X INTRODUCTION

architecte, fit un recueil de dessins geomiétraux qui surpassaient en exactitude tout ce qui avait été fait avant lui; mais le texte expli«catif ne répondait pas à ja beaulé des dtèssihs. M. Frézier , savant officier du génie xfai s'^était principalement occupé Se la géométrie nécessaire pour entendre 4es canstructîofis grapjaiques transmises par les aiaciens, pubHa ^en 1750 un «ouvira^ sur la théorie de la coupe des piernes et des bois, qui est ecicûre très -recherché par les ingénieurs. Il contient la solution graphique de ce problème :

Etant domiées les trois faces d'une pyramide , trouver Ids trois angles ? elle avait été donnée aintérieuremeilt dans le recueil latin du P. Deschatles ^ qui a pour titre : Mundtes TnatkenuUicus , cap. de îapidwn sectione^ anno 167a. Une nombreuse collection d'épurés de stéréotomie ^ de coupe de piarres , de dharpente ^ avait été dessinée d'après les ouvrages qu'on vient de citer ^^pour l'instruction des élèves de l'école du génie établie à Mézières (i). M. Monge qui a professé dans cette école pendant 20 ans ( de 1 764 à 1 784 ) 1 et qui ^ jusqu'en 1 79Ô ^ avait seulement publ)é-^es mémoires de géométrie analytique dans les collections académiques , a écrit cette année^ pour

(i) Geitte école créée en 1748 ^^^^s le minklère <le M. d*Argenson, a servi de modèle pour rorganisation de lecole polytechnique; elle. fut dirigée à Fépoque Ae sa formation par de savants et laborieux officiers du génie,. MM. Duvignau et Charstillon , qui ont eu pour dignes successeurs , d autres officiers du corps non moins recommundobles^ MM. de Ramsauh, le comte de Jaubert, etc.

Un décret du 12 février 1794 transféra i'école du génie de Mézières à Metz; par un autre décret du 11 mars suivant, une commission a été chargée de préparer I^établissemerrt de Técole centrale £/^5 travaux publics. Vers le milieu de novembre, même année, on ouvrit Técole préparatoire des chefs de brigade, et te si mars 1795, Técole centrale des travaux publics fut mise en activité, (voyez la Notice historique ^ tome 1 de la Correspondance^ page 327 ). Quelques mois après, on changea son nom eti celui à' Ecole polytechnique^ en lui conservant sa première destination, de donner aua: élèves des services publics civils et militaires , le premier degré d'instruction. £n i8o3, un décret a rendu Técole de Metz commune aux élèves de f Ecole polytechnique qui sont admb dans les services militaires de Tartillerie et du génie.

INTRODUCTION. xj

les écoles normales , les leçons de géométrie descriptive qu'il y a données. Ces leçons disséminées dans plusieurs volumes du journal de ces écoles, ont été réunies en un seul, et publiées par mes soins en 1799. Cette première édition fut suivie de plusieurs autres sans aucun changement. Cependant la sciehce avait fait quelques pas, et en 18 12 j'ai publié une édition conforme aux précédentes, avec un supplément sur lequel on a fait le a3 mars de cette année , le rapport à rinstitut, qui est imprimé dans la Correspondance sur l'école polytechnique , tome 3 , page f^4*

Avant de faire connaître Tobjet du second supplément , il était nécessaire de rappeler le premier; celui-ci contient une proposition remarquable par ses conséquences, que j'ai développée dans un ouvrage récemment publié sous le titre di Eléments de géométrie à trois dimensions*

La démonstration de cette proposition repose sur la connaissance d'une surface dite hyperboldide à une nappe , engendrée par une ligne droite mobile qui s'appuie sur trois droites fixes. J'ai fait voir que , de quelque manière qu'on fit mouvoir une droite , la surface réglée qui en est le lieu , pouvait être touchée suivant cette droite considérée dans une position quelconque , par une infinité d'hyperboloîdes à une nappe , ou de p^raboloïdes hyperboliques , qui n'en différent que parce que les trois droites directrices de la droite mobile sont parallèles à un même plan. Pour le démontrer , il suffît de considérer que trois droites quelconques de la surface réglée déterminent un. hyperboloïde à une nappe, et que lorsque ces trois droites sont contiguës et infiniment voisines , l'hyperboloïde devient osculateur de la surface réglée ; mais s'il n'y a qu'un seul hyperboloïde osculateur , il est évident qu'il y a une infinité d'hy perboloïdes simplement tangents qui passent tous par deux droites consécutives et infiniment voisines de la surface réglée, et par une troisième droite prise arbitrairement , en sorte que tous ces hyperboloïdes tangents à

xi} INTRODUCTION,

la même surface réglée , sont aussi tangents entre eux. Nous avions démontré , dans notre traité des surfaces du second degré , la propriété de rhyperboloïde à une nappe de pouvoir être engendré par une droite de deux manières différentes , et cette propriété combinée avec la précédente, m'a conduit aux propositions suivantes, i^ parmi tous les plans qui passent par une droite d'une sur&ce réglée, un quelconque est tangent à cette surface en un point de la droite, quoiqu'il coupe toutes- les autres droites adjacentes; 2^ l'un quelconque de ces plans étant donné , le point de contact est déterminé par la rencontre de la droite qui contient ce point , et de la courbe qui est le lieu des points d'intersection des autres droites de la surface et du plan donné , en sorte que ce plan est à-la-fois tangent et sécant; 3^ le point de contact étant donné sur une droite de la surface réglée, on détermine le plan qui est tangent à la surface en ce point , en substituant à eette surface un hyperboloïde ou im paraboloïde tangent suivant la droite donnée.

Ce qui est remarquable dans ces pi:opositions, c'est qu'elles ramènent une construction géométrique qui *dépendait d'une analyse transcendante, à la solution d'un problême de géométrie trè&-simple, qui consiste à trouver l'intersection d'une droite et d'un plan. En partant de ce . résultat , je . me suis proposé la question suivante : Etant donnée une courbe plane ou à double courbure , en relief ou par ses projections, lui mener une tangente par un point donné sur ou hors la courbe?

Pour la.r^oudre, on place la courbe sur deux surfaces réglées dont chacune a pour directrices cette courbe et deux droites prises arbitrairement ; les plans tangents à ces surfaces , menés par le point donné ^ur la courbe , se coupent suivant la tangente demandée. Après avoir exposé cette solution avec tous ses développements dans les Éléments de géométrie à trois dimensions, et ayant ainsi complété la théorie des contacts du premier ordre, j'ai cherché à in-

INTRODUCTION. xiij

troduire dans la Géométrie . descriptive les notions de courbure ou de contact du second ordre , qui ont été jusqu'à-présent le domaine exclusif de l'analyse appliquée à la Géométrie.

Je n'aurais pas démontré le théorème d'ËÛler sur les .rayons de courbure pour les deux genres de Surfaces le plus souvent employées dans les arts , savoir les surfaces développables et les surfaces de révo* lution.d autres raisons détermineraient à l'admettre comme une proposition démontrée par l'analyse , npur en déduire les constructions relatives aux contacts du second ordre. De même que pour les calculs arithmétiques, on apprend l'usage des logarithmes sans qu'il soit besoin d'en connaître la théorie , on peut en géométrie , conmie en mécanique pratique ou en astronomie , admettre un résultat ou une formule qui ne serait démontrée que par une analyse transcendante. Je ne crois pas qu'on sorte des limites d'un cours de géométrie^ descriptive , eût-il principalement pour objet les applications auX[ arts, en apprenant à se servir d'une formule simple, telle que celle d'Euler sur la courbure des surfaces, qui. donne pour chaque élément d'une surface, la grandeur de la courbure de cet élément, dont on connaît déjà la direction par le plan tangent (voyez cette formule dans l'appendice de nos Éléments de géométrie à trois dimensions). Mais pour appliquer cette formule à toutes les surfaces dont on connaît la génération, ou. qui sont définies, il ne suffisait pas de connaître la tangente en un point donné d'une ligne de cette surface, il fallait encore construire le rayon de courbure et le plan osculateur de cette ligne au même point. Ayant résolu cette dernière question , j'ai pensé qu'un second supplément de la Géométrie descriptive était nécessaire, pour faire voir comment les théorèmes généraux sur les tangentes et les rayons de courbure, exposéa dans nos Éléments de géométrie à trois dimensions , s'appliquaient à des ca% particuliers. En séparant ces applications de la théorie, et suppo* sant au lecteur les connaissances pratiques du tracé graphique, on

xm INTRODUCTION.

abrège YexçAic2LÛon des figures rapportées à plusieurs plans de projection. Cet avantage résulte de la division que j'ai proposée, et qui consiste à nommer Géométrie à trois dimensions ^ l'ensemble des propositions relatives à l'étendue et à ses formes, et Géométrie descripti^^e ^ la science qui apprend l'usage de la règle et du compas , pour la solution des problèmes de la Géométrie à trois dimensions.

Je rappellerai ici une observation importante; j'ai fait remarquer que toutes les opérations graphifpies de la Géométrie descriptive se réduisaient à deux seulement, qui consistent à trouver la distance de deux points dont on a les deux projections , et à déterminer le point de rencontre d'une droite menée par deux points donnés et d'un plan qui passe par trois points aussi donnés. (Voyez nos Éléments, pag. lo.) Ces deux questions étant résolues avec la règle et le compas , toute la Géométrie descriptive est ramenée à la Géométrie plane. C'est pourquoi les jeunes gens qui désireront se fortifier sur les éléments de géométrie, et ensuite cultiver la Géoniétrie descriptive, devront d'abord s'exercer à trouver la solution d'un grand nombre de problèmes de la Géométrie plane. C'est ce motif qui si'a déterminé à fiiire passer dans notre langue un livre d'un physicien célèbre , professeur de mathématiques à l'université d'Edimbourg, M. John Leslie. Ce livre, dont il a déjà été fait mention dans l'avant-propos de la partie algébrique de nos Éléments de géométrie à troi^ dimensions, a pour titre : Analyse géométrique ( i ). Il forme la seconde partie d'un ouvrage anglais (21) imprimé à Edimbourg en 181 1. On y a réuni avec beaucoup^d'ordre et de clarté lés problêmes les plus intéressants de la

(i) Voyez la note page xoa.

{7) Eléments (^ geom^rjr^ geometrieal analjrsis^ and plane trigonometry ; — yol. in-8^, seconde édition , année 181 1 , 5oo pages.

On a du même auteur les trois ouvrages suivants :

X® Géométrie des courbes du second degré, in- 80,76 pages et io,plancifies, année 18 13 (écrit en fiançais \

INTRODUCTION. xv

Géométrie élémentaire. J'avais confié la traduction du texte à M. Comte ancien élève de lecole polytechnique , qui desirait se faire connaître par un travail utile aux études mathématiques ; il a rempli cette tâche avec le plus grand zèle» J'ai fait peu de changements à la traduction, et ce que j'ai ajouté aux démonstrations de M. Léslie, n'a pour objet que d'éviter des renvois à des ouvrages du même auteur.

Le texte est accompagné de trois planches relatives aux trois livres dont il se compose. Cet ouvrage joint à celui d'Euclide, complète la partie de la géométrie qui traite de la ligne droite et du cercle considérés sur un plan, et fait connaître la méthode que les anciens géomètres ont suivie dans leurs recherches et dans leurs démonstrations.

On verra encore une application de cette méthode dans le mémoire sur le contact des sphères par Fermât, que j'ai traduit du latin, et qui termine les cahiers 7 et S du Journal in-4** de l'école polytechnique, ou l'on a réuni les leçons de mathématiques élémentaires, données en 1795 aux écoles normales , par deux célèbres géomètres , MM. Lagrange et Laplace.

a? Short aecount of experiments and instruments Apending on the relations qf air to heat and Moisture; Edin^urgh , 181 3.

3° jin expérimental inquiry into the nature and propagation ofheat; vol. in-8°, 562 pages, II planches; année i8o4*

C'est dans ce dernier ouvrage que l'on trôtive les belles -observations sur le calorique rayonnant, rapportées par M. Biot dans son traité de phjj^ique, tome 4» page 644* Tout le monde connaît cette curieuse expérience de la formation de la glace par une évaporation subite et par l'absorption des vapeurs d'un liquide à mesure qu'elles se forment; elle est aussi décrite par M. Biot , tome i , page 33i de sa physique. C'est à M.. Leslie qu'on doit les premières expériences qui ont fait connaître que l'intensité des rayons de chaleur sortis d'un même élément de la surface d'un corps , varie avec Tangle d'émission y et qu'elle iest proportionnelle au sinus de cet angle. (Yoyez la TItéorie physique de la chaleur rayonnante y par M. Fourier, Annales de chimie et de physique ^ par MM. Gay-Lussac et Arago; cahier de novembre 1817, page aSg).

xvj INTRODUCTION:

Des Planches jointes au second supplément de la Géométrie

descriptwe.

Des huit planches jointes au texte de ce second supplément, la première contient l'application de la méthode synthétique des tangentes au cas particulier d'une section conique. Les trois suivantes présentent des exemples de plans tangens de la seconde espèce , qui sont à-la-fois tangents et sécants des surfaces , lorsque ces surfaces ont pour le point de contact , deux rayons de courbure de signes contraires.

La planche 5 est relative à la discussion des sections d'un tore , dont les plans passent par une normale donnée de ce tore.

Les planches 6 et 7 font vo^jr l'application du théorème d'Euler à la construction géométrique des rayons de courbure et des plans osculateurs de deux courbes à double courbure, l'une qui résulte de l'intersection de deux cylindres droits à base circulaire , l'autre qui appartient à l'intersection d'un tore et d'une sphère. Les géomètres reconnaîtront dans cette nouvelle application, les avantagesdes constructions de la Géométrie descriptive, pour la détermination la plus directe et probablement la plus simple des quantités qui fixent la courbure des lignes et des surfaces. Les formules analytiques qui donnent ces quantités sont tellement compliquées, qu'on n'a pas cru jusqu'àprésent pouvoir en faire usage dans des cas particuliers , autrement que par la substitution des nombre^ aux expressions algébriques.

La planche 8 extraite de la correspondance sur l'école polytechnique, représente les coui^bes d'intersection de trois surfaces annulaires, auxquelles on pourra appliquer pour la recherche des rayons de courbure et des plans osculateurs de ces courbes, le même mode de construction que pour les lignes des planches 6 et 7.

Les dessins de ces planches ont été pour la plupart faits par l'un dé mes parents , M. Toussaint ( de Mézières ) , élève distingué de l'école polytechnique , qui suit actuellement une exploitation de mine» de plomb argentifère.

Définition des divers modes de projection dont on fait usage

dans la Géométrie descriptive. ,

I. Un mode de projection^ quel qu'il soit, a pour objet de déterminer la position respective des points situés dans l'espace. Pour le définir , on doit donner la surface sur laquelle on projette chaque point de l'espace, et la droite qui projette ce point. Le choix du mode de projection est aussi important pour la solution, graphique des problêmes de géométrie descriptive, que pelui du système des coordonnées pour la soliitîon des problêmes d'analyse appliquée, à

la Géométrie aux trois dimensions.

Le mode de projection le plus simple , et dont on £iit le plus souvent usage, se nomme projection orthogonaje. Il consiste à projeter les points de l'espace sur un plan , par des droites perpendiculaires à ce plan : on ùomme les droites par lesquelles on projette les points, Ugnes de projectipn^ et le plan sur' lequel on les projette jp^/» depro- IP Suppl i

2 GÉomiTKlE DESCRIPTIVE.

jection (Ë^ û) (l). Lbrfcque les lîgfles de projection dont ol^iqtles par rapport au plan de projection , on dit que la projection est oblique. Si elles concourent yen un point fixe > la projection se nomme per^ spectwe linéaire^ ou simplement /^er^ec^Ve.

a. En supposant que les lignes àe projection soient des parallèles ou des droites concourantes vers un point fixe , on peut substituer au plan de projection une surface courbe connue et définie, par exempte , la sphère. La projection la plus génémle d'une ligne quelconque, plane ou a double courbure, dépend de deux surfaces; la première ou celle sur laquelle on projette, est la suif ace deprojection ; la seconde appartient à une série de droites qui forment une surface réglée , dont la nature est dét^minée par le mode de projection, (E,a4)«

^ Leis propositions relatires aux projections orthogonales d'un système de points ^^ ou des lignes droites, sont l'objet des articles (6 — 17) ou des pages 6 — 9 de nos éléments de géométrie à trois dimensions ; les propositions suivantes se rapportent aux deux modes de projections oblique et perspective. ^

Première proposition. Toutes les lignes tracées sur un cylindre étant projetées sur un plan ou toute autre sur^Eice, par des droites parallèies aux arêtes du cylindre^ la ligne d'intersection du cylindre tt de la surface de projection^ ainsi que toutes les lignes du cylindre projetBes sor ^^eltte surface , coïncident ^ totalité ou en partie.

Deuxième proposition. Toutes les lignes tracées sur un cône étant projetées sur un plan ou toute autre surface par des lignes concourantes vers le sommet du cône , la ligne, d'intersection du cône et de

(i) Ce renvoi àgni&e : E/éments Je 'Géométrie à trois dimensions ^ art. a.

GéOM^TAIE DESCRIPTIVE. ^

la surface de projection , ainsi qup toutes les lignes 4tt cpn^ projetées , coïncident en totalité ou en p$irt;ie.

4« La combinaison de plusieurs modes de prqjeetiens conduit dans quelcpies cas particuliers à de# solutions plus élégantes que celle qu'on obtiendrait en n'employant que la projection orthogé* nale. £n voici quelques exemples:

Premier exemple. De V intersection et un cylindre y et d'une surface

quelconque définie.

Les deux surfaces ët^nt coupées par un système (le plans parallèles^ on conçoit que les deux sections faites par l'un de ces plans peuvent être projetées ^ur un plan fixe par des droites parallèles aux arêtes du cylindre, pans cette hypothèse, la proiection. de la section du cylindre sera constante, et il jpoufra priver qu'elle rencontre ou qu'elle ne rencontre pas la projection (le l'autre section qui est un^ ligne de la sur£sice donnée; si elle la rencontre, la parallèle et l'arête . du cylindre menée par le point de rencontre , coupera la section plane de la surface en un point qui appartiendra ^ l'intersection de cptte surface et du cylindre.

Toutes les opération^ relatives à la projection obl^ue qui se fai): par des droites parallèles aux arêtes du cylindrp, se reduisçi^t aux deux constructions graphiques fondamentales de la géométrie descriptive. (Art. i8, page lo des Éléments).

Deuxième exemple. De l'intersection dun cône et dune surface

deréfoh^ipn.

5. Les deux surface^ étant coupées par |ine série de {Haps peppe^-j diculaires à l'axe de révolution « on considère la section du cône faite par UH plan quelconque de cette série , comme la base de ce cmie , et on projette sur pe premier pUiji les érections circi^l^ires d^ ]^ surface de révolution , par des lignes concourantes vers ]» ^vsçg^