THÉORÈME

Le cercle est le plus grand de tous les polygones isopérimètres.

Par les propositions précédentes , il est clair que le périmètre et le nombre des côtés étant donnés, la figure mxiximum est un polygone régulier. Soit ABCDEF (y^. 3a) un tel polygone qui a le périmètre donné ; partagez en deux portions égales les arcs corresdants du cercle circonsciît, et inscrivez dans ce cercle un polygone

ANALYSE GEOMETRIQUE. l55

régulier M B G C . . . L A d'un nombre de cotés double du précédent. Menez le diamètre M I et les droites M D et O D. Les deux polygones sont composés chacun d'un même nombre de triangles égaux à ODN pour l'un , et à OD I pour l'autre ; ainsi leurs surfaces sont entre elles comme ON est à OI, ou ce qui revient au même comme PN est à

ML Mais si le grand polygone M A s'était réduit à un polygone

semblable , de même périmètre que A ... F et dont le côté homologue à DI, serait égal à DN, les aires des deux polygones semblables seraient dans le rapport de DP à WK% c'est-à-dire de MI à MN. Donc le polygone primitif A. .. .F est à un autre polygone du même périmètre et d'un nombre de côtés double , comme P N est à M N. Une figure d'un périmètre constant a donc une aire de plus en plus grande, à mesure que l'on double le nombre de ses côtés. En continuant cette duplication, le polygone régulier qui en résulte acquiert une surface perpétuellement croissante. Ainsi le cercle , qui est la limite dont s'approchent tous ces polygones à mesure que le nombre de leurs côtés augmente, doit, dans le même contour, ren« fermer le plus grand espace possible (i).

(i) On trouve ces trois dernières propositions (3o, 3i , 3a ), traitées dune manière diflerente, dans les Éléments de Géométrie de M. L^endre, pages i3o à i36 de la onzième édition, année 1817.

Le lecteur pourra encore s*exercer sur le problème suivant, dont un grand nombre de géomètres se sont occupés « inscrire dans un cercle donné, un polygone dont les côtés passent par autant de points donnés quil 7 a de côtés dans le polygone. » f^ojrez pour la solution <le ce problème, tant par lanalyse que. par la synthèse , Mémoires de V Académie de Berlin y année 1776, ceux de TAcademie de Pétersbourg , année 1780; le Recueil de problêmes, publié en 1^809 par M. de Stainville, lun des répétiteurs de Fécole polytechnique; le premier volume des Annales de rnathé* matiques de M. Gergonne , qui contient plusieurs articles fort intéressants de M. Servois, conservateur du Musée d artillerie; les ouvrages de géométrie de M. Camot , et enfin les Eléments d*anafyse géométtique et algébrique , par M. S. Lhui* lier, Genève 1809.

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