AVIS AU RELIEUR

On placera les huit planches du supplément de la Géométrie descriptive après la page 3a , et les trois planches de K Analyse Géométrique , à la fin de louvrage.

INTRODUCTION

X j es propriétés de l’étendue considérée dans les trois dimensions, peu connues des anciens géomètres, ont été dans ces derniers temps l'objet de l’une des plus belles applications de l’analyse. C’est seulement en 1729 qu’on a publié un traité des courbes à double courbure, dans lequel on a rapporté les points des courbes ou des surfaces auxquelles elles appartiennent , à trois plans rectangulaires; cet ouvrage est le premier où l'on a exprimé les relations des coordonnées de ces points, par des équations d’où l’on a déduit les propriétés des courbes, leurs tangentes , leur quadrature, leur rectification , etc. Ce travail d’un auteur qui n’avait encore que seize ans (Clairaut), a ouvert un nouveau champ aux recherches des géomètres. L’analySe s’est perfectionnée ; elle s’est enrichie du calcul aux différences partielles et du calcul des variations, et la géométrie a constamment suivi les progrès de l'analyse infiuitésimale. Euler fit l’application de cette nouvelle analyse à la recherche des courbes qui jouissent de certaines propriétés de maximum ou minimum ; c’est à lui qu’on doit le livre qui a pour titrç: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimise proprietate gaudentibus , an no iy 44 i que M. Lagrange regardait comme le chef-d’œuvre de ce grand géomètre. C’est aussi à Euler qu’on doit la théorie de la courbure des surfaces, exposée dans un très-beau mémoire de 17C0 (Académie de Berlin ) (1). Meusnicr en

(1) Euler est le premier géomètre qui se soit occupé de la théorie des surfaces développables. Le mémoire de 1771 ( Academie de Péttrslumrg , toiuc 16 , novi com-

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viij

1776 ( savants étrangers de T Académie de Paris , tome 10 ) a complète' cette théorie de la courbure des sections normales d’une surface , en déduisant de l’expression du rayon de courbure d’une section normale quelconque , celle du rayon de courbure d’une section oblique dont le plan mené par la tangente à la section normale, fait avec le plan de cette section, un angle donné.

On sait ce qui a été fait depuis cette époque sur l’analyse appliquée à la géométrie (1), par les professeurs qui ont fondé l’enseignement de l’Ecole polytechnique, et sur-tout par le savant géomètre qui a conçu le projet de cet établissement. Ses ouvrages, ceux des élèves formés par ses leçons ou ses écrits, ont changé la face de cette branche de mathématiques , tant par l’ordre et la symétrie des calculs , que par l’enchaînement des propositions.

Avant ces découvertes, d’autres savants avaient cultivé la Géométrie aux trois dimensions en suivant la méthode synthétique, et leuss travaux quoique moins brillants et d’un ordre moins élevé dans leurs résultats, ont encore le mérite particulier d’exercer l’intelligence des commençants, et de faire passer des abstractions de la science, aux applications les plus usuelles.

Fermât, au commencement du dix-septième siècle, avait résolu

mentarii ) contient des recherche» analytiques fort sav»ntes sur l«s conditions auxquelles doivent satisfaire les fonctions arbitraires qui entrent dans l'équation finie d’une surface développable ; mais en comparant ce mémoire à celui de Monge de 1771 . ou mieux encore à celui de 1775 (tomes 9 et 10 des Savants étrangers, Académie de Paris ), on reconnaîtra facilement que l'analyse de Monge, fondée sur des considérations géométriques, conduit plus directement au but principal, qui est l’expression analytique de la génération des surfaces développables. Néanmoins Euler, dans ce mémoire de 1771, montre clairement que la surface de l’ombre d’un corps opaque, dans l’hypothèse d’un corps lumineux, est développable, et la seconde partie du mémoire de Monge de 1776 , repose sur cette considération.

(1) Voyez la préface du grand calcul différentiel de M. Lacroix, année 1810.

INTRODUCTION

cette question : Trouver le centre et le rayon d'une sphère qui touche quatre sphères données.

La trigonométrie sphérique aussi ancienne que l'astronomie , comprend la solution de la pyramide triangulaire. Les formules algébriques mises sous k forme qui convient pour l’usage des tables de logarithmes , ne laissent rien à desirer pour le calcul numérique des lignes qui déterminent un triangle sphérique , ou une pyramide triangulaire dans laquelle on ne considère que les angles des arêtes et des faces; mais elles n’indiquent pas les constructions géométriques qui mènent le plus directement des lignes connues dans une pyramide, aux inconnues. Pour trouver ces constructions, il fallait considérer la trigonométrie sphérique sous un autre point de vue, et se proposer de résoudre tous les problèmes qu’elle présente avec le plus petit nombre de lignes possible , et en ne faisant usage que de la règle et du compas.

On ne peut pas douter que ces problèmes n'aient été ainsi résolus par les inventeurs de l’art du trait , mais il ne reste aucun écrit qui le constate , et quoique les Arabes et les Goths eussent fait pour la construction de leurs monuments, un fréquent usage de cet art, ils ne nous ont transmis ni les noms des hommes qui l’ont inventé, ni la connaissance des principes de géométrie qui lui servent de base. Sur la fin du seizième siècle, quelques-uns des procédés de cet art ont été décrits dans un traité d’architecture par Philibert de l’Orme, aumônier de Henri II. En 16/42, Jousse publia un traité de coupe des pierres, sous le titre de Secrets de V Architecture-, ce qui prouve qu a cette époque la pratique de l’art du trait n’était connue que d’un petit nombre d’initiés qui suivaient quelques écoles particulières En i 64 q, François Derand, jésuite, et Desargues, architecte de Lyon, dévoilèrent un plus grand nombre des secrets de ces écoles, dans leurs traités de la coupe des pierres. En 1728, M. De la Rue,

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architecte, fit un recueil de dessins gcometraux qui surpassaient en exactitude tout ce qui avait été fait avant lui ; mais le texte explicatif ne répondait pas à la beauté des dessins. M. Frézier, savant officier du génie qui s’était principalement occupé de la géométrie nécessaire pour entendre les constructions graphiques transmises par les anciens, publia en iy 5 o un ouvrage sur la théorie de la coupe des pierres et des bois, qui est encore très -recherché par les ingénieurs. Il contient la solution graphique de ce problème :

Etant données les trois faces d'une pyramide, trouver les trois angles? elle avait été donnée antérieurement dans le recueil latin du P. Desclialles, qui a pour titre : Mundus mathenzaticus , cap. de lapidum section «, anrto 1C72. Une nombreuse collection d’épures de stéréotomie, de coupe de pierres, de charpente, avait été dessinée d’après les ouvrages qu’on vient de citer, pour l’instruction des élèves de l’école du génie établie à Mézières (1). M. Monge qui a professé dans cette école pendant 20 ans ( de 1 764 à 1 784 ) , et qui , jusqu’en 1795, avait seulement publié ses mémoires de géométrie analytique dans les collections académiques , a écrit cette année, pour

(1} Celte école créée en 1748 sous le ministère de M. d'Argenson, a servi de modèle pour l'organisation de l'école polytechnique; elle fut dirigée à 1 époque de sa formation par de savants et laborieux officiers du génie, MM. Duvignau et Cliastillon , qui ont eu pour dignes successeurs , d'autres officiers du corps non moins recommandables, MM. de Ramsaull, le comte de Jaubert, etc.

Un décret du 12 février 1794 transféra l’école du génie de Mézières à Metz ; par un autre décret du 11 mars suivant, une commission a été chargée de préparer 1 établissement de l’école centrale des travaux publics. Vers le milieu de novembre, même année, on ouvrit l'école préparatoire des chefs de brigade, et le 21 mars 1 79 -* > l’école centrale des travaux publics fut mise en activité, (voyez la Notice historique , tome 1 de la Correspondance , page 327 ). Quelques mois après, on changea son nom en celui d 'Ecole polytechnique , en lui conservant sa première destination , de donner aux élèves des services publies civils et militaires , le premier degre d instruction. En i 8 o 3 , un décret a rendu l’école de Metz commune aux élèves de 1 Ecole polytechnique qui sont admis dans les services militaires de l'artillerie et du génie.

INTRODUCTION

les écoles normales , les leçons de géométrie descriptive qu’il y a données. Ces leçons disséminées dans plusieurs volumes du journal de ces écoles, ont été réunies en un seul , et publiées par mes soins en «799. Cette première édition fut suivie de plusieurs autres sans aucun changement. Cependant la science avait fait quelques pas, et en 1812 j’ai publié une édition conforme aux précédentes, avec un supplément sur lequel on a fait le a 3 mars de cette année, le rapport à l’Institut, qui est imprimé dans la Correspondance sur l’école polytechnique, tome 3 , page a 34 -

Avant de faire connaître l'objet du second supplément , il était nécessaire de rappeler le premier; celui-ci contient une proposition remarquable par ses conséquences, que j’ai développée dans un ouvrage récemment publié sous le titre d 'Eléments de géométrie h trois dimensions.

La démonstration de cette proposition repose sur la connaissance d’une surface dite hyperboloide a une nappe , engendrée par une ligne droite mobile qui s’appuie sur trois droites fixes. J’ai fait voir que, de quelque manière qu’on lit mouvoir une droite, la surface réglée qui en est le lieu , pouvait être touchée suivant cette droite considérée dans une position quelconque, par une infinité d’hyperboloïdes à une nappe , ou de paraboloides hyperboliques , qui n’en diffèrent que parce que les trois droites directrices de la droite mobile sont parallèles à un même plan. Pour le démontrer, il suffit de considérer que trois droites quelconques de la surface réglée déterminent un hyperboloide à une nappe , et que lorsque ces trois droites sont contiguës et infinimeut voisines, l’hyperboloïde devient oSculatcur de la surface réglée ; mais s’il n'y a qu’un seul hyperboloïde osculateur , il est évident qu’il y. a une infinité d’hyperboloïdes simplement tangents qui passent tous par deux droites consécutives et infiniment voisines de la surface réglée, et par une troisième droite prise arbitrairement . en sorte que tous ces hy|>erboloïdes tangents à

xij . INTRODUCTION.

la mémo surface réglée, sont aussi tangents entre eux. Nous avions démontré, dans notre traité des surfaces du second degré, la propriété de l’hyperboloïde à une nappe de pouvoir être engendré par une droite de deux manières différentes, et cette propriété combinée avec la précédente, m’a conduit aux propositions suivantes, i° parmi tous les plans qui passent par une droite "d’une surface réglée, un quelconque est tangent à cette surface en un point de la droite, quoiqu'il coupe toutes les autres droites adjacentes; a° l'un quelconque de ces plans étant donné, le point de contact est déterminé par la rencontre de la droite qui contient ce point , et de la courbe qui est le lieu des points d'intersection des autres droites de la surface et du plan donné , en sorte que ce plan est à-la-fois tangent et sécant; 3° le point de contact étant donné- sur une droite de la surface réglée, on détermine le plan qui est tangent à la surface en ce point, en substituant à cette surface un hyperboloïde ou un paraboloïde tangent suivant la droite donnée.

Ce qui est remarquable dans ces propositions, c'est quelles ramènent une construction géométrique qui dépendait.d’une analyse transcendante, à la solution d'un problème de géométrie très-simple, qui consiste à trouver l’intersection d’une droite et d’un plan. En partant de ce résultat, je me suis proposé la question suivante : Etant donnée une courbe plane ou à double courbure , en relief ou par ses projections , lui mener une tangente par un point donné sur ou hors la courbe P

Pour la résoudre, on place la courbe sur deux surfaces réglées dont Chacune a pour directrices cette courbe et deux droites prises arbitrairement; les plans tangents à ces surfaces, menés par le point donné sur la courbe , se coupent suivant la tangente demandée. Après avoir exposé cette solution avec tous ses développements daus les Éléments de géométrie à trois dimensions, et ayant ainsi complété la théorie des contacts du premier ordre, j’ai cherché à in-

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XII l

troduire dans la Géométrie descriptive les notions de courbure ou de contact du second ordre, qui ont été jusqu’à-présent le domaine exclusif de l'analyse appliquée à la Géométrie.

Je n’aurais pas démontré le théorème d’Euler sur les rayons de courbure pour les deux genres de surfaces le plus souvent employées dans les arts, savoir les surfaces développables et les surfaces de révolution, d’autres raisons détermineraient à l’admettre comme une proposition démontrée par l'analyse, pour en déduire les constructions relatives aux contacts du second ordre. De même que pour les calculs arithmétiques, on apprend l'usage des logarithmes sans qu’il soit besoin d’en connaître la théorie, on peut en géométrie, comme en mécanique pratique ou en astronomie , admettre un résultat ou une formule qui ne serait démontrée que par une analyse transcendante. Je ne crois pas qu’on sorte des limites d’un cours de géométrie descriptive, eut-il principalement pour objet les applications aux arts, en apprenant à se servir d’une formule simple, telle que celle d’Euler sur la courbure des surfaces, qui donne pour chaque élément d’une surface, la grandeur de la courbure de cet élément, dont on connaît déjà la direction par le plan tangent ( voyez cette formule dans l’appendice de nos Eléments de géométrie à trois dimensions). Mais pour appliquer cette formule à toutes les surfaces dont on connaît la génération, ou qui sont définies, il ne suffisait pas de connaître la tangente en un point donné d’une ligne de cette surface, il fallait encore construire le rayon de courbure et le plan osculateur de cette ligne au même point. Ayant résolu cette dernière question , j’ai pensé qu’un second supplément de la Géométrie descriptive était nécessaire, pour faire voir comment les théorèmes généraux sur les tangentes et les rayons de courbure, exposés dans nos Eléments de géométrie à trois dimensions, s'appliquaient à des cas particuliers. En séparant ces applications de la théorie, et supposant au lecteur les connaissances pratiques du tracé graphique, on

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abrège l’explication des figures rapportées à plusieurs plans de projection. Cet avantage résulte de la division que j’ai proposée, et qui consiste à nommer Géométrie à trois dimensions , l’ensemble des propositions relatives à l’étendue et à ses formes, et Géométrie descriptive , la science qui apprend l'usage de la règle et du compas, pour la solution des problèmes de la Géométrie à trois dimensions.

Je rappellerai ici une observation importante; j'ai fait remarquer que toutes les opérations graphiques de la Géométrie descriptive se réduisaient à deux seulement, qui consistent à trouver la distance de deux points dont on a les deux projections, et à déterminer le point de rencontre d’une droite menée par deux points donnés et d’un plan qui passe par trois points aussi donnés. (Voyez nos Éléments, pag. io.) Ces deux questions étant résolues avec la règle et le compas, toute la Géométrie descriptive est ramenée à la Géométrie plane. C’est pourquoi les jeunes gens qui désireront se fortifier sur les éléments de géométrie, et ensuite cultiver la Géométrie descriptive, devront d’abord s’exercer à trouver la solution d’un grand nombre de problèmes de la Géométrie plane. C’est ce motif qui m’a déterminé à faire passer dans notre langue un livre d'un physicien célèbre, professeur de mathématiques à l’université d’Edimbourg, M. John Leslie. Ce livre, dont il a déjà été fait mention dans l’avant-propos de la partie algébrique de nos Éléments de géométrie à trois dimensions, a pour titre: A naiyse géométrique ( i ) . 1 1 forme la seconde partie d’un ouvrage anglais (a) imprimé à Edimbourg en 1811. On y a réuni avec beaucoup d’ordre et de Clarté les problèmes les plus intéressants de la

(i) Voyez U note page 10a.

(*) Eléments of geometrj , geomelrieal ana/jsis, and plane trigonnmetry; — vol. in-8°, seconde édition , année 1811 , 5 oo pages.

On a du même auteur les trois ouvrages suivants :

t° Géométrie des courbes du second degré, in-8°,y6 pages et 10 planches, année i 8 t 3 (écrit en français ).

INTRODUCTION. xv

Géométrie élémentaire. J’avais confié la traduction du texte à M. Comte ancien élève de l’école polytechnique , qui desirait se faire connaître par un travail utile aux études mathématiques ; il a rempli cette tâche avec le plus grand zèle. J’ai fait peu de changements à la traduction, et ce que j’ai ajouté aux démonstrations de M. Leslie, n’a pour objet que d’éviter des reuvois à des ouvrages du même auteur.

Le texte est accompagné de trois planches relatives aux trois livres dont il se compose. Cet ouvrage joint à celui d’Euclide , complète la partie de la géométrie qui traite de la ligne droite et du cercle considérés sur un plan, et fait connaître la méthode que les anciens géomètres ont suivie dans leurs recherches et dans leurs démonstrations.

On verra encore une application de cette méthode dans le mémoire sur le contact des sphères par Fermât, que j’ai traduit du latin, et qui termine les cahiers 7 et 8 du Journal in- 4 ° de l’école polytechnique, ou l’on a réuni les leçons de mathématiques élémentaires, données en 1795 aux écoles normales, par deux célèbres géomètres, MM. Lagrange et Laplacc.

3 ° Short account of experiments and instruments tlepcnding on the relations of air to heat and Moisture; Edinhurgh , i 8 i 3 .

3 " An experimental inquiry into the nature and propagation of heat; vol. Ln-8°, 562 pages, 11 planches; année i8o4-

C'cst dans ce dernier ouvrage que l’on trouve les belles observations sur le calorique rayonnant, rapportées par M. Biot dans son traité de physique, tome 4 > page 641 - Tout le monde connaît cette curieuse expérience de la formation de la glace par une évaporation subite et par labsorption des vapeurs d’un liquide à mesure quelles se forment; elle est aussi décrite par M. Biot, tome 1, page 33 a de sa physique. Cest à M. Leslie qu’on doit les premières eipériences qui ont fait connaître que l'intensité des rayons de chaleur sortis d'un même élément de la surface d’un corps , varie avec l’angle d’émission , et qu elle est proportionnelle au sinus de cet angle. (Voyez^p Théorie physique de la chaleur rayonnante, par 51 . Fourier, Annales de chimie et de physique, par MM. Gay-Lussac et Arago; cahier de novembre 1817, page a 5 ÿ).

INTRODUCTION

xvj

Des Planches jointes au second supplément de la Géométrie

descriptive. '

Des huit planches jointes au texte de ce second supplément, la première contient l'application de la méthode synthétique des tangentes au cas particulier d’une section conique. Les trois suivantes présentent des exemples de plans tangens de la seconde espèce , qui sont à-la-fois tangents et sécants des surfaces, lorsque ces surfaces ont pour le point de contact , deux rayons de courbure de signes contraires.

La planche 5 est relative à la discussion des sections d'uu tore, dont les plans passent par une normale donnée de ce tore.

Les planches 6 et 7 font voir l’application du théorème d’Euler à la construction géométrique des rayons de courbure et des plans osculatcurs de deux courbes à double courbure, l'une qui résulte de l’intersection de deux cylindres droits à base circulaire, l’autre qui appartient à l'interseétion d’un tore et d’une sphère. Les géomètres reconnaîtront dans cette nouvelle application, les avantagesdes constructions delà Géométrie descriptive, pour la détermination la plus directe et probablement la plus simple des quantités qui fixent la courbure des lignes et des surfaces. Les formules analytiques qui donnent ces quantités sont tellement compliquées, qu’on n’a pas cru jusqu aprésent pouvoir en faire usage dans des cas particuliers , autrement que par la substitution des nombres aux expressions algébriques.

La planche 8 extraite de la correspondance sur l’école polytechnique , représente les courbes d'intersection de trois surfaces annulaires, auxquelles on pourra appliquer pour la recherche des rayons de courbure et des plans osculateurs de ces courbes, le même mode de construction que pour les lignes des planches 6 et 7.

Les dessins de ces planches ont été pour la plupart faits par l’un de mes parents, M. Toussaint (de Mézières ) , élève distingué de l’école polytechnique , qui suit actuellement une exploitation de mines de plomb argentifère.

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Définition des divers modes de projection dont on fait lisage dans la Géométrie descriptive.

..U» mode de projection , quel qu’il soit , a pour objet de déterminer la position respective des points situés dans l'espace. Pour le définir, on doit donner la surface sur laquelle on projette chaque point de l'espace, et la droite qui projette ce point. Le choix du mode de projection est aussi important pour la solution graphique des problèmes de géométrie descriptive, que celui du système des coordonnées pour la solution des problèmes d’analyse appliquée à la Géométrie aux trois dimensions.

Le mode de projection le plus simple, et dont on fait le plus souvent usage, se nomme projection orthogonale. 11 consiste à projeter les points de l'espace sur un plan, par des droites perpendiculaires à ce plan : on nomme les droites par lesquelles on projette les points, lignes de projection , et le plan sur lequel on les projette plan de pro- II e Suppl. , i

G^O*<TIUE DESCRIPTIVE.

jection (E, a)(i). Lorsque les lignes de projection sont obliqnes par rapport au plan de projection , on dit que la projection est oblique. Si elles concourent vers un point fixe, la projection se nomme perspective linéaire y ou simplement perspective.

a. En supposant que les lignes de projection soient des parallèles ou des droites concourantes vers un point fixe, on peut substituer au plan de projection une surface courbe connue et definie, par exemple, la sphère. La projection la plus générale d'une ligne quelconque, plane ou a double courbure, dépend de deux surfaces; la première ou celle sur laquelle on projette, est la surface de projection ; la seconde appartient à une série de droites qui forment une surface réglée y dont la nature est déterminée par le inode de projection , (E, a4).

3. Les propositions relatives aux projections orthogonales d'un système de points, ou des lignes droites, sont l'objet des articles ( 6 — 17 ) ou des pages 6 — 9 de nos éléments de géométrie à trois dimensions; les propositions suivantes se rapportent aux deux modes de projections oblique et perspective.

Première proposition. Toutes les lignes tracées sur un cylindre étant projetées sur un plan ou toute autre surface, par des droites parallèles aux arêtes du cylindre, la ligne d’intersection du cylindre et de la surface de projection, ainsi que toutes les lignes du cylindre projetées sur cette surface , coïncident en totalité ou en partie.

Deuxième proposition. Toutes les lignes tracées sur un cône étant projetées sur un plan ou toute autre surface par des lignes concourantes vers le sommet du cône, la ligne d’intersection du cône et de

(i) Ce renvoi signifie : Eléments de Géométrie à trois démentions, «rt. a.

la surface de projection , ainsi que toutes les lignes du cône projetées , coïncident en totalité' ou en partie.

4. La combinaison de plusieurs modes de projections conduit dans quelques cas particuliers à des solations plus élégantes que celle qu’on obtiendrait en n’employant que la projection orthogonale. En voici quelques exemples:

Premier exemple. De l'intersection d'un cylindre , et d'une surface quelconque définie.

Les deux surfaces étant coupées par un système de plans parallèles, on conçoit que les deux sections faites par l’un de ces plans peuvent être projetées sur un plan fixe par des droites parallèles aux arêtes du cylindre. Dans cette hypothèse, la projection de la section du cylindre sera constante, et il pourra arriver qu’elle rencontre ou quelle ne rencontre pas la projection de l’autre section qui est une ligne de la surface donnée; si elle la rencontre, la parallèle et l’arète du cylindre menée par le point de rencontre, coupera la section plane de la surface en un point qui appartiendra à l’intersection de cette surface et du cylindre.

Toutes les opérations relatives à la projection oblique qui se fait par des droites parallèles aux arêtes du cylindre, se réduisent aux deux constructions graphiques fondamentales de la géométrie descriptive. (Art. 18 , page io des Éléments).

Deuxième exemple. De l' intersection d’un cône et d’une surface de révolution.

5. Les deux surfaces étant coupées par une série de plans perpendiculaires à l’axe de révolution , on considère la section du cône faite par un plan quelconque de cette série, comme la base de ce cône, ot on projette sur ce premier plan les sections circulaires de la surface de révolution , par des lignes concourantes vers le sommet du

cône. Les projections des sections circulaires sont évidemment d’autres cercles parmi lesquels on distingue ceux qui rencontrent la base du cône. Par le point où l’un de ces cercles coupe la base du cône, on mène une arête du cône qui rencontre la section circulaire de la surface de révolution dont ce cercle est la projection perspective, et le point de rencontre appartient à l’intersection de cette surface et du cône.

6. S’il s’agissait de trouver l’intersection d’un cylindre et d'une surface de révolution , on substituerait à la projection perspective la projection oblique , en prenant pour lignes de projections des droites parallèles aux arêtes du cylindre. On trouverait par les mêmes considérations l’intersection d’un cône ou d’un cylindre par une surface qui aurait pour génératrice une courbe plane de forme constante ou variable, dont le plan se mouvrait parallèlement à lui-même. On prendrait pour la base du cône la section de ce cône par un plan parallèle à celui de la courbe mobile. Dans le cas le plus général où la surface serait engendrée par une ligne quelconque variable de forme et de position , on couperait cette surface et ce cône par une suite déterminée de plans parallèles à un plan fixe pris arbitrairement, et la projection perspective de chaque couple de sections déterminerait des points de la ligne d’intersection du cône et de la surface.

Méthode synthétique des tangentes.

(Voy. l'exposé de cctie méthode , Eléments de Géométrie à trois dimensions , art. 4 > p* 58.) Application à une ellipse dont le contour est donné. ( PL i , fig- l'J.

j. Soit ABCOE le contour donné d’une ellipse, on demande la tangente en un point quelconque A de ce contour.

géométrie descriptive.

Le point A étant donne, les quatre autres points B, C, 0,E sont pris arbitrairement sur le contour de l’ellipse. Je suppose qu’on sache que cinq points d'une ellipse déterminent cette courbe. Cette proposition étant admise, il s’ensuit qu’un hyperboloïde à une nappe (E,art. a4)i qui est assujéti à passer par cinq points du contour d'une ellipse , contient l’ellipse entière.

Pour appliquer notre méthode'générale (art. 56 — 07 , pag. 58 E) à ce cas particulier , nous mènerons par les deux premiers points A, B de l’ellipse (Jig . 1 , pl. 1 ) deux droites quelconques D, D', par exemple ; l’une D est la verticale ( A , a a! ); l’autre D' est une oblique (B B', bb') projetée en bb' (Jig. a) sur un plan de projection XY verticale et parallèle à B B' (Jig. 1 ).

Concevons trois autres droites d,d?,d" qui s'appuient sur les deux premières D, D', et qui passent par les trois points C,0, E; leurs projections sont respectivement (Jig- 1 et a) (CH A, ch ), (OK.A, oA) , (ELA, e/).

Par l’un de ces trois points, O par exemple, on mène une droite D" qui s’appuie sur les deux droites </, d", et a pour projections les droites OP, op (Jig. 1 et a); cette droite D" ou (OP, op ) résulte de l’intersection des deux plans qui passent par le point O et par les droites ( CH A, cA), (ELA, el).

Les deux systèmes de droites (D, D', D") et ( d , d 1 , d") déterminent les directrices de la droite génératrice de l’hyperboloïde à une nappe qui passe par cinq points de l’ellipse donnée, et par conséquent contient l’ellipse entière. D’où il suit que le plan tangent à cet hyperboloïde au point A et le plan de l’ellipse se coupent suivant une droite A R qui touche l’ellipse en ce point A.

Le plan tangent au point A de l’hyperboloïde passe par la verticale D ou (A, sa'), et par une droite qui s’appuie sur les deux directrices D' et D" ou ( BB', b b' ) et ( OP, op ) ; la projection AR (Jig. 1 ) de cette droite est la tangente demandée. On obtient un point R «le

cette tangente par l’intersection des deux droites B' R, PR, respectivement parallèles à AB et AO. Ces parallèles sont les projections horizontales de deux horizontales, intersections d'un plan horizontal xy ( fig . a ) et des plans conduits par le point A et par les droites (BB', bb’), (OP, op ).

8. On construirait la tangente OQ au point O de l’ellipse , en menant un plan horizontal tel que celui dont la trace est xy, (Jig. a), qui couperait les deux droites de l’hyperboloïde menées par le point O, en deux points dont les projections horizontales sont O' et P. La droite OQ parallèle à celle qui joindrait les deux points O' et P, serait la tangente demandée.

q. Dans le cas général , on place la courbe proposée sur une surface réglée, et on détermine l’hyperboloïdc à une nappe qui est tangente à cette surface, suivant une droite menée par un point donné sur la courbe. Mais dans ce cas particulier où la courbe proposée est du second degré, il y a une infinité d’hyperboloïdcs réglés qui peuvent la contenir, et pour obtenir l’un de ces hyperboloïdes , on a pris sur l’ellipse cinq points dont un est le point pour lequel on demande la tangente. On a mené par deux des cinq points deux droites quelconques, et par les trois autres points trois droites qui s’appuient sur les deux premières. Ces trois dernières droites sont les directrices de la droite mobile , génératrice de l’hyperboloïdc à uue nappe dont le plan tangent en un point donné de f ellipse , contient la tangente à l’ellipse qui passe par le même point.