INTRODUCTION

Ljes propriétés de l'étendue considérée dans les trois dimensions, peu connues des anciens géomètres, ont été dans ces derniers temps l'objet de l'une des plus belles applications de Fanalyse. C'est seulement en 1 729 qu'on a publié un traité des courbes à double courbure, dans lequel on a rapporté les points des courbes ou des surfaces auxquelles elles appartiennent , à trois plans rectangulaires ; cet ouvrage est le premier où l'on a exprimé les relations des coordonnées de ces points , par des équations d'où l'on a déduit les propriétés des courbes, leurs tangentes , leur quadrature , leur rectification, etc. Ce travail d'un auteur qui n'avait encore que seize ans (Clairaut), a ouvert un nouveau champ aux recherches des géomètres. L'analyse s'est perfectionnée ; elle s'est enrichie du calcul aux différences partielles et du calcul des variations, et la géométrie a constamment suivi les progrès de l'analyse infinitésiftiale. Euler fit l'application de cette nouvelle analyse à la recherche des courbes qui jouissent de certaines propriétés de maximum ou minùnwn; c'est à lui qu'on doit le livre qui a pour titre : Methodus ùv/eniendi lineas curvas m^aximi minimise proprietate gaudentibus , anno 1 744 1 m^ M. Lagrange regardait comme le chef-d'œuvre de ce grand géomètre. C'est aussi à Euler qu'on doit la théorie de la courbure des surfaces, exposée dans un très-beau mémoire de 1760 ( Académie de Berlin ) (i). Meusnier en

(i) Euler est le premier géomètre qui se soit occupé de la théorie des surfaces dévdoppables. Le mémoire de 1771 {Académie de Pétersèourgj tome i6yno^icom-

viij INTRODUCTION.

1776 ( savants étrangers de I^ Académie de Paris ^ tome 10.) a complété cette théorie de la courbure des sections normales d'une surface , en déduisant de l'expression du rayon de courbure d'une section normale quelconque , celle du rayon de courbure d'une section oblique dont le plan mené par la tangente à la section normale, fait avec le plan de cette section, un angle donné.

On sait ce qui a été fait depuis cette époque sur l'analyse appliquée à la géométrie (i), par les professeurs qui ont fondé l'enseignement de l'Ecole polytechnique, et sur-tout par le savant géomètre qui a conçu le projet de cet établissement. Ses ouvrages , ceux des élevés formés par ses leçons ou ses écrits, ont changé la face de cette branche de mathématiques , tant par l'ordre et la symétrie des calculs , que par l'enchaînement des propositions.

Avant ces découvertes, d autres savants avaient cultivé la Géométrie aux trois dimensions en suivant la méthode synthétique , et leurs travaux quoique moins brillants et d'un ordre moins élevé dans leurs résultats, ont encore le mérite particulier d'exercer l'intelligence des commençants, et de faire passer des abstractions de là science, aux applications les plus usuelles.

Fermât, au commencement du dix-septième siècle, avait résolu

mentarii ) contient des recherches analytiques fort savantes sur les conditions auxquelles doivent satisfaire les fonctions arbitraires qui entrent dans Téquation finie d'une surface développafile ; mais en comparant ce mémoire à celui de Monge de 1771 , ou mieux encore à celui de 1775 (tomes 9 et 10 des Savants étrangers^ Académie de Paris ) , on reconnaîtra facilement que l'analyse de Monge, fondée sur des considérations géométriques, conduit plus directement au but principal, qui est Texpression analytique de la génération des surfaces développables. Néanmoins Euler, dans ce mémoire de 1771, montre clairement que la surface de l'ombre d'un corps opaque, dans Thypothèse d'un corps lumineux, est développable , et la seconde partie du mémoire de Monge de 1775 , repose sur cette considération.

(i) Voyez la préface du grand calcul différentiel de M. Lacroix, année 1810.

INTRODUCTIOÎT. ir

cette question : Trouver le centre et le rayon d'une sphère qui touche quatre sphères données.

La trigonométrie sphérique aussi ancienne que Tastronomie , com-: prend la solution de la pyramide triangulaire. Les forqnules algé-. briques mises sôus la forme qui convient pour l'usage des tables de logarithmes , ne laissent rien à désirer pour le calcul numérique des Ugnes qui déterminent un triangle sphérique , ou «ne pyramide triangulaire dans laquelle on ne considère que les angles des arêtes. et des faces ; mais elles n'indiquent pas les constructions géométriques qui mènent le plus directement des lignes connues dans une pyramide ^ aux inconnues. Pour trouver ces constructions , il fallait considérer la trigonométrie sphérique sous un autre point de vue , et se proposer de résoudre tous les problèmes qu'elle pr^nte avec le plus petit nombre de lignes possible ^ et en ne faisant usage que de la règle et du compas.

On ne peut pas douter que ces problêmes n'aient été ainsi résolus par les inventeurs de Part dti trait ^ mais il ne reste ajacnn écrit qui le constate ^ et quoique les Arabes et les Goths eussait fait pour la construction de leurs monuments, un fréquent usage de cet art, ils ne nous ont transmis ni les noms des hommes qui Font inventé, ni la connaissance des principes de géométrie qui lui servent de baSe« Sur la fin du seizième siècle , quelques-uns aies procédés de cet art ont été décrits dans un traité d'architecture par Philibert de l'Orme , aumônier de Henri II. En i64â^ Jousse publia un traité de coupe des pierres, sous le titre de Secrets de VArchitecture^ce qui prouve qu'à cette époquela pratique de l'art du trait n'était connue que d'iii^ petit nonibre d'initiés qui suivaient quelques écoles particulières. En i649) François Derand, jésuite, et Desargues, architecte de Lyon , dévoilèrent un plus grand nombre des secrets de ces écoles , dans leurs traités de la coupe des pierres. En 171^8, M. De la Rue,