANALYSE

Prenez le milieu de AB en E; AP+BP* = laAE'H-aÊP ; par consér quent AP+BF+CP'== aÂl'-l-aÊP + CP. Maintenant aÂF'zzirAB

xBE; et de plus, si Ton abaisse la perpendiculaire PF sur EG, il est clair que 2 ÊP* = a EP+2 PP, et CP- = PF'-f-cF. Par conséquent ÂP+BPH-cF==AB X BE4-3pF+2ÈP-4-cF. Prenez EO le tiers de EC, et menez PO; en vertu du lemme précédent, aÊF'+CF'=EC

X CO + 3ôP- Ainsi 7nF+ BP + CP = AB x BE + EC x CO-h3pT' +3ôP = ABxBE + ECxCO + 3 PÔ^. Or les points E et O sont évidemment déterminés; il en est donc de même des rectangles AB

xBEetECxCO;il suit de-là que 3ÔP et OP sont pareillement déterminés. Donc le point P a pour lieu la circonférence décrite de O comme centre avec le rayon O P,

SYNTHÈSE

Prenez AE = 7 AB, E O = i EC , et cherchez une droite OP telle que son quarré soit égal au tiers de l'excès de l'espace donné sur la somme des rectangles ABxBE etECxCO; lé lieu cherché est un cercle dont O est le centre , et P O le rayon. Car 3 Pô» = 3 Fp+SÔP», ou 3pô'-hECxCO = 3PF^-i- ECxCO + 3ôF'=3pF+2ÊF- + CP ( lemme ) = 2 pF + PP+CF = 2 PP + CP ; par conséquent l'espace donné ou 3pô"'+ABxBE4-ECxCO = 2AE'-f-2FÊ*4-CP

= ÂP+BP4-CP.

Troisième cas. Quand les points donnés sont au nombre de quatre. Les droites AP, BP, CP, DP (y^^. 17 ter. ) , menées par les points A, B, C, D, étant telles que la somme de leurs quarrés est constamment égale à un espace donné, le lieu de leur point dé concours est une circonférence de cercle déterminée.

l34 ANALYSE GEOMETRIQUE. «

Prenez AE = 7 AB, EF = TEC,et menez PE et PF. Il est clair, d'après ce qui a été démontre pour le cas précédent, que AP'+BP h-cp = ABxBE + ECxCF + 3pF; doù aF + bf + cph- dp = ABxBE+ECxCF+3 PF^ + dT\ Abaissez la perpendiculaire P G sur DF, et vous verrez que l'espace donné est égal à ABxBE+EC xCF+3pg*+3fG'+PG'4-DG'; par conséquent 4pG'+ 3 fG'+DG^ équivaut à un espace déterminé. Faites FO = ^DF, et menez PO; alors, par le lemme, 3fg^+DG^=FD x.DO+4oG^.DoncFD x DO + 4 ÔG'-h 4pg* = F D X DO-4-4po% équivaut à un espace déterminé ; donc 4^0"' et PO sont déterminés. Comme d'ailleurs le point est donné , on voit que le lieu de P est un cercle qui a pour centre O , et P O pour rayon,

SYNTHÈSE

Faitçs AE = i AB, EF == | EC , et FO = ^^ FD. Cherchez ensuite le côté d'un quarré équivalent à l'espace donné diminué de AB x BE +ECxCF+DFxOD, et avec la moitié de ce côté pour rayon, décrivez, de O comme centre, une circonférence de cercle, qui sera

le lieu cherché.

En effet menez IfE,.RF,,PO, et abaissez la perpendiculaire PG

WrDF; alors Fp,xD0474Pp^==>FD xj^ 9+4 ÔG^+4 4- DG* H- 4 Ç^' == 3 FG* + 3pG' .+ ÊTF = 3 PF' -h DP*. Par conséquent AB xBE +, EÇ X ÇF + 3pp -*- DP*» équivaut à l'espace donné. Mais, d'après ce qui a été démontré dans la synthèse du cas précédent, il est clair que ÏÛF+BF + ÇP^== ABxBE M-EC xCF + 3pF; donc ÂP'+BP"+CP'4-Bn?' équivaut à l'espace donné.

En poursuivant ce mode de démonstr^ition , il est facile d'étendre successivement la proposition à un nonibre quelconque de points donnés.

Scholie. La propriété qui vient d'être démontrée est susceptible d'être généralisée. Ainsi quand l'espace donné , au lieu ^ d'être égal à

ANALYSE GEOMETRIQUE. l35

la somme des quarrës des lignes droites mobiles, équivaut à la somme de différents multiples de ces quarrés, le point de concours de ces droites a encore pour lieu une circonférence de cercle.

On conçoit d'autres droites dirigées du point P vers les centres Â^ B, G... , et sur ces droites d'autres cei^tres dont les quarrés des distances au point P étant multipliés par des coëfiiciens donnés ^ soient respectivement égaux aux quarréis des premières distances P A , P B , PC... Mais cette propriété peut être rendue plus claire à Faide d'une simple extension du lerame^page i3i. Soient AP etBP {fig.iQbis) deux des droites mobiles qui passent {iàr les points fixes A et B; prenez O B = a; x O A ; alors , menant P O et la perpendiculaire P L , il a été prouvé que a; x A L* -+-BL'=AB x BO-h(i;-f- 1)01?; ajoutant de part et d'autre {v+i) pp, il est clair que v(J1}+9ÏF)+bV+VÏ} =zv. AP^^BP» = ABxBO +(i;+i)âP. Multipliez les deux membres par n et supposez nv=^m^ vous trouverez que m. ÂP+t^.BP' = /i. AB X B 0+(/i+to) OP". Par des applications répétées de ce principe , on peut démontrer que m.AV^ + n.B P' +p. C P' + ç'. D P» H- etc. = (to + 7H-/? + 5' + etc.) oF + certains ïnultiples de rectangles donnés; conséquemment le point de conCoùlrs a'pour lieu une circonfé-

rence de cercle dont le centre est O, et le rayon OP. Mais la propriété doit subsister si oh divise tous ces multiples de quarrés par le même nombre, c*ést-à-dire si , au lieu des quarrés des lignes mobiles , on considéré les figures semblables construites sur elles. Si l'espace donné est égal à la somme des rectangles, le cercle se réduit à un point, puisque OP devient nul, et au-delà de cette limite, la proposition est impossible. Il est également visible que le centre O et le rayon O P resteront les mêmçs dans quelque ordre qu'on effectue les constructions nécessaires pour obtenir la situation du centre (i).

(i) En examinant atCentiTemeut ces constructions , il est aisé de s'apercevoir que le centre du cercle cherché est en même temps le centre de gravité du système

l36 AN ALYSE GEOMETRIQUE.

DES PORISMES. — DÉFINITION.

Le porisme a pour objet de démontrer qu'on peut trouver plusieurs quantités telles qu'une certaine relation déterminée ait lieu entre ces quantités , et une infinité d'autres qui sont prises suivant une loi donnée.

Le porisme suppose qu'il y a des conditions qui rendent un problême indéterminé , c'est-à-dire susceptible d'une infinité de solutions.

PROPOSITION XVIII

pORISME.

Trois points étant donnés, on peut en trouver un quatrième tel qu'^n y faisant passer une droite quelconque, la somme dés distances

des différents points fixes donnés. Cette propriété curieuse est énoncée dans le beau traité d^Huygens, intitulé Horologium oscUlatorium ^ et elle lui fournit un exemple pour appliquer le principe de la conservation des forces vives qui est si important à considérer dans l'action des corps les uns sur les autres.

La proposition intéressante que Tauteur vient de démontrer^ peut être établie dune manière' fort simple dans toute sa généralité par la géométrie analytique. En effets soient (a, 6)9 (a'> V^y{a!\V^ )^ etc. , les coordonnées des points fixes donnés; (x,^) celles de lun des points du lieu cherché, ^im^n^p^ etc. les multiples donnés. Il est clair que les quarrés des lignes que l'on considère sont (^— «)'+(/•— ^)% (x— fl')'H-(^— i')% etc., et comme par hypothèse, la somme des multiples de ces quarrés doit être égale à un espace* déterminé, il s'ensuit que l'équation du lien cherché est '

+ n{x-a^)-^n{j-Vy I

> ""^ const.

+ etc. , + etc.

A la seule inspection de cette équation , on reconnaît que les coefficients de x" et de^ sont égaux, et par conséquent le lieu est une circonférence de cercle.

ANALYSE GEOMETRIQUE. iSy

de cette droite aux deux premiers points donnés, soit égale à sa distance au troisième.

Soient A, B, C, {fig^ 1:8 ) les trois points donnés; on peut trouver un quatrième point D tel qu'une droite quelconque HDI étant menée par ce point, la somme des perpendiculaires AH et BI, soit égale à la perpendiculaire CG.

ANALYSE

Par le point D, menez CDK; abaissez sur cette droite les deux. perpendiculaires AK, BL^ et menez AB qui rencontre KG en E.

D'après la propriété dont jouissent les droites qui passent par le point D, il est clair que les distances AK et BL de. la droite CD K menée par le point C aux deux points restants A et B , doivent être égales. Ainsi les triangles rectangles AEK et BLE sont égaux, et par conséquent AE = BE; donc le point E est déterminé, puisqu'il est le milieu de AB. Menez à-présent la perpendiculaire EF; il est évidpntque !aEF = AH+BL De plus, CG et EF étant parallèles, CD:DE::CG:EF, et CDr^DE.iCGraFE ou AH-hBI; mais, par hypothèse CG= AH+BI, donc CD = aDEJ, et comme CE est déterminé, le point D Test aussi.

SYNTHÈSE

Faites'AE=7 AB, et ED=tEC; D est le point cherché. En effet abaissez la perpendiculaire EF. Puisque CG et EF sont parallèles, CD:DE::CG:EF; mais CD = aDE, donc CG = aEF = AH-hBI.

Le porisme qui vient d'être démontré peut être regardé comme provenant de la solution de ce problême, Mener, par le point M, une droite MN telle que la somme des perpendiculaires AH et BI, abaissées sur cette droite des points A et B, soit égale à la perpendiculaire C G menée par C du côté opposé. Le point D se trouve comme précédemment, et la position de MND est déterminée. Mais //• Suppl. 18

l38 ANALYSE GÉOMÉTRIQUE.

la direction de cette droite serait tout-à*fait indéterminée, s*il arrivait que le point M coïncidât avec D ; dans cette supposition , le problème admettrait une infinité de solutions (i).

PROPOSITION XIX

PORISME.

Un cercle et une droite étant donnés, on peut trouver un point tel que toute droite qui y passe et qui est terminée par le cercle et la droite, est divisée au point cherché en deux segments dont le rectangle est: déterminé.

La droite AB {fig- ^9iP^' 3 ), et le cercle HDF sont donnés de position; on propose de déterminer un point F qui divise une droite quelconque EDF en deux segments comprenant un rectangle dé-

terminé.

ANALYSE

Par F menez H F G perpendiculaire à AB. En vertu de Thypothèse, le rectangle HF x FG est aussi égal à l'espace donné, et par conséquent à FDxFE; donc DF:HF::FG:FE. Les triangles DFH et GFE ayant ainsi un angle égal chacun à chacun compris entre des côtés proportionnels , sont semblables ^ et l'angle F D H est égal à FGE, c'est4i-dire à un angle droit; donc HDF est un demi^cercle qui a HF pour diamètre. Le centre C étant donné, la perpendiculaire H C G est aussi donnée, et par conséquent le point F est déterminé.

(i) Il est à-^propoft de remarquer qae le point cherché D est le centre de gravité du système des trois points A , B , G considérés comme des points matériels pesants. C'est ce qui resuite de la manière dont on obtient le point D; mais cela peut être démontré a priori d'après la propriété de ce point. Car il résnlte évidemment de celte propriété que la «omme des moments de A , B, C est nulle par rapport à tout axe .passant par D, ce qui est, comme on sait, la propriété caractéristique d'un centre de gravité.

(Note du traducteur,)

ANALYSE G^OMiTRIQUË. iS^

Les points F, G, H étant détermines, il en est de même du rectangle HFxFG.

SYNTHESE

Du centre G abaissez sur AB la perpendiculaire UCFG qui rencontre la circonférence en F; ce point F jouit de la propriété, que si Ton y fait passer une droite quelconque terminée à la circonférence et à A B, ses deux segments comprendront un rectangle déterminé. En effet menez DH; les triangles FGE et FDH sont semblables; donc FG:FE:;FD:FH, d'où FExFDsirFGxFH ^= un rectangle déterminé.

Ce porisme peut être considéré comme provenant de la solution de ce problême. Par le point M, mener une droite DMFE telle que le rectangle de ses segments DF et FE soit ^al à un rectangle dé* terminé. Le point F étant trouvé comme ci-devant, la droite DME est entièrement déterminée. Mais quand le point donné M se trouve coïncider avec F, la droite DE n'a plus de position déterminée , c'està-dire qu'elle satisfait aux conditions du problême, dans quelque direction qu'elle soit menée.

PROPOSITION XX

POKTSME.

Un cercle et un point étant donnés , on peut trouver un autre point tel qu'en menant de ce point et du premier, deux droites à un point quelconque de la circonférence, ces deux droites soient toujours dans un rapport donné. La circonférence ECF et le point A étant donnés, on peut trouver un point B {^fig* lio) tel que les droites AC et BC, menées au point C de la circonférence ECF, soient entre elles dans un rapport déterminé.

Menez AB qui rencontre le cercle en E et F; tifex CE, CF, et

l4o Alf ALYS£ GBOMÉTRIQUE.

prolongez AC. Puisque les points E et F sont sur la circohférence , il résulte de l'hypothèse que AC:BC: : AE:BE, et AC:BC: : AF:FB- U suit de-là que CE divise en deux parties égales Tangle ACB, et qu'il en est de même de C F par rapport à l'angle adjacent B CD ; par conséquent l'arc ECF est un demi*cercle. Ainsi la droite qui passe par le centre O, est déterminée de position. Maintenant, puisque AF:FB;:AE:EB ou bien AF:AE::FB:EB, il s'ensuit que EF étant divisée extérieurement et intérieurement dans le même rapport, EO est une moyenne proportionnelle entre AO et BO, ou EÔ'=AO ;xBO. Mais AO et EO sont -donnés, donc BO et le point B.sont

déterminés. De plus, puisque AO:EO::EO:BO, il est clair que AE:EB:;EO:BO, c'est-à-dire que les droites menées par A et B à la circonférence , sont entre elles , dans un rapport déterminé , égal