III
Du plan tangent de la seconde espèce, f PI. i, 2,3).
(' r oy. la définition de ce plan , Eléments de Géométrie a trois dimensions , art. 3ç, pag. 4o)-
10 . Premier exemple. Hyperboloïde de révolution, (fig. i eti,pl. 2 J.
Soit (A, aa! ) Taxe de révolution; ( CBD, cbd 1 ) ou ( C'B'D', é bd ) la droite génératrice de l’hyperboloïde ; ( FBE ,fbe ) étant le plus petit cercle de cette surface, AC ou AD est le rayon d’un cercle plus grand , dont le plan est îi la distance a b ou al b f fig. 2 J du plan eb/àxx petit cercle.
Soit (G) le point ( G, g) de l’hypcrboloïde; ( GD, gd et ( GH, gh ) les droites de cette surface qui se croisent au point (G), et dont les projections horizontales GD,GH touchent le petit cercle de gorge EFB ( voyez 1 fr supplément art. page 65 ), aux points B et M. Ces droites coupent le plan horizontal (Jîg- 1 ) aux points D,H du cercle CHD; d’où il suit que la trace horizontale du plan tangent au point ( G, g ) est la droite DH. Cette droite est par constructiôn perpendiculaire au rayon AG; d’où il suitque le plan tangent est perpendiculaire au plan méridien AG qui passe par le point ( G, g ); ce qui doit avoir lieu, puisque la surface est de révolution ( Eléments art. 6 1 , page 63 ).
L’horizontale ( GI ,gi) coupe le plan vertical ( fig. 2 J au point i; la droite DH le coupe au point K de la droite cd; les deux points k, i ( fig. 2 J déterminent la trace ki du plan tangent ( DH ki ) sur le plan vertical cd.
il. La verticale ( G, g g 1 ) coupc l’hyperboloïde en deux points (G, g-) et ( G, g 1 ) à égale distance du plan ef du petit cercle de gorge. Les plans tangents en ces deux points passent par la corde ( BM, be ) du petit cercle EBF, parallèle à la corde DH du cercle CDH; or cette première corde coupe le plan vertical de au point //donc la droite ki prolongée passe par ce point l. Mais l’horizontale ( G I, g 1 1 ) coupe le plan vertical au point 1 ; donc la droite i' /, menée par les points i' et /, est la trace verticale du plan tangent à l’hyperboloïde au point ( G, g 1 ) qui a même projection horizontale G , que le point
( G , g ). Les deux traces /*’, l! [fig- 2 ) font le même angle avec l'horizontale «y, projection verticale du petit cercle de gorge.
ia Les deux droites de l’hyperboloïde qui passent par le point (G ,g) coupent le plan horizontal aux points D et H, et la trace horizontale ( fig . i ) du plan tangent en ce point est la droite DH'. Les deux droites de l’hyperboloïde qui passent par le point ( G, g’ ) coupent le plan horizontal aux points C et H' , et la trace horizontale du plan tangent en ce point est la droite CH'. Cette dernière droite prolongée, couperait la droite cd , intersection des plans ( fig. i et a), en un point k ', qui serait sur le prolongement de la trace verticale IC.
1 3 . On a démontré dans le premier supplément de la Géométrie descriptive (art. 77 et 79, pages 67 et 69 ) :
i° Que la section méridienne XY {fig. 1 ) est une hyperbole yfy* {fig. 2 ) qui a pour asymptotes, les projections ( bd\hc\fig. 2) des droites génératrices de l’hyperboloïde , qui sont situées dans le plan CBD parallèles à celui du méridien XY;
2 0 Que le plan tangent au point B du cercle de gorge B B' EF {fig.i ), passe par les asymptotes (CBD, bd'), (CBD,ic'), {fig. 1 et 2 ) :
D’où il suit que les deux plans normaux qui passent par la normale de l’hyperboloïde au même point B, et par les asymptotes de l’hyperbole méridienne dont le plan est perpendiculaire à la normale, coupent l’hyperboloïde suivant deux droites.
1 4. Second exemple. Hyperboloïdc à une nappe,/;/. 3 . Les sections circulaires ef, cd ( pl. 1) de l’hyperboloïde de révolution deviennent sur l’hyperboloïde à une nappe ( pl. 3 ) des ellipses semblables et semblablement placées BEFB', CDC'D' ( fig. 1 ,pl. 3 J qui sç
oéoMlÊTRIE DESCRIPTIVE. g
projettent en ef cd f fig. a J. Les tangentes à l’ellipse BEFB' sont les projections des droites de l’hyperboloïde à une nappe. (Voy. Traité des surfaces du second degré, page ai i , art. i3o). Le plan tangent en un point quelconque (G,# ou g 7 ) de cette surface est déterminé par les deux droites qui se croisent en ce point (E. art. 3g), et tout ce qu’on a dit précédemment sur le plan tangent à l’hyperboioïde de révolution , s’applique également à l’hyperboloïde à une nappe. On a marqué des mêmes lettres les points analogues de ces deux surfaces , afin que l’explication précédente soit la même pour les deux planches a et 3. Néanmoins il faut distinguer dans cette explication ce qui est particulier à l’hyperboloïde de révolution. Ainsi la droite (A, a a' ) pl. 3, n’est pas un axe de révolution, mais un axe principal de l’hyperboloïde à une nappe. On observera que la droite AG f fig. i pl. 3 ) n’est pas perpendiculaire à la trace DH, comme dans la fig. i f pl. a J.
i5. Nous ferons remarquer que les deux demi-ellipses XZY, XZ'Y (fi g • i, pl. 3) sont divisées dails le même nombre d’arcs par les projections horizontales des droites de l’hyperboloïde ; que deux quelconques de ces arcs à égale distance du grand axe X Y, sont égaux ; enfin que la projection horizontale d’une droite quelconque de l’hyperboloîde passe toujours par deux points de division de l’ellipse XYZZ'. Pour trouver le mode de division de cette ellipse, qui satisfait à ces conditions de symétrie, on considère un autre hypcrboloïde engendré par une droite qui aurait pour directrices deux cercles égaux et parallèles (i) dont les projections ortho-
(,) Pl. 3 . Nous avons démontré, dans nos éléments de Géométrie à trois
dimensions , partie algébrique ( pag. 197 ) , que les surfaces du second degré peuvent être engendrées de deux manières différentes par un cercle variable de rayon, dont le centre décrit un diamètre de 1a surface, et dont le plan reste constamment parallèle à lui-même. L'une de ces surfaces, lliyperboloide à une nappe, peut aussi
IF Suppl .
IO
gonales sur le plan de la ligure i planche 3, seraient les ellipses ( X Y Z, xy ) et ( X Y Z, x’y J ). Ces cercles ont pour diamètres les droites ( X Y, xy ) , et ( X Y, x'y* ). Les ellipses X Y Z , B B' E F étant semblables et semblablement placées , on aura l'inclinaison des plans des cercles par rapport à celui de l'ellipse B B' EF, en décrivant du point A comme centre avec AE pour rayon, un arc EP qui coupe la droite BP perpendiculaire à AB au point P. L’angle BAP mesure l’inclinaison des plans de l’ellipse XYZ et du plan du cercle qui se projette orthogonalemcnt ( fig. i ) suivant cette ellipse. En supposant ce cercle et l’ellipse XYZ sur le même plan, on divisera le cercle à partir du point X marqué zéro en parties égalés. On divisera aussi le cercle égal et parallèle qui a pour diamètre la droite ( XY, x'y 1 ) dans le même nombre de parties égales, et on regardera un point quelconque H' de division , comme l’origine de la division marquée du chiffre zéro. — La droite menée par les points X et H' marqués du même chiffre zéro sur les deux cercles, sera une droite de l’hyperboloïde. On aura toutes les droites de cet hyperboloïde, qui , sont, comprises entre les mêmes cercles et de même longueur, en joignant les points de division consécutifs marqués des
cire engendrée par une droite mobile qui s'appuie sur trois lignes quelconques, et par conséquent sur trois cercles de cet hypcrboloïdc. Si l'on suppose que l'un de ces trois cercles est divisé en parties égales, la droite mobile divisera tous les autres cercles de la surface parallèles à celui-là dans le même nombre de parties égales j d'où il suit que deux cercles et une droite déterminent l'hyperboloïde qui passe par trois cercles donnés dans des plans parallèles.
Le plan de la Jig. S,pt. i est parallèle à deux cercles égaux qu'on a pris pour directrices de la droite génératrice d'un hvperboloïde. Ayant divise ces deux cercles en parties égales, on fixe la première position de la droite génératrice , en l’assujétissanl à passer par deux points de division , tels que la droite qui joint ces deux points ne soit pas dans le plan des centres des deux cercles. A partir de ces deux points , les arcs de cercles interceptés par la droite mobile dan» une position quelconque , sont égaux. Les projections de celte droite sur le plan de la /èg. 3 , p/. i, sont tangentes à une hyperbole.
mêmes chiffres. Mais on peut mener du point X aux points H', H" du cercle ( X Y, x'y 1 ),deux droites XH', XH"; on pourra donc engendrer le second hyperboloïde de deux manières, en prenant le point H' ou le point H" pour le zéro de la division du second cercle ; alors chaque point de ce cercle sera marqué de deux chiffres correspondants aux deux modes de génération de l’hyperboloïde.
Les deux cercles des diamètres ( XY, xy ), ( XY, x' y* ) du second hyperboloïde se projettent ( Jig. i , pl. 3 ) suivant la même ellipse X Y Z ; donc les droites de cette surface qui se croisent aux points de division des deux cercles , se projettent Jig. i suivant des droites qui se croisent aux pointsde l’ellipse XYZ. Mais les projections/?g. i des points des cercles tels que H', H", sont sur des droites perpendiculaires à l’axe X Y ; donc si à partir du point X,on a divisé le cercle X YH'H" en parties égales, les perpendiculaires abaissées de ces points de division sur le diamètre X Y diviseront l’ellipse XYZ en parties inégales, et comme les droites de l’hyperboloïde, dans les deux systèmes de génération, passent par les mêmes poinU de division des deux cercles des diamètres (X Y, xy), (X Y, x! y J Mu projection horizontale de l’une quelconque de ces droites passera par deux points de division de l’ellipse.
Troisième exemple. — Plan tangent au tore. (Pl.
(Voyei les Eléments de Géométrie à trois dimensions , arl. 3g , pay. 4o )•
iG. Soit (A ,aa'),fig. i et a, pl. 4, l’axe de révolution d’une surface annulaire ou d’un tore qui a pour génératrice le cercle (Ë F, ef dd’ ) I.a perpendiculaire abaissée du centre c de ce cercle (Jig. a) sur l’axe a a', rencontre la surface du tore aux points (F,/ - ), (E,c)^ et les plans tangents au tore menés par ces points sont de deux espèces. Le premier mené par le point (F, y) n’a de commun avec
la surface que ce point de contact. Le second mené par le point (E, e) le plus voisin de l'axe de révolution, coupe le tore; et, si l’on suppose que ce plan tourne autour de l’horizontale ( G H , e) pour s’abattre sur le plan horizontal , la section du tore Jig. 3, sera la courbe en huit (8), G K EL' H K' EL G dont les plus grandes ordonnées verticales K I, K' l'égales à cd ou cd', correspondent aux abscisses égales El, El' demi-cordes du cercle décrit du point A comme centre avec AD pour rayon.
i n. Sur eb Jig. a ) comme demi-axe transversal, construisons une hyperbole men qui ait son sommetau pointe, et dont le rayon de courbure en ce point soit égal au rayon ce du cercle générateur du tore. On a (art. iode l’Appendice de nos Eléments, pag.ia^)ee= a - étant le demi-grand axe conjugué à l’axe transversal; ce qui donne a* = V'be Xff, c’est-à-dire que x est une moyenne proportionnelle entre les deux lignes be et ce.
Ayant mené les asymptotes bp, bp' de l’hyperbole osculatrice du cercle cdd .' , la droit®(BP, bp) ou (BP, bp') dont la projection horizontale B P(/7g\i) parallèle à la droite bc (Jig. a), est une tangente au cercle décrit du point A comme centre avec AB pour rayon, engendre' en tournant autour de l’axe de révolution (A ,aa'), un hyperboloïde osculateur du tore en un point quelconque ( E, e) du cercle, qui est du rayon eb-, or le plan tangent au tore au point (E,e) coupe cet hyperboloïde suivant deux droites ER, ER' (Jig. 3) qu’on obtient, art. i3, en prenant P R = PR'= ep — ep ' ; donc ces deux droites tangentes au point E de la section du tore et du plan tangent, en sont aussi osculatrices , c’est-à-dire que les rayons de courbure des deux branches de cette courbe qui se croisent au point E, sont pour ce point d’une longueur infinie. On déduit de la considération des sections normales, une autre construction des deux tangentes au point double E de la section du tore par le plan tangent au même point.
GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. l3
18 Le plan tangent (Jig- 3, fil. 4 ) an point E contient les traces E A , ER' des deux sections normales l’une du rayon ec=r et l’autre d’un rayon infini; or l’angle de ces deux droites est égal à l’angle de ces deux sections ; donc la tangente de cet angle est ( art. 4 de l’appendice la lettre R représentant la droite be (Jig. a).
Prenant pour unité la portion op de la droite (Jig. a) comprise entre deux parallèles quelconques c*, ep, on a à cause de be = R, ec = r,*p=i,
/•:R:: i:ip = 5.
Ayant décrit sur b a. comme diamètre, un demi-cercle, l’ordonnée P y de ce cercle est égale à Construisant (Jig . 3) le triangle rec-
tangle E p' y* avec les deux côtés E p', p' y' égaux respectivement aux droites « p, pyC fië' 2 )i l’angle p'Ey' est égal à l’angle A ER' complément de l’angle PER' qu’on a trouvé (article précédent) par la considération de l’hyperboloïde de révolution osculateur du tore au point E.
iq, On voit par ce dernier exemple, que pour apprendre comment un plan tangent de la seconde espèce touche une surface, il est nécessaire de connaître la forme des sections normales qui passent par le point de contact, de distinguer les deux séries de sections dont les courbures sont en sens contraire par rapport au plan tangent, et de déterminer la section qui se trouve au passage de l’une des séries à l’autre. Nous reviendrons dans le paragraphe ( §. V ) sur la discussion des sections normales d’un tore , qui passent par les mêmes points e,y de la normale abaissée du centre du cercle générateur efdd' sur l’axe de révolution. Pour éviter les répétitions: les points des ligures i et 2, planche 4, rapportés figures i et a de la planche suivante 5 , y seront marqués des mêmes lettres.
